это быстро и бесплатно
Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!
ID (номер) заказа
1573356
Ознакомительный фрагмент работы:
1.Определенный интеграл и формула Ньютона-Лейбница
Когда функция y=y(x)y=y(x) является непрерывной из отрезка [a; b][a; b] ,а F(x)F(x) является одной из первообразных функции этого отрезка, тогда формула Ньютона-Лейбницасчитается справедливой. Запишем ее так ∫baf(x)dx=F(b)−F(a)∫abf(x)dx=F(b)-F(a).
Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.
Чтобы произвести доказательство этой формулы, необходимо использовать понятие интеграла с имеющимся переменным верхним пределом.
Когда функция y=f(x)y=f(x) непрерывна из отрезка [a; b][a; b], тогда значение аргумента x∈[a; b]x∈a; b, а интеграл имеет вид ∫xaf(t)dt∫axf(t)dt и считается функцией верхнего предела. Необходимо принять обозначение функции примет вид ∫xaf(t)dt=Φ(x)∫axf(t)dt=Φ(x), она является непрерывной, причем для нее справедливо неравенство вида (∫xaf(t)dt)′=Φ′(x)=f(x)∫axf(t)dt'=Φ'(x)=f(x).
Зафиксируем, что приращении функции Φ(x)Φ(x) соответствует приращению аргумента Δx∆x, необходимо воспользоваться пятым основным свойством определенного интеграла и получим
Φ(x+Δx)−Φ(x)=∫x+Δxaf(t)dt−∫xaf(t)dt==∫x+Δxaf(t)dt=f(c)⋅(x+Δx−x)=f(c)⋅ΔxΦ(x+∆x)-Φx=∫ax+∆xf(t)dt-∫axf(t)dt==∫ax+∆xf(t)dt=f(c)·x+∆x-x=f(c)·∆x
где значение c∈[x; x+Δx]c∈x; x+∆x.
Зафиксируем равенство в виде Φ(x+Δx)−Φ(x)Δx=f(c)Φ(x+∆x)-Φ(x)∆x=f(c). По определению производной функции необходимо переходить к пределу при Δx→0∆x→0, тогда получаем формулу вида Φ'(x)=f(x)Φ'(x)=f(x). Получаем, что Φ(x)Φ(x) является одной из первообразных для функции вида y=f(x) y=f(x), расположенной на [a; b][a; b]. Иначе выражение можно записать
F(x)=Φ(x)+C=∫xaf(t)dt+CF(x)=Φ(x)+C=∫axf(t)dt+C, где значение CC является постоянной.
Произведем вычисление F(a)F(a) с использованием первого свойства определенного интеграла. Тогда получаем, что
F(a)=Φ(a)+C=∫aaf(t)dt+C=0+C=CF(a)=Φ(a)+C=∫aaf(t)dt+C=0+C=C, отсюда получаем, что C=F(a)C=F(a). Результат применим при вычислении F(b)F(b) и получим:
F(b)=Φ(b)+C=∫baf(t)dt+C=∫baf(t)dt+F(a)F(b)=Φ(b)+C=∫abf(t)dt+C=∫abf(t)dt+F(a), иначе говоря, F(b)=∫baf(t)dt+F(a)F(b)=∫abf(t)dt+F(a). Равенство доказывает формулу Ньютона-Лейбница ∫baf(x)dx+F(b)−F(a)∫abf(x)dx+F(b)-F(a).
Приращение функции принимаем как (F(x))ba=F(b)−F(a)Fxab=F(b)-F(a). С помощью обозначения формулу Ньютона-Лейбница принимает вид ∫baf(x)dx=(F(x))ba=F(b)−F(a)∫abf(x)dx=Fxab=F(b)-F(a).
Чтобы применить формулу, обязательно необходимо знать одну из первообразных y=F(x)y=F(x) подынтегральной функции y=f(x)y=f(x) из отрезка [a; b][a; b] , произвести вычисление приращения первообразной из этого отрезка. Рассмотрим несколько примером вычисления, используя формулу Ньютона-Лейбница.
Пример 1
Произвести вычисление определенного интеграла ∫31x2dx∫13x2dx по формуле Ньютона-Лейбница.
Решение
Рассмотрим, что подынтегральная функция вида y=x2y=x2 является непрерывной из отрезка [1;3][1;3], тогда и интегрируема на этом отрезке. По таблице неопределенных интегралов видим, что функция y=x2y=x2 имеет множество первообразных для всех действительных значений...
Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников 
Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.
Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов
Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит
Бесплатные доработки и консультации
Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки
Гарантируем возврат
Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа
Техподдержка 7 дней в неделю
Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему
Строгий отбор экспертов
К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»
Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован 
Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн 
Дневник ознакомительной практики обучающиеся 4 курса заочной формы обучения
Дневник по практике, Пдн
Срок сдачи к 30 окт.
Написать научно-исследовательскую статью и оформить её по требованиям
НИР, Электротехника и электроника
Срок сдачи к 13 нояб.
выполнить сборочный чертеж
3D-модель, Основы автоматизированного проектирования
Срок сдачи к 20 дек.
Нужна презентация по косметологии для студента стоматолога на тему
Презентация, Косметлогия
Срок сдачи к 23 окт.
Решить задачи
Решение задач, Основы международных стандартов финансовой отчетности
Срок сдачи к 23 окт.
Контрольная работа.
Контрольная, Методика обучения русскому языку в начальной школе
Срок сдачи к 30 окт.
Необходимо ответить на вопросы он-лайн на обучающем сайте образовательного заведения (курсы)
Ответы на вопросы, Судебная, строительно-техническая и стоимостная экспертиза объектов недвижимости
Срок сдачи к 29 окт.
Прокурорский надзор за трудоустройством и переобучением участников СВО
Статья, Прокурорский надзор
Срок сдачи к 31 окт.
Экзаменационный билет
Онлайн-помощь, ПМ. 04 Выполнение работ по одной или нескольким профессиям рабочих
Срок сдачи к 24 окт.
«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами
Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:
Принимаем к оплате
© 2011—2026 Всё сдал!
Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!
Мы ВКонтакте 
Трейлер о сайте