Вариант 5

Вычисление производных сложных функций

Задание 1.  g(x) = a x + b .

Вычислите производную сложной функции F(x) = f(g(x)), где «внутри» подставлена линейная функция g(x) = a x + b. Функцию F(x) возьмите из таблицы вариантов согласно номеру Вашего вариантов.

F(x) = ln(3x-2)

 

Задание 2. g(x)=xⁿ

Вычислить производную сложной функции F(x)=f(g(x)), где g(x)=xⁿ – степенная функция. Функцию F(x) возьмите из таблицы вариантов согласно номеру Вашего варианта.



F(x) = cosx⁵²
 

Задание 3. g(x) – функция «корень степени m»

Вычислить производную сложной функции F(x)=f(g(x)), где g(x) – функция «корень из x». Функцию F(x) возьмите из таблицы вариантов согласно номеру Вашего варианта.

arccos³√x

 

Задание 4. f (t) – функция «корень степени m»

Вычислить производную сложной функции F(x)=f(g(x)), где f (t) – функция «корень из x». Функцию F(x) возьмите из таблицы вариантов согласно номеру Вашего варианта.
 

Задание 5. f(t) = t ⁿ 

Вычислить производную сложной функции F(x)=f(g(x)), где f(t) = t ⁿ – степенная функция.

Функцию F(x) возьмите из таблицы вариантов согласно номеру Вашего варианта.

F(x) = (cos(x))⁵²
 

Исследование функций с помощью производных

Задание 6. Исследование многочлена третьей степени с помощью первой и второй производной.

Исследовать с использованием производных функцию f(x) - многочлен третьей степени:

1. Вычислить производные первого и второго порядка.
2. Найти точки x₁, x₂, x₁ < x₂ подозрительные на экстремум (стационарные точки).
3. Найти точку перегиба x^*  
4. Найти в стационарных точках знак второй производной, сделать вывод.
5. Найти промежутки возрастания и убывания функции.
6. Найти промежутки «выпуклости вниз» и «выпуклости вверх» функции.
7. Вычислить значения функции в следующих точках:
               * в точке минимума x₁ и точке максимума x₂ функции
               * в точке (x₁ - 1) и в точке (x₂ + 1)
               * в точке перегиба x^* 
8. Вычислить значения производной в точке (x₁ - 1), в точке (x₂ + 1) и в точке перегиба x^* 

        9..По полученным данным построить эскиз графика функции; нарисовать касательные в точках максимума и минимума, в точке (x₁ - 1) и в точке (x₂ + 1) и в точке перегиба x^*.

f(x) = 1/3x³ - x +1

 

Задание 7. Исследование рациональной функций с помощью первой и второй производной. 

Исследуйте функцию f(x), используя её первую и вторую производные:

f(x) =10/(x²+ax+b).

Для этого:

1. Вычислить первую и вторую производные;
2. Найти стационарную точку x₁ 
3. Найти в стационарной точке знак второй производной, сделать вывод.
4. Найти промежутки убывания и возрастания функции;
5. Найти точки перегиба x₂, x₃, x₂ < x₃ и промежутки выпуклости «вверх» и «вниз»;
6. Вычислить значения функции в следующих точках:
               * в стационарной точке x₁ 
               * в левой точке перегиба x₂ и в правой точке перегиба x₃
               * в точках (x₂ - 1) левее левой точки перегиба и точке (x₃ + 1) правее правой точки перегиба
7. Вычислить значения производной в точке в левой точке перегиба x₂ и в правой точке перегиба x₃
8. Вычислите предел функции при x стремящемся к бесконечности
9. Постройте эскиз графика функции, используя полученные данные о точке экстремума, точках перегиба и значениях функции и её производной;
   нарисовать касательные в точке экстремума x₁, в левой точке перегиба x₂ и в правой точке перегиба x₃.

Вычисленные значения функции занести таблицу

a = -1
b= 1
 

Решить СЛАУ тремя методами:

1) Методом Гаусса, проверить полученное решение подстановкой в систему.

На нисходящем ходе метода вычислять и проверять "контрольные суммы" строк расширенной матрицы.

2 а) Найти  методом Гаусса-Жордана обратную матрицу для матрицы коэффициентов СЛАУ.

При вычислении обратной матрицы вычислять и проверять "контрольные суммы" строк расширенной матрицы.

2 б) Проверить правильность вычислений умножением обратной матрицы на исходную матрицу (должна получиться единичная матрица).

2 в) Вычислить решение СЛАУ умножением обратной матрицы на столбец правых частей.

3) Решить СЛАУ методом Крамера

{2x₁ - x₂  - x₃ = 4
{ 3x₁+ 4x₂ - 2x₃ = 11
{3x₁ - 2x₂+ 4x₃ = 11

Тема: Операции с векторами и матрицами

1. Умножение матрицы на вектор. Сложение векторов.

Дана матрица А размерности 2*3 и вектора-столбцы b, c размерности 3. Требуется:

1) Вычислить вектора-столбцы

     d = Ab

     e = Ac

     f = b +c

     g = Af

     h = d+e

Все выражения для умножения строк матрицы на столбец выписывать подробно - см. пример после вариантов задания.

2) Проверить, верно ли равенство g = h, т.е. A(b+c) = Ab + Ac

A = ( 3  2  1)
       (1  3  2)

b = (3)
     (-2)
     (1)

c = (1)
      (3)
     (-2)

• 2. Умножение матриц. Умножение матрицы на вектор.

Дана матрицы А, B и вектор-столбец c. Требуется:

1) Вычислить произведение матриц

     D = AB

2) Вычислить произведение матриц на вектор-столбец

     e = Bc

     f = Ae

     g = Dc

Все выражения для умножения строк  на столбцы нужно выписывать подробно - см. примеры после вариантов задания.

Каждый результат (матрицу или вектор) нужно записывать в отдельной строке.

3) Проверить, верно ли равенство g =f, т.е. (AB)e = A (Bc)

A = (3  1)
      (2  3)

B = (-1  3)
       (2  -2)

C = (1)
       (3)