Контрольная работа по Математике на тему: "Элементы теории множеств"

Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств. Операции над множествами

Задание №1.1

Для универсального множества U = {-5,-4,-3,-2,-1, 1,2,3,4,5}, для множества А, заданного списком, и для множества β, являющегося множеством корней уравнения x⁴+ ax³ + Bx² +yx +q = 0, найдите множества: A⋃ B , A ⋂ B , A\B , B \A ; A ∧ B; B,C = (A ∧ B) ∧A . Выясните, какой из пяти случаев выполняется для множества А и С: A⊂C или C ⊂ A или A = C ли A ⋂ C = ∅ или множества  А и С находятся в общем положении.

 

Задание №1.2

Используя диаграммы Эйлера – Венна, опишите множество, соответствующее части диаграммы, закрашенной серым цветом.

Задание №1.3

Пусть А, В и С – множества точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условиям α, β и γ соответственно. Изобразите в системе координат x0y множество D, полученное из множества А,В и С по формуле δ.

Задание №1.4

Для данных соответствий P и Q найти: Q^-1 , P * Q ^-1 , пр₁ (P * Q ^-1) , пр₂ (P * Q ^-1)
 

Задание №1.5

На множестве А = {1, 2, 3, 4, 5} задано отношение G.
1. Изобразите отношение G графом.
2. Составьте отношение эквивалентности G1 минимальной мощности, вклю- чающее в себя G. Запишите полученное отношение перечислением пар и изоб- разите его графически. Укажите фактор-множество.
3. Составьте отношение частичного порядка G2 минимальной мощности, включающее в себя G. Запишите полученное отношение перечислением пар и изобразите его графически. Укажите минимальные и максимальные элементы. Перечислите пары несравнимых элементов.
4. Составьте отношение линейного порядка G3 минимальной мощности, включающее в себя G. Запишите полученное отношение перечислением пар и изобразите его графически. Укажите наименьший и наибольший элементы.
5. Выполните аналогичное задания для получения G4 (строгого порядка) и G5 (строгого линейного порядка).
 

Булевы функции

ЗАДАНИЕ №2.1

Используя таблицы истинности, проверить эквивалентность булевых формул. Определить существенные и фиктивные переменные.

(x ∨ y ∧ z ) → (( x → y) → ((y ∨z ) →x )) = ( x → y)  → ( y → x)
 

Представление булевых функций разложением по переменным

ЗАДАНИЕ №2.2

Для булевой функции, заданной вектором значений, определить:

1. СДНФ,
2. СКНФ,
3. полином Жегалкина.
   
   (00100111)

   3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ОПТИМИЗАЦИЯ НА ГРАФАХ 3.1. Основные понятия теории графов

   ЗАДАНИЕ 3.1

   В таблице для каждого варианта заданы декартовы координаты вершин графа и перечислены ребра графа. Граф не ориентирован. Следует построить граф на плоскости xOy и найти:

   1) таблицу степеней вершин;

   2) матрицу смежности;

   3) матрицу инцидентности;

   4) таблицу расстояний в графе;

   5) определить радиус и центр графа.
   
    

   №	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
   2	(4;6)	(2;4)	(4;4)	(6;4)	(2;0)	(4;1)	(6;0)	(9;2)
   (x1; x2), (x2; x5 ), (x2; x3), (x1; x4 ), (x4; x7), (x6;x7), (x1; x3), (x3;x4), (x5;x6), (x3; x6)

   
   

   3.2. Задачи оптимизации на графах

   ЗАДАНИЕ 3.2

   Для графа, описанного в задании 3.1 вычислить:

   1) Минимальное остовное дерево.

   2) Кратчайший путь из одного источника.

   Для решения задач данного раздела считать граф ориентированным (направление дуги отмечается упорядоченной парой вершин, формирующих ребро). Вес дуги равен длине отрезка между вершинами графа.
    

   №	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x7
   2	(4;6)	(2;4)	(4;4)	(6;4)	(2;0)	(4;1)	(6;0)	(9;2)
   (x1;x2), (x2; x5), (x2;x3), (x1; x4), (x4; x7), (x6; x7), (x1; x3), (x3; x4), (x5; x6 ), (x3; x6)