Контрольная работа по Математике на тему: "Математический анализ"

Задание 1. Определить интервал сходимости ряда и исследовать сходимость на концах интервала.

∑_{n= 1}∞ (x+3)ⁿ2ⁿ n (n+1) 

Задание 2. Пользуясь разложением в ряд Маклорена функций e^x, sin x, cos x, ln (x+1) , (l+x)^m, arctgx, разложить данные функции в ряд. Указать область f(x) = cosx - 1 / x

Задание 3. Разложить данные функции в ряд Фурье в указанных интервалах.

f(x) = x ; (-П; П)

 

Задание № 4

1. Найти полный дифференциал функции двух переменных: z = x ^1-y

Исследовать на экстремум функцию: z = 2x³ + xy² 5x² +y². В оригинальном задании, вероятнее всего, была опечатка. Автор исправил опечатку в соответствии с тем, как, по всей видимости, должно было быть.

Задание 5. Вычислить двойной интеграл по области (D), ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

∫∫(D) (3x⁴ y² - 10xy) dx dy ; D: y = x² ; y = -x 

Задание 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями (перейти к цилиндрическим и сферическим координатам).
z = 1 -x ² -y² ; z = 0

Задание 7. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии Z от точки М к точке N.

F = 2xi - (x +2y )j , где Z  - отрезок прямой MN , M (-1;0) , N (1;2)

Задание 8. Найти частное решение дифференциального уравнения.

yy' = 1-2x / y ; y(1) = 1

Задания 9. Решить линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

xy' - 2y = 2x⁴

Задание 10. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка, допускающее понижение степени.

y" tg y = 2(y') ²

Задание 11. Найти общее решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений (ЛНДУ) 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.

y" - 2y' + 2y = 2x

Задание 12. Найти общее решение линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами (методом вариаций произвольных постоянных).

y" -y' = e^2x / √1 -e ^2x

 

Задание 13. Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок проработает смену без наладки, равна 0,6, а второй - 0,9. Найти вероятность того, что:

а) оба станка проработают смену без наладки;

б) только один станок проработает смену без наладки;

в) оба станка за смену потребуют наладки;

г) хотя бы один станок за смену потребует наладки.

Задание 14. В первой урне 8 белых и 2 черных шаров, во второй 3 белых и 2 черных. Из первой во вторую переложено 5 шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.

Задание 15. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,5. Найти вероятность того, что среди 300 случайно отобранных деталей окажутся непроверенными от 150 до 165 деталей.

Задание 16. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение Q(x), функцию распределения вероятностей F(X) (и начертить ее) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

 

Задание 17. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X) Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

F(x) = { 0;  x⩽ 0
          {3x² + 2x ; 0 < x ⩽ 1/3 
          { 1;   x > 1/3 

Задание 18. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания  нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю х объемом выборки n и среднее квадратичное отклонение Q

x = 75, 14; n = 81; Q = 9