Контрольная работа по Математике на тему: "Математический анализ"

Контрольная работа 1
Вариант 1

Задание 1

Даны две функции z = f₁(x,y) и z = f₂(x,y). Для каждой функции проверить равенство смешанных производных второго порядка q²z / qxqy = q²x / qyqx

1) z = f₁(x;y) = e^xy
2) z = f₂ (x;y) = cos (3x+5y)
 

Задание 2

Даны: функция z = f₁(x,y), точка А(x₀,y₀) и вектор l(l_x,l_y).

Найти: 1) grad z в точке А

2) производную по направлению вектора l в точке А

z = x²+ xy + y²; A (1;1); l(2;-1)
 

Контрольная работа 2

Вариант 1

Задание 1

Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка

y' - ytgx = cosx
 

Задание 2

Найти частное решение дифференциального уравнения II порядка, удовлетворяющее начальным условиям

y" + 4y' - 12y = 8sin2x; y(0) = y'(0)=0
 

Контрольная работа 3

Вариант 1

Задание 1

В урне находится a=2 белых и b=4 черных шаров. Из урны последовательно вынимают 2 шара. Найти вероятность, что оба разных цветов. Рассмотреть 2 ситуации:

а) первый шар возвращают в урну;

б) первый шар не возвращают в урну

 

Задание 2

В двух ящиках находятся детали. В первом ящике 2 стандартных и 3 нестандартных деталей. Во втором ящике 3 стандартных и 4 нестандартных деталей. Из первого ящика случайно вынули деталь и перенесли во второй ящик. После этого для контроля из второго ящика вынули деталь. Найти вероятность, что эта деталь – стандартная.
 

Контрольная работа 4

Вариант 1

Задание 1

Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения

Найти функцию распределения F(x), построить её график. Вычислить P(-0,5 ⩽ X < 0,4), математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднеквадратическое отклонение Q(X).

 

Задание 2

Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности вероятностей

f(x) = {  0 ; x ⩽ 0
        { x/k ; 0 < x ⩽ 2
        { 0 ; x > 2

Найти число k, функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить график f(x) и F(x).  Вычислить математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Задание 3

Дана нормальная случайная величина X∈N(10;4). Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал (2;13). Построить схематический график плотности вероятности f(x).


 

Контрольная работа 5

Задание 1

Построение эмпирической функции распределения и эмпирической функции плотности распределения случайной величины Х

1.1 Разбить выборку на частичные интервалы.

Найти в заданном массиве чисел x_min = 0,2  и x_max = 39,8
 

1.2 Вычислить относительные частоты, плотности относительных частот и накопленные относительные частоты.

1.3-1.4 Построить на рисунке 1 гистограмму накопленных относительных частот и график эмпирической функции распределения. Построить на рисунке 2 гистограмму плотности относительных частот и график эмпирической функции плотности распределения.
 

Задание 2

Статистические оценки параметров распределения случайной величины. Вычислить оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения.
 

Задание 3

Построение теоретической кривой плотности распределения и теоретической кривой функции распределения.

3.1 Сделать предположение о законе распределения случайной величины  по виду графика эмпирической функции плотности распределения.

3.2 Вычислить значение теоретической функции плотности распределения в середине каждого частичного интервала, вероятности попадания случайной величины в каждый интервал, теоретическую функцию распределения.

3.3 Нанести полученные значения теоретической функции распределения и теоретической плотности распределения на рисунки 1 и 2 и построить  соответствующие графики функций.
 

Задание 4

Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х с помощью критерия Пирсона. Уровень значимости а - это допустимая вероятность ошибки отвергнуть верную гипотезу. а = 0,01
 

Задание 5

Вывод.

Контрольная работа 6

Вариант 1

Найти уравнения теоретических линий регрессии Y на X  и X на Y  и проверить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции при уровне значимости 0.05