Анализ и прогнозирование доходов населения

Задание (базовый уровень)

1. Общий анализ временного ряда.
1.1. Проверить гипотезу о случайности тренда временного ряда.
1.2. Провести линейное сглаживание методом скользящей средней по пяти точкам. На
одном рисунке построить график временного ряда и график сглаженного ряда.
1.3. Вычислить коэффициенты автокорреляции. Проверить статистическую
значимость коэффициентов автокорреляции. Построить коррелограмму. Сделать вывод.
2. Моделирование временного ряда без учета сезонности.
2.1. Построить линейный тренд.
2.2. Оценить качество уравнения тренда (средняя относительная ошибка
аппроксимации, критерии Фишера и Стьюдента).
2.3. Записать аддитивную модель ряда и ее характеристики (уравнение тренда,
коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, дисперсия отклонений, средняя
модельная ошибка).
2.5. Построить прогноз доходов населения в январе 2002 г. Оценить точность
прогноза.
2.5. Результаты анализа изобразить графически.
Выполнение (базовый уровень)

1. Общий анализ временного ряда.
1.1. Проверим гипотезу о случайности тренда временного ряда:
Построим поле корреляции:

01020304050607080
0
500
1000
1500
2000
2500
Y

t

Рис. 1.

Уже исходя из графика видно, что значения y образуют пилообразную фигуру.

3
С помощью критерия «восходящих и нисходящих» серий сделать вывод о
присутствии или отсутствии тренда. Доверительную вероятность принимаем равной 0,95.
Согласно критерию «восходящих и нисходящих» серий гипотеза случайности
проверяется следующим образом
1) Для исходного ряда 12,,...,nyyy образуется последовательность
121,,...,nddd , последующему правилу:
1
1
1
, если 0,
0, если 0,
, если 0.
ii
iii
ii
yy
dyy
yy









Таблица 1

В дальнейшем рассматриваются только плюсы и минусы, нули
не участвуют в анализе.
2) Подсчитывается vn — число серий в последовательности ,1,...,1.idin Под
серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один отдельно
стоящий плюс или минус тоже считается серией.
3) Определяется maxn — протяженность самой длинной серии.
4) В условиях случайности временного ряда число серий не
должно быть слишком маленьким, а протяженность самой длинной серии — слишком
большой. Если нарушается хотя бы одно из следующих двух неравенств, то гипотеза
случайности отвергается для
приблизительно 5%-ного уровня значимости:

max0
11629
211,96
390
n

vnn
nn











где

0
5, 26
6, 26<153
7, 1531170
n
nn
n










724047v

, max7263
Так как оба неравенства нарушается, то нулевая гипотеза о случайности ряда
отвергается (следовательно, подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной
составляющей).
1.2. Проведем линейное сглаживание методом скользящей средней по пяти точкам. На
одном рисунке построим график временного ряда и график сглаженного ряда.
Найдем скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже
не содержат сезонной компоненты.
Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего
найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные
скользящие средние.

Таблица 2

Строим график временного ряда и график сглаженного ряда

01020304050607080
0
500
1000
1500
2000
2500
Y

t Рис. 2

1.3. Вычислим коэффициенты автокорреляции. Проверим статистическую значимость
коэффициентов автокорреляции. Построим коррелограмму. Сделать вывод.

5
Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого
составляем первую вспомогательную таблицу.

Таблица 3

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 72, а на 71,
т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.
121
22
1111

65827,6927,15,64264,1905,13.

171171
nn
tt
tt
yyyy
nn



Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка:

1

5524032,66

0,808
7312940,746384499,20r



.

Полученное значение коэффициента автокорреляции свидетельствует о тесной
зависимости между среднемесячными доходах населения текущего и непосредственно
предшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряду среднемесячных
доходах населения в некотором регионе России сильной линейной тенденции.
Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все
полученные значения заносим в сводную таблицу.

Таблица 4

Лаг Коэффициент автокорреляции уровней
1 0,808438136
2 0,808572996
3 0,811919899
4 0,829793243
5 0,761543959
6 0,812720032
7 0,725585188
8 0,791151792
9 0,739779542
10 0,696790143
Коррелограмма:

6

12345678910
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85

Рис. 3.

Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет
сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний.
2. Моделирование временного ряда без учета сезонности.
2.1. Построим линейный тренд.
Произведем расчет коэффициентов a 0 и a 1 линейного тренда и рассчитать прогноз на 3
года вперед:
Оценка параметров линейного тренда выполним методом наименьших квадратов, для
этого используем систему линейных уравнений:
01
11
2
01
111
;
nn
t
tt
nnn
t
ttt
anaty
atatty
















В таблице 5 приведены расчеты промежуточных показателей, необходимых для
решения:

Подставим полученные данные в систему уравнений:

01
01
72262866258,9
26281270202846553,6
aа
aа





Решив систему уравнений получим: a 0 = 417,79, a 1 = 13,77.
Уравнение принимает вид

ŷ =417,79 + 13,77·t.

При увеличении фактора времени t на 1 год среднемесячные доходы населения Y(t)
(руб.) возрастают в среднем на 13,77 руб.
2.2. Оценим качество уравнения тренда (средняя относительная ошибка
аппроксимации, критерии Фишера и Стьюдента).
Качество модели оценивается коэффициентом детерминации R 2 .



2
21
2
1
ˆ
1661996,71
110,78
7555392,45

n
ii
i
n
i
i
yy

R

yy










Величина R 2 = 0,78 означает, среднемесячные доходы населения можно на 78%
объяснить вариации (разброса) времени.
Точность модели оценим с помощью средней ошибки аппроксимации:
Средняя ошибка аппроксимации вычисляется по формуле:

ˆ
100%
ii
i

ocm

yy
y

E

n




Найдем величину средней ошибки аппроксимации А :

9,068
100%12,59%
72ocmE

.
Е отн =12,59%. Точность модели удовлетворительная.
Оценим значимость уравнения регрессии с помощью критерия Фишера.
Расчетное значение F- критерия вычислим по формуле:


2
2

0,78/1

248,22

(10,78)/(722)1/1
R
k

F
Rnk


Уравнение регрессии значимо на уровне α, если расчетное значение F> F табл , где F табл –
табличное значение F-критерия Фишера
Табличное значение F-критерия можно найти с помощью функции FРАСПОБР 1 .
Табличное значение F-критерия при α=0,05 при v 1 = k = 1 и v 2 = n – k – 1 = 70 составляет
3.98.
Поскольку F рас >F табл , уравнение регрессии следует признать значимым.
2.3. Запишем аддитивную модель ряда и ее характеристики (уравнение тренда,
коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, дисперсия отклонений, средняя
модельная ошибка).
Общий вид аддитивной модели следующий: Y = T + S + E.
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть
представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент. Рассчитаем
компоненты аддитивной модели временного ряда.
1 В Excel2010название функцииFРАСПОБР изменено на F.ОБР.ПХ.

Для этого:
Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней
ряда на центрированные скользящие средние. Эти оценки используются для расчета
сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый период оценки сезонной
компоненты S j . Сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В адитивной модели это
выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть
равна нулю.

Показатели 1 2 3 4
1 108,50 -57,87
2 7,71 40,18 -2,27 -88,17
3 -20,51 52,01 97,52 -94,25
4 -2,6 26,87 62,28 -74,86
5 189,2 -31,02 -41,13 -70,03
6 14,54 -35,59 230,13 -86,88
7 -56,41 -37,33 83,63 -79,27
8 -42,71 26,32 -61,61 -24,88
9 65,2 -53,85 340,35 -119,72
10 -140,5 105,96 44,76 -72,37
11 -5,8 -43,51 194,66 -51,17
12 -68,12 -67,43 378,37 -234,74
13 -51,2 -6,78 72,88 -74,28
14 119,42 -20,79 -94,53 64,1
15 -57,2 20,33 385,23 -225,18
16 -107,04 20,56 142,34 -102,12
17 77,61 -5,16 32,52 1416,2
18 -134,89

Всего за период -213,30 -9,23 1973,63 24,51
Средняя оценка сезонной компоненты -12,55 -0,58 116,10 1,44
Скорректированная сезонная компонента, S i -38,65 -26,68 89,99 -24,66
Для данной модели имеем:
ΣŜ i = –12,55 – 0,58 116,10 + 1,44 = 104,41
Корректирующий коэффициент:

104,41
26,10
4k

Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:
ΣS i = –38,65 – 26,68 + 89,99 – 24,66 =0.
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты S i  и заносим
полученные данные в таблицу. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее
значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T + E = Y - S.
Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и
случайную компоненту.

t y t S i y t  - S i T T + S i E = y t  - (T + S i ) E 2
1 431,3 -38,65 469,95 433,19 394,54 36,76 1351,37

2 512,8 -26,68 539,48 446,91 420,23 92,57 8569,30
3 541,8 89,99 451,81 460,63 550,62 -8,82 77,84
4 654,5 -24,66 679,16 474,35 449,69 204,81 41947,59
5 512,2 -38,65 550,85 488,07 449,42 62,78 3941,27
6 586,1 -26,68 612,78 501,79 475,11 110,99 12318,56
7 598,7 89,99 508,71 515,51 605,50 -6,80 46,30
8 539,1 -24,66 563,76 529,23 504,57 34,53 1192,30
9 458,5 -38,65 497,15 542,95 504,30 -45,80 2097,81
10 536,7 -26,68 563,38 556,67 529,99 6,71 44,99
11 614,6 89,99 524,61 570,39 660,39 -45,79 2096,32
12 675,6 -24,66 700,26 584,11 559,45 116,15 13490,40
13 516 -38,65 554,65 597,83 559,18 -43,18 1864,80
14 636,5 -26,68 663,18 611,55 584,87 51,63 2665,25
15 680,4 89,99 590,41 625,27 715,27 -34,87 1215,71
16 759,4 -24,66 784,06 638,99 614,33 145,07 21044,35
17 675,1 -38,65 713,75 652,72 614,06 61,04 3725,29
18 952,4 -26,68 979,08 666,44 639,76 312,64 97746,65
19 728,5 89,99 638,51 680,16 770,15 -41,65 1734,60
20 720,8 -24,66 745,46 693,88 669,21 51,59 2661,04
21 682,2 -38,65 720,85 707,60 668,95 13,25 175,66
22 776,4 -26,68 803,08 721,32 694,64 81,76 6685,21
23 754,1 89,99 664,11 735,04 825,03 -70,93 5031,06
24 1023,1 -24,66 1047,76 748,76 724,10 299,00 89403,25
25 704,5 -38,65 743,15 762,48 723,83 -19,33 373,56
26 731,3 -26,68 757,98 776,20 749,52 -18,22 331,91
27 711,4 89,99 621,41 789,92 879,91 -168,51 28396,11
28 782,4 -24,66 807,06 803,64 778,98 3,42 11,71
29 605 -38,65 643,65 817,36 778,71 -173,71 30174,91
30 623 -26,68 649,68 831,08 804,40 -181,40 32905,89
31 667,8 89,99 577,81 844,80 934,79 -266,99 71285,23
32 589,3 -24,66 613,96 858,52 833,86 -244,56 59809,19
33 662,2 -38,65 700,85 872,24 833,59 -171,39 29374,78
34 819,5 -26,68 846,18 885,96 859,28 -39,78 1582,55
35 770,2 89,99 680,21 899,68 989,67 -219,47 48169,01
36 1192,8 -24,66 1217,46 913,40 888,74 304,06 92452,09
37 761,8 -38,65 800,45 927,12 888,47 -126,67 16045,85
38 773,7 -26,68 800,38 940,84 914,16 -140,46 19729,78
39 998,7 89,99 908,71 954,56 1044,56 -45,86 2102,76
40 917,8 -24,66 942,46 968,28 943,62 -25,82 666,78
41 830,6 -38,65 869,25 982,00 943,35 -112,75 12713,39
42 927 -26,68 953,68 995,72 969,04 -42,04 1767,72
43 907,8 89,99 817,81 1009,44 1099,44 -191,64 36724,87
44 1162,9 -24,66 1187,56 1023,17 998,50 164,40 27026,18
45 938,7 -38,65 977,35 1036,89 998,24 -59,54 3544,43
46 979 -26,68 1005,68 1050,61 1023,93 -44,93 2018,32
47 994,9 89,99 904,91 1064,33 1154,32 -159,42 25414,36
48 1412,4 -24,66 1437,06 1078,05 1053,39 359,01 128891,72
49 810,4 -38,65 849,05 1091,77 1053,12 -242,72 58911,35
50 1008,2 -26,68 1034,88 1105,49 1078,81 -70,61 4985,37
51 1020,6 89,99 930,61 1119,21 1209,20 -188,60 35570,07

52 1095,9 -24,66 1120,56 1132,93 1108,27 -12,37 152,93
53 991,2 -38,65 1029,85 1146,65 1108,00 -116,80 13641,79
54 1188 -26,68 1214,68 1160,37 1133,69 54,31 2949,72
55 1055,2 89,99 965,21 1174,09 1264,08 -208,88 43631,59
56 1004,6 -24,66 1029,26 1187,81 1163,15 -158,55 25137,47
57 1186 -38,65 1224,65 1201,53 1162,88 23,12 534,56
58 1132,5 -26,68 1159,18 1215,25 1188,57 -56,07 3143,86
59 1274,4 89,99 1184,41 1228,97 1318,96 -44,56 1985,88
60 1646,8 -24,66 1671,46 1242,69 1218,03 428,77 183844,16
61 1056,7 -38,65 1095,35 1256,41 1217,76 -161,06 25940,65
62 1208,9 -26,68 1235,58 1270,13 1243,45 -34,55 1193,81
63 1312,7 89,99 1222,71 1283,85 1373,84 -61,14 3738,67
64 1434,8 -24,66 1459,46 1297,57 1272,91 161,89 26208,06
65 1248,4 -38,65 1287,05 1311,29 1272,64 -24,24 587,70
66 1458,3 -26,68 1484,98 1325,01 1298,33 159,97 25589,43
67 1387,9 89,99 1297,91 1338,73 1428,73 -40,83 1666,78
68 1435,4 -24,66 1460,06 1352,45 1327,79 107,61 11579,39
69 1435,8 -38,65 1474,45 1366,17 1327,52 108,28 11723,70
70 1345,6 -26,68 1372,28 1379,89 1353,21 -7,61 57,98
71 1494,3 89,99 1404,31 1393,62 1483,61 10,69 114,33
72 1994,8 -24,66 2019,46 1407,34 1382,67 612,13 374698,37
0,00 1850227,65
Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое
выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического
выравнивания следующие: T = 419,47 + 13,72∙t.
Подставляя в это уравнение значения t = 1,...,72, найдем уровни T для каждого
момента времени.
Качество модели оценивается коэффициентом детерминации R 2 .



2
21
2
1
ˆ
1850227,6
110,755
7555392,45

n
ii
i
n
i
i
yy

R

yy










Величина R 2 = 0,78 означает, среднемесячные доходы населения можно на 78%
объяснить вариации (разброса) времени.
Точность модели оценим с помощью средней ошибки аппроксимации:
Оценим значимость уравнения регрессии с помощью критерия Фишера.
Расчетное значение F- критерия вычислим по формуле:


2
2

0,755/1

215,84

(10,755)/(722)1/1
R
k

F
Rnk


Уравнение регрессии значимо на уровне α, если расчетное значение F> F табл , где F табл –
табличное значение F-критерия Фишера
Табличное значение F-критерия можно найти с помощью функции FРАСПОБР 2 .
Табличное значение F-критерия при α=0,05 при v 1 = k = 1 и v 2 = n – k – 1 = 70 составляет
3,98.

2 В Excel2010название функцииFРАСПОБР изменено на F.ОБР.ПХ.

Поскольку F рас >F табл , уравнение регрессии следует признать значимым.
1. Среднее абсолютное отклонение (МAD - mean absolute derivation)

11
ˆ
8357,86
116,08
72

nn
ttt
tt
yy

MAD

nn






где n - число уровней временного ряда, для которых определялось прогнозное значение,
ŷ t - прогнозное значение показателя,
y t - фактическое значение показателя.
Использование этой характеристики полезно в тех случаях, когда исследователю
требуется получить оценку точности в тех же единицах, в которых измерены уровни
исходного временного ряда.
2. Средняя ошибка аппроксимации (МАРЕ - mean absolute percentage error)

1
ˆ19,24

100%100%12,83%
72

n
tt
tt
yy

MAРЕ
ny





Значение МАРЕ характеризует величину, на которую теоретические уровни,
рассчитанные по модели, в среднем отклоняются от фактических. Для получения вывода о
точности прогноза может быть использована следующая шкала
3. Средняя процентная ошибка (МРЕ - mean percentage error) используется для оценки
смещения прогноза, т.е. получения информации о том, является ли прогноз
переоценивающим или недооценивающим.

1
ˆ11,27

100%100%1,76%

72

n
tt
tt
yy

MРЕ
ny





если МРЕ < 0, прогноз переоценивающий (характерно систематическое завышение
прогнозируемого показателя по сравнению с фактическими значениями)
МРЕ > 0, прогноз недооценивающий (характерно занижение показателя).
По результатам выполненных расчетов на основе аддитивной модели можно сделать
следующие выводы:
 в среднем прогнозируемый объем продаж отклоняется от фактического в большую или в
меньшую сторону на 0116,08 руб.;
 средняя ошибка аппроксимации (МАРЕ) составляет 12,83%, что говорит о
удовлетворительной точности аддитивной модели,
 средняя процентная ошибка (МРЕ) близка к нулю (составляет –1,76%), что означает
значительное завышение показателя. В целом прогноз близок к несмещенному.
2.5. Построим прогноз доходов населения в январе 2002 г. Оценим точность прогноза.
Используя это уравнение, можно сделать прогноз среднемесячных доходов населения
на январь 2002 г:
ŷ 2002 = 419,47 + 13,72· 73 =1407,34 руб.
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S 1  = – 38,65.
Таким образом, F 73  = T 73  + S 1  = 1407,34 – 38,65= 1368,69 руб.
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал.
Примем значение уровня значимости α = 0,05, следовательно, доверительная вероятность
равна 95%, а критерий Стьюдента при 

= n –2 =70 равен 1,994. Ширину доверительного

интервала вычислим по формуле:

2

α

2
1
1()

() 1

()
nY
t
nkt

UkSt
n
tt






⌢

,

12

где

2
1
n
t
t
YS
np





⌢

=162,58
t

= 1,994,
36,5t

,

2
1
()31098
N
t
tt




,
2
1(72136,5)

(73)162,581,994 1333,32
7231098U

,

Далее вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза.
Верхняя граница = ()прогнозyUk
Нижняя граница = ()прогнозyUk

Таблица 6.

nk ()Uk Прогноз Верхняя граница Нижняя граница
73 U 1 =333,32 1368,69 1035,36 1702,01
Таким образом, прогнозное значение прогнy

=1368,69 c вероятностью 95% будет
находиться между верхней границей, равной 1368,69 +333,32=1702,01 и нижней границей,
равной 1368,69 – 333,21=1702,01.
2.5. Результаты анализа изобразить графически.

01020304050607080
0
500
1000
1500
2000
2500

Исходный временной ряд
Аддитивная модель временного ряда
прогноз
НГ
ВГ