Двойной интеграл, его геометрический и физический смысл. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла, теорема Кавальери-Фубини о переходе к кратному интегралу

Введение

История понятия двойного интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача «о квадратуре круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.) Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту. Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа (3.10/71<<3.1/7), нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т. д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен 2/3 объема цилиндра). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838—1922) теории меры. Объемы простых тел, можно вычислить непосредственно, используя материалы школьной программы по математике. Если рассматривать произвольные тела в пространстве, то следует прибегнуть к иным способам вычисления их объема и площадей поверхности. Потребности жизни требуют от учащихся умений вычисления площадей и объемов реальных объектов, а для этого актуален поиск возможностей. Применение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей и объёмов, значительно расширяет возможности при решении задач. Изучение теоретических материалов по данной теме дает возможность овладеть понятиями первообразной и интеграла, усвоить связь между ними, овладеть простейшей техникой интегрального исчисления, научится применять интеграл к вычислению площадей фигур, ограниченных графиками функций.

Список литературы

Аксенов, А. П. Математический анализ в 4 ч. Часть 4: учебник и практикум дляакадемического бакалавриата / А. П. Аксенов. — М. : Изд-во Юрайт, 2019Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. [Текст]/ Г. Н.Берман// Уч. Пособие. Изд-во «Профессия» Санкт-Петербург, 2005 – 432 с.Потапов, А. П. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебник ипрактикум для прикладного бакалавриата / А. П. Потапов. — М. : Изд-во Юрайт, 2016Потапов, А. П. Математический анализ. Дифференциальное и интегральноеисчисление функций одной переменной в 2-х ч. Часть 1: Учебник и практикум дляакадемического бакалавриата / А. П. Потапов. — М. : Изд-во Юрайт, 2017Потапов, А. П. Математический анализ. Дифференциальное и интегральноеисчисление функций одной переменной в 2-х ч. Часть 2: Учебник и практикум дляакадемического бакалавриата / А. П. Потапов. — М. : Изд-во Юрайт, 2017Потапов, А. П. Математический анализ. Дифференциальное исчисление ф.н.п.Уравнения и Ряды: Учебник и практикум для академического бакалавриата /А. П. Потапов. — М. : Изд-во Юрайт, 2019Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды [Текст] / Б. М. Будак,С. В. Фомин// Наука ГРФМЛ. 1965 – 608с.Виленкин Н. Я., Бохан К. А., Марон И. А. и др. Задачник по курсу математического анализа.Ч. 1[Текст] /Под ред. Н.Я. Виленкина.//Учеб.пособие для студентов заочн. Отделений физ.-мат. фак-тов пединститутов. – М., «Просвещение». 1971 – 343