Контрольная работа по Математике на тему: "Теория вероятностей"

Задача № 1

1. 1. Текст задачи:

В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом. В первой урне – 5 белых, 11 чёрных и 8 красных шаров, во второй – соответственно 10, 8 и 6. Из каждой урны извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что:

а) оба шара окажутся одного цвета;

б) красных шаров окажется больше, чем белых;

в) хотя бы один шар окажется белым.

 

Задача №2

2.1 Текст задачи:

Для приобретения турпутёвки турист может обратиться в одно из трех турагентств А, B, С. Вероятности обращения в каждое из агентств зависят от его рейтинга и равны 0,8, 0,1, и 0,1 соответственно. Цены тура в агентствах существенно различаются. С учетом этого вероятность покупки путевки в агентстве А равна 0,2, в агентстве B – 0,6 и в агентстве С – 0,4.

а) Найти вероятность того, что путевка куплена.

б) В каком агентстве это могло произойти с наибольшей вероятностью?

 

Задача №3

3.1 Текст задачи:

Вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний равна р. Найти вероятность того, что событие А наступит к раз в n испытаниях.

а) p = 0,9, k = 1, n = 3;

б) p = 0,02, k = 5, n = 200.
 

Задача №4

4.1 Текст задачи:

Задан закон распределения дискретной случайной величины ξ:

Найти:

а) неизвестную вероятность р6;

б) математическое ожидание Mξ, дисперсию Dξ и среднее квадратическое отклонение σ данной случайной величины;

в) функцию распределения F(x) и построить её график.

 

Задача №5

5.1 Текст задачи:

Случайная величина ξ задана функцией распределения
F(x) =  {  0 при x ⩽ 0
          { 1/8* х³ при 0 < x ⩽2
          { 1 при x > 2

Найти:

а) плотность распределения p(x);

б) математическое ожидание Mξ;

в) дисперсию Dξ;

г) вероятность попадания случайной величины ξ на заданный интервал . []0,5; 1,5

Построить графики функций F(x) и p(x).
 

Задача №6

6.1 Текст задачи:

Известны математическое ожидание а = 5 и среднее квадратическое отклонение σ = 1 нормально распределённой случайной величины ξ. Найти плотность вероятности и функцию распределения этой случайной величины. Найти вероятность попадания её на отрезок [1,12]

Задача №7

7.1 Текст задачи:

Дано:

Выборка без повторений изпарка: N =280; n =35; x = 1342 км; s = 227 км.

Предполагаем нормальность пробега.

Уровень доверия 1 - а = 0,95 ⇒ t _{n-1; 1-a/2} = t_{34; 0, 975} ≈ 2,032

Формула доверительного интервала для среднего:

Стандартная (без поправки на конечную совокупность):

x + t_{34; 0, 975} * s / √n

С учётом бесповторной выборки (рекомендуется, т.к. n/N = 35/280 =0,125 не мало):

x + t_{34; 0, 975} * s / n√((N-n) / N - 1))
 

Без поправки (классический t-интервал):
Погрешность: 2,032 * 38,37 ≈ 77,97

Интервал: 1342+- 77,97 ⇒ [ 1264,03; 1419,67] км

С поправкой на конечную совокупность (SRSWOR):

√((N-n) / N - 1)) = √(245/ 279) ≈ 0,9731 

Скорректированная погрешность: 2, 032 * 38, 37 * 0, 9371 ≈ 73,06 

Интервал: 1342 +-  73,06   ⇒ [ 1268, 94; 1415,06] км 

 

Задача №8

8.1 Текст задачи:

По данным Росстата средний возраст безработного по РФ составляет 40 лет. Выборочное обследование демографических характеристик безработных в регионе выявило, что средний возраст безработного составил 38 лет, со стандартным отклонением 4 года. Выяснить, существенны ли результаты выборочного исследования, если в выборку попало 25 человек? Ответ дать на 5% уровне значимости.

Задача №9

9.1 Текст задачи:

В таблице приведено распределение толщины 12 000 бобов

Используя критерий согласия “хи-квадрат” Пирсона, при уровне значимости 0,1, проверить гипотезу о том, что толщина бобов подчиняется нормальному распределению.