Использование дифференциального исчисления в исследовании динамики

Оглавление

Введение 3
Использование дифференциального исчисления в исследовании динамики 4
Направления применения дифференциального исчисления в экономическом
анализе 7
1. Эластичность функции и её свойства 7
2. Предельные показатели в экономике 7
3. Максимизация прибыли 8
4. Закон убывающей эффективности производства 9
Заключение 11
Список источников 12

Введение

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записываемых в виде функций. В экономике очень часто требуется найти наилучшее (оптимальное) значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, минимальные издержки. Каждый показатель представляет собой функцию одного (нескольких) аргументов.
Аппарат дифференциального исчисления применяется так же в моделях экономической динамики. Динамические модели применяются для решения таких задач, как определения оптимальной или равноместной траектории развития экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.п.
Использование дифференциального исчисления в исследовании динамикиВ экономике очень часто требуется найти наилучшее, или оптимальное значение того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию одного или нескольких аргументов. Например, выпуск можно рассматривать как функцию затрат труда и капитала (как это делается в производственных функциях). Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) функции одной или нескольких переменных. Подобные задачи порождают класс экстремальных задач в экономике, решение которых требует использования методов дифференциального исчисления.
Методы дифференциального исчисления широко применяются не только для анализа взаимодействия отдельных экономических факторов, определения их взаимозаменяемости или оптимального сочетания, но и в сложных моделях экономики, в частности в моделях экономической динамики. Дифференциальное исчисление – это не только аппарат, позволяющий находить решения таких моделей, но и необходимый составной элемент для их построения. Динамические модели применяются для решения таких задач, как определение оптимальной или равновесной траектории развития экономической системы, её состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т. п.
В экономике важнейшим является вопрос нахождения и анализа взаимосвязей экономических переменных, определяющих функционирование экономического объекта или протекание экономического явления.
Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике, называется методами предельного анализа. Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа, их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции у = f (х) - это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных).
В экономике широко используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т.д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т.е. найти предельный эффект.
Широко используется в экономическом анализе понятие дифференциала, или главной линейной части приращения функции. Так, если некоторая величина у есть функция двух аргументов х1 и х2, то с использованием дифференциала легко рассчитать предельную норму замены между этими аргументами, т.е. величину, показывающую, сколько нужно фактора 2 для замены одной единицы фактора 1 с сохранением значения функции у.
Предельная норма замены важна в задачах потребительского выбора (взаимозаменяемость благ), в задачах оптимизации производства (взаимозаменяемость труда и капитала) и в ряде других задач. Пусть y=f {x1 x2). Если требуется сохранить значение функции у неизменным, то это означает, что приращение у, а значит и его главная линейная часть должны быть равны нулю.
Методы дифференциального исчисления широко применяются не только для анализа взаимодействия отдельных экономических факторов, определения их взаимозаменяемости или оптимального сочетания, но и в сложных моделях экономики, в частности - в моделях экономической динамики. Дифференциальное исчисление - это не только аппарат, позволяющий находить решения задач с использованием таких моделей, но и необходимый составной элемент для их построения. Динамические модели применяются для решения таких задач, как определение оптимальной или равновесной траектории развития экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.п.
В заключении можно уверенно сказать, что дифференциальное исчисление – это один из важнейших математических аппаратов, применяемых в экономике. Дифференциальное исчисление незаменимо при планировании производственной деятельности предприятия, и помогает находить наиболее оптимальный путь развития, максимально сокращать издержки производства, а также решать ещё ряд необходимых задач по осуществлению производственной деятельности.
Направления применения дифференциального исчисления в экономическом анализеЭластичность функции и её свойстваВажнейшим направлением применения дифференциального исчисления в экономике является введение с его помощью понятия эластичности. Коэффициент эластичности показывает относительное изменение исследуемого экономического показателя под действием единичного относительного изменения экономического фактора, от которого он зависит при неизменных остальных влияющих на него факторах.
Понятие эластичности было введено Аланом Маршалом в связи с анализом функции спроса. По существу, это понятие является чисто математическим и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций.
Эластичностью функции Ех(у) называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х.
Свойства эластичности:
1. Эластичность - безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины у и х.
2. Эластичности взаимно обратных функций - взаимно обратные величины.
3. Эластичность произведения двух функций и(х) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей.
4. Эластичность частного двух функций и(х) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей.
Предельные показатели в экономикеПредельный показатель (показатели) функции – это ее производная. В экономике часто используются средние величины, но требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, то есть найти предельный эффект.
Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисления.
В качестве характерного примера рассмотрим предельные издержки. Следует заметить, что предельные издержки – это затраты, связанные с выпуском одной дополнительной единицы продукции. Пусть y(x) затраты на изготовление х экземпляров некоторого продукта. Тогда y'(x) выражает скорость изменения затрат при изменении количества продукта. Эта производная называется предельной (маржинальной) стоимостью.
Предельная величина характеризует не состояние (как суммарная или средняя величина), а процесс (как изменение экономического объекта). Таким образом, предельная величина выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса).
Помимо предельных издержек с помощью производной могут быть определены: предельных доход, предельная стоимость, предельный спрос, предельная выручка, предельная производительность труда и другие предельные величины.
Максимизация прибылиМаксимизация прибыли (минимизация убытков) достигается при объеме производства, соответствующем точке равновесия предельного дохода и предельных издержек. Эта закономерность называется правилом максимизации прибыли.
Правило максимизации прибыли означает, что предельные продукты всех факторов производства в стоимостном выражении равны их ценам или что каждый ресурс используется до тех пор, пока его предельный продукт в денежном выражении не станет равнозначен его стоимости.
Увеличение выпуска продукции повышает прибыль предприятия. Но только в том случае, если доход от продажи дополнительной единицы продукции превышает издержки производства данной единицы.
Максимизация прибыли при разных условиях отличается:
в условиях несовершенной конкуренции;
прибыль при монополии (на рынке отсутствуют другие производители);
прибыль при олигополии (небольшое число компаний-конкурентов);
Чтобы добиться максимизации прибыли в долгосрочном периоде организации необходимо учитывать изменение цен, вероятность появления новых конкурентов или, наоборот, их уменьшение. Каждое предприятие, которое стремится функционировать эффективно, должно рационально использовать внешние и внутренние ресурсы.
Закон убывающей эффективности производстваЗакон убывающей предельной производительности действует в краткосрочном временном интервале, когда один производственный фактор остаётся неизменным. Действие закона предполагает неизменное состояние техники и технологии производства.
Если в производственном процессе будут применены новейшие изобретения и другие технические усовершенствования, то рост объёма выпуска может быть достигнут при использовании тех же самых производственных факторах, т. е. технический прогресс может изменить границы действия закона.
Если капитал является фиксированным фактором, а труд - переменным, то фирма может увеличить производство за счёт использования большего количества трудовых ресурсов. Но по закону убывающей предельной производительности, последовательное увеличение переменного ресурса при неизменности других ведёт к убывающей отдаче данного фактора, т. е. к снижению предельного продукта или предельной производительности труда.
Если же наем рабочих будет продолжаться, то в конечном итоге, они будут мешать друг другу (предельная производительность станет отрицательной), и объем выпуска сократится.
Заключение

Таким образом, в работе показаны различные задачи экономического анализа, решаемые с помощью дифференциального исчисления. В заключении можно уверенно сказать, что дифференциальное исчисление - это один из важнейших математических аппаратов, применяемых в экономике.
Дифференциальное исчисление незаменимо при планировании производственной деятельности предприятия, и помогает находить наиболее оптимальный путь развития, максимально сокращать издержки производства, а также решать ещё ряд необходимых задач по осуществлению производственной деятельности.
Список источников

1. А.С. Солодовников, В.А.Бабайцев, А.В.Браилов. Математика в экономике. М., Финансы и статистика, 2008г.
2. В.И. Малыхин. Математика в экономике. М., ИНФРА-М, 2005г.
3. А.Н. Колесников. Краткий курс математики для экономистов. М., ИНФРА-М, 2009г.
4. М.С. Красс, Б.П.Чупрынов. Основы математики и её приложения в экономическом образовании. М., 2003г.