Устойчивость линейных стационарных систем

ВВЕДЕНИЕ
Теория устойчивости динамических систем развивалась в рамках математики и механики еще до возникновения самостоятельной науки об управлении. Важные результаты в этой области принадлежат русскому математику А.И. Ляпунову. Формулировка понятия устойчивости по Ляпунову основана на понятиях возмущенного и невозмущенного движения системы, которые рассматриваются в двух вариантах: для переменных состояния системы и в отклонениях.
С 60-х и 70-х годов прошлого века и по настоящее время возникают новые постановки задач теории управления и развиваются новые подходы к их решению. Для этого периода характерны не только требования обеспечения устойчивости заданных режимов и ограничений на протекание переходных процессов, но и, как основное требование, соблюдение тех или иных принципов оптимальности при построении регуляторов, а также математическое решение вопросов о наблюдаемости и управляемости систем. Можно отметить и другие разделы: адаптивное управление, робастное управление. В этой области за последние несколько десятилетий получено огромное количество результатов, недостаточно полно или вообще не представленных в учебных курсах [17, с.26].
При исследовании устойчивости линейных стационарных систем широко применяются два основных подхода. Первый подход состоит в анализе спектра – множества характеристических чисел системы, являющихся в случае запаздывающих систем корнями характеристического квазиполинома. Знание расположения элементов спектра на комплексной плоскости позволяет легко сделать вывод об устойчивости исходной системы. Основная трудность данного подхода заключается в том, что характеристические числа, вообще говоря, не могут быть получены в явном виде как функция параметров системы.
Второй подход называется методом Ляпунова-Красовского и состоит в обобщении классического второго метода Ляпунова на случай систем с запаздывающим аргументом. Он был предложен Н. Н. Красовским. Основная идея подхода заключается в том, что вместо функции Ляпунова берётся функционал, определённый на множестве вектор-функций, и потому аргументом для него является не текущее состояние системы, а её предыстория на промежутке, равном наибольшему запаздыванию [6, с.729].
Актуальность темы курсовой работы заключается в том, что анализ устойчивости стационарных состояний динамических систем сопряжен с необходимостью учета множества управляющих параметров. Однако полная информация в случае сложных не всегда имеется в распоряжении исследователя. 
Объектом исследования в курсовой работе является линейные стационарные системы.
Предметом исследования – особенности устойчивости линейных стационарных систем.
Целью в курсовой работе – теоретические особенности устойчивости линейных стационарных систем.
На основании цели, в курсовой работе поставлены следующие задачи: 
    1.    Рассмотреть определение и сущность линейной стационарной системы;
    2.    Изучить динамические характеристики линейной стационарной системы;
    3.    Рассмотреть методы исследований устойчивости линейных стационарных систем. 
Структура курсовой работы включает в себя введение, три главы, заключение, список использованных источников. 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
    1    Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003. – 361 с.
    2    Ахундов, А. А. Управляемость линейных гибридных систем / А. А. Ахундов // Управляемые системы: cб. ст. – Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО АН СССР, 1975. – Вып. 14. – C. 4–10
    3    Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: Физматлит, 2007. – 280 с.
    4    Кириллова, Ф. М. Необходимые условия оптимальности управлений в гибридных системах / Ф. М. Кириллова, С. В. Стрельцов // Управляемые системы: cб. тр. – Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО АН СССР, 1975. – Вып. 14. – С. 24–33. 
    5    Марченко, В. М. Представление решений и относительная управляемость линейных дифференциально-алгебраических систем со многими запаздываниями / В. М. Марченко, О. Н. Поддубная // Доклады РАН. – 2005. – Т. 404, № 4. – С. 465–469.
    6    Марченко, В. М. Об устойчивости гибридных дифференциально-разностных систем / В. М. Марченко, Ж.-Ж. Луазо // Дифференциальные уравнения. – 2009. – Т. 45, № 5. – С. 728–740.
    7    Марченко, В. М. Относительная достижимость линейных стационарных систем, управляемых дискретным регулятором / В. М. Марченко, О. Н. Пыжкова // Труды БГТУ. – 2012. – № 6: Физ.-мат. науки и информатика. – С. 11–13.
    8    Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т.2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. Н.Е. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 736 с.
    9    Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы / СПб: Питер, 2005. – 336 с.
    10    Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978. – 336 с.
    11    Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. – 303 c.
    12    Холодник М., Клич А., Кубичек М., Методы анализа нелинейных динамических моделей: Пер. с чешск. – М.: Мир, 1991. – 368с.
    13    Чурилов А.Н., Гессен А.В. Исследование линейных матричных неравенств. Путеводитель по программным пакетам. СПб.: Изд-во С.- Петерб. ун-та, 2004. – 148 с.
    14    Baker, C. T. H. Differential-algebraic equations with after-effect / C. T. H. Baker, C. A. Paul, H. Tian // J. Comput. and Appl. Math. – 2002. – Vol. 140. – P. 63–80.
    15    Van der Schaft, A. An introduction to hybrid dynamical systems / A. Van der Schaft, H. Schumacher. – Berlin: Springer, 2000. – 324 p.
    16    De la Sen, M. A note about total stability of a class of hybrid systems / M. De la Sen // Informatica. – 2006. – Vol. 17, № 4. – P. 565–576.
    17    Kunkel, P. Differential-algebraic equations: analysis and numerical solutions / P. Kunkel, W. L. Mehrmann // European Mathematical Society. – Zürich: Switzerland, 2006. – 377 p.
März, R. Solvability of linear differential algebraic equations with properly stated leading terms / R. März // Results in Mathematics 45(2004). – Basel: Birkhauser Verlag. – 2004. – P. 88–95.