Солитонные решения нелинейных уравнений

Введение

Солитон [1] — это решение классических нелинейных уравнений движения, описывающие локализованный сгусток полей, сохраняющий форму при движении и взаимодействии с другими солитонами. В более широком смысле, солитон (также уединенная волна или “lump” [2]) — это конфигурация, профиль которой сохраняется во времени и при свободном распространении. Устойчивость солитона возможна благодаря балансу между дисперсионными эффектами с одной стороны и нелинейными эффектами — с другой. Солитоны являются одним из центральных понятий в современной физике. Сфера их приложений охватывает нелинейную оптику [3, 4], физику конденсированных сред [5], физику частиц и космологию [6, 7]. Свойства солитонов позволяют говорить о них как о классических частице-подобных объектах, несмотря на то что стандартное определение частицы дается в рамках теоретико-группового и квантово-полевого подходов [8, 9]. Изучение классических решений нелинейных уравнений поля может дать много информации о теории [10].
Будучи непертурбативным решением, солитон невозможно получить в рамках теории возмущений над классическим (однородным) вакуумом теории. В свою очередь, теория возмущений может быть построена над солитонными решениями и, более того, в формализме квантовой теории поля солитоны должны подвергаться процедуре квантования. Классическое решение, тем не менее, является справедливым ведущим приближением квазиклассического метода, поправки к которому вычисляются стандартным образом, коль скоро соответствующие константы связи малы [11]. Квантование неоднородных решений имеет свои особенности, например, из-за наличия нулевых мод [10, 12]. В любом случае, установление классического спектра возмущений над солитоном является необходимым шагом на этом пути. Солитонные решения естественно классифицировать на топологические 5 и нетопологические.
Существование и устойчивость топологических солитонов определяются конфигурацией полей на больших расстояниях от центра солитона, которая не может быть деформирована в вакуумную конфигурацию с конечными энергетическими затратами. Первыми примерами таких объектов, моделирующих классические частицы, были скирмион (см., например, [13]) и солитоны в модели синус-Гордон [14]. Нетопологические солитоны, с другой стороны, имеют тривиальную топологию и существуют благодаря наличию в теории сохраняющихся зарядов, обеспеченных какими-либо глобальными или локальными симметриями. Топологический солитон, минимизирующий функционал энергии в секторе с данным топологическим числом, является устойчивым. Этого нельзя сказать о нетопологических солитонах, которые могут быть нестабильными. В данной диссертации будет подробно обсуждаться устойчивость некоторых видов нетопологических солитонов. В понятие устойчивости классического решения можно вкладывать разный смысл [15, 16]. Говоря о классической устойчивости, подразумевают отсутствие в спектре линейных возмущений над солитоном экспоненциально быстро растущих со временем мод. В данной работе мы будем интересоваться в основном этим типом стабильности солитонов, когда речь идет о явных вычислениях. Солитон является условным локальным экстремумом функционала энергии. При наличии в теории двух локальных минимумов с разными энергиями возможен туннельный процесс, приводящий к распаду решения с большей энергией в решение с меньшей энергией [17]. При этом должны выполняться законы сохранения энергии и заряда. Солитон, таким образом, может оказаться метастабильным, то есть устойчивым классически, но не устойчивым по отношению к квантовым или тепловым флуктуациям.

Литература

1. Zabusky N. J. Kruskal M. D. Interaction of ’Solitons’ in a Collisionless Plasmaand the Recurrence of Initial States // Phys. Rev. Lett. 1965. Т. 15.С. 240–243.2. Coleman Sidney R. Classical Lumps and their Quantum Descendents //Subnucl. Ser. 1977. Т. 13. С. 297.3. Hasegawa A., Matsumoto M. Optical Solitons in Fibers. Springer, Berlin,Heidelberg. Т. 9.4. Akhmediev N., Ankiewicz A. Dissipative Solitons. Lecture Notes in Physics.Springer Berlin Heidelberg, 2005.5. A.R. Bishop J.A. Krumhansl S.E. Trullinger. Solitons in condensed matter:A paradigm // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1980. Т. 1, № 1. С. 1 – 44.6. Рубаков В. А. Классические калибровочные поля. М.: УРСС, 1999.7. Горбунов Д.С. Рубаков В.А. Введение в теорию ранней Вселенной: теориягорячего Большого взрыва. М.: УРСС, 2008.8. Румер Ю.Б., Фет А.И. Теория групп и квантованные поля. М.: Наука,1977.9. Боголюбов Н.Н. Ширков Д.В. Квантовые поля. М.: Наука, 1980.10. Rajaraman R. Solitons and instantons: An introduction to solitons andinstantons in quantum field theory. 1982.11. Lee T. D., Pang Y. Nontopological solitons // Phys. Rept. 1992. Т. 221.С. 251–350. [,169(1991)].12. Christ N. H., Lee T. D. Quantum Expansion of Soliton Solutions // Phys.Rev. 1975. Т. D12. С. 1606.13. Selected papers, with commentary, of Tony Hilton Royle Skyrme / под ред.G. E. Brown. 1995.14. Coleman Sidney R. The Quantum Sine-Gordon Equation as the Massive107Thirring Model // Phys. Rev. 1975. Т. D11. С. 2088. [,128(1974)].