Основы построения и анализа систем автоматического регулирования

Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u Задание PAGEREF _Toc77456145 \h 21 часть задания на проектирование PAGEREF _Toc77456146 \h 22 часть задания на проектирование PAGEREF _Toc77456147 \h 2Введение PAGEREF _Toc77456148 \h 4Часть 1 PAGEREF _Toc77456149 \h 61.1 Непрерывная система поддержания чистоты воды в бассейне PAGEREF _Toc77456150 \h 61.2 Ответы на вопросы PAGEREF _Toc77456151 \h 10Часть 2 Задание на проектирование. Система управления углом курса самолета PAGEREF _Toc77456152 \h 122.1 Передаточная функция системы, операторно-структурная схема, уравнения состояния PAGEREF _Toc77456153 \h 122.2 Синтез непрерывного модального регулятора при распределении полюсов по Баттеворту PAGEREF _Toc77456154 \h 182.3 Синтез непрерывного модального регулятора при биноминальном распределении полюсов PAGEREF _Toc77456155 \h 232.4 Синтез непрерывного модального регулятора с помощью итеративной процедуры выбора желаемого размещения полюсов PAGEREF _Toc77456156 \h 272.5 Грубость системы PAGEREF _Toc77456157 \h 322.6 Синтез ПИД–регулятора PAGEREF _Toc77456158 \h 332.7 Автоматизированный синтез ПИД–регулятора PAGEREF _Toc77456159 \h 38Заключение PAGEREF _Toc77456160 \h 40Список источников PAGEREF _Toc77456161 \h 41

Задание1 часть задания на проектирование1. Для заданного динамического объекта разработать самостоятельно, либо взять из литературы схему системы автоматического регулирования, работающей по принципу отклонения.
2. Разработать вариант комбинированной системы, включающей контуры управления по отклонению и по возмущению.
3. Описать функционирование рассматриваемой системы, обратив особое внимание на доказательства ее работоспособности и области применения. При описании системы нужно четко сформулировать, что именно система должна делать, для чего она предназначена. В том числе необходимо ответить на следующие обязательные вопросы:
•какая задача регулирования решается данной САР;
•что является объектом регулирования;
•что является регулируемой переменной;
•что предполагается измерять;
•какой принцип регулирования использован в данной САР;
•какова природа управляющего воздействия и возмущения;
•имеется ли в системе устройство сравнения и если да, то как оно работает.
4. Дать описание принципов работы исполнительного устройства и измерительной системы, которые могут быть использованы в предлагаемой САР.Вариант: Непрерывная система поддержания чистоты воды в бассейне.
2 часть задания на проектирование1. Для одной из приведенных ниже моделей неизменяемой части системы автоматического регулирования, необходимо выполнить следующие задания.
2. Записать модель в форме операторно-структурной схемы, передаточной функции и уравнений состояния (все модели сначала должны быть получены в символьной форме, а затем переведены в числовую).
3. Синтезировать непрерывный модальный регулятор по полному вектору состояния, обеспечивающий заданное время переходного процесса tп с точностью ±10% при распределении полюсов по Баттерворту. Проверить результаты моделированием в среде Matlab/Simulink.
4. Синтезировать непрерывный модальный регулятор по полному вектору состояния, обеспечивающий заданное время переходного процесса tп с точностью ±10% при биномиальном распределении полюсов. Проверить результаты моделированием.
5. Синтезировать непрерывный модальный регулятор по полному вектору состояния, обеспечивающий заданное качество переходных процессов (перерегулирование по выходной переменной σ, время переходного процесса tп) с точностью ±10%. Численные значения σ и tп брать из таблицы исходных данных для соответствующей неизменяемой части системы автоматического регулирования. Проверить результаты моделированием на линейной модели.
6. Изменяя параметры модального регулятора в интервале ±10% путем моделирования проверить грубость полученной замкнутой системы.
7. Провести итерационный синтез ПИД регулятора, ориентируясь на исходные данные пункта 4. Начальное приближение получить одним из рекомендованных в данных методических указаниях методов. Проверить результаты моделированием.
8. Одним из описанных в данных методических указаниях методов провести автоматизированный синтез ПИД регулятора для тех же исходных данных.
Вариант: номер модели неизменяемой части – 3; вариант исходных данных – 3.
ВведениеЦелью курсовой работы по дисциплине «Теория автоматического управления 2» является освоение методики построения функциональных схем систем регулирования простых динамических объектов, с анализом их назначения, возможностей, элементного состава и реализованных принципов управления, а также в приобретении практических навыков по синтезу систем управления для конкретных динамических объектов и анализу полученных результатов.
Курсовая работа требует практического применения знаний, полученных в курсе «Теория автоматического управления 2», для решения задачи построения и исследования системы автоматического управления динамическим объектом.
Курсовая работа состоит из двух частей. В первой части выполняется разработка на уровне функциональной схемы системы автоматического регулирования для одного из динамических объектов. Во второй – синтезируются несколько вариантов регуляторов и проводится исследование полученной замкнутой системы.
К основным разделам первой части курсовой работы относятся:
разработка функциональной схемы системы автоматического регулирования заданного технического объекта, включающей устройство сравнения, а также исполнительный, усилительно-преобразовательный и информационно-измерительный блоки;
описание принципа работы САР с анализом области применения и границ работоспособности предложенной схемы;
выбор элементного состава исполнительного и информационно-измерительного блоков предложенной системы.
Вторая часть работы включает:
получение модели динамического объекта в форме системы дифференциальных уравнений;
получение операторно-структурной схемы и расчет передаточной функции объекта;
переход к линейной модели в форме уравнений состояния;
выбор структуры управления объектом в рамках заданных ограничений;
параметрический синтез модального регулятора по полному вектору состояния, обеспечивающего заданное качество замкнутой системы;
анализ точностных и динамических характеристик замкнутой системы при детерминированных входных воздействиях;
синтез ПИД регулятора методом стандартных характеристик;
итерационный синтез ПИД регулятора, обеспечивающего заданное качество замкнутой системы;
автоматизированный синтез ПИД-регуляторов.

Часть 11.1 Непрерывная система поддержания чистоты воды в бассейнеПосле купания даже одного человека в бассейне, в воду добавляется множество микроорганизмов, а также питательная среда для их развития – частички кожи, пыль, а в открытых бассейнах ещё и листья, и прочий мусор органического происхождения. Проблему можно решить, например, полной заменой воды. Однако сегодня менять регулярно воду дорого, поэтому широко применяется организация циркуляции воды, её очищение путём фильтрации и обеззараживание с помощью специальных установок.
Для формирования функциональной схемы САР требуется определение объекта регулирования и функциональных блоков САР. Принцип регулирования по отклонению состоит в том, что измеряется регулируемая величина, сравнивается с требуемым значением (задающим воздействием) и выявляющееся при этом отклонение преобразуется в регулирующее воздействие. Последнее, влияя на объект регулирования, стремится уменьшить или устранить это отклонение. Измерительный элемент, который измеряет регулируемую величину на выходе объекта и подает её на элемент сравнения (вход системы), образует главную обратную связь. Функциональная схема САР с регулированием по отклонению показана на рисунке 1.

Рисунок 1 – Функциональная схема замкнутой САР.
При формировании схемы САР выходной сигнал предыдущего устройства поступает на вход последующего устройства: например, выход датчика подавать на вход элемента сравнения, выход элемента сравнения подключать к входу усилителя и т.д.
Системы водоподготовки для бассейна предполагают наличие насоса как непрерывно работающего механизма, подающего воду к очистным устройствам, а также механических фильтров грубой и тонкой очистки. Фильтры требуют периодической промывки с открытием и закрытием кранов на трубопроводах вручную, замены наполнителей (песка или картриджей), и тому подобных редко выполняемых операций. Поэтому все эти устройства – чаша бассейна, механические фильтры, краны, а также соединяющие их трубопроводы, могут быть объединены в один объект управления, для краткости обозначенный как «бассейн».
Исполнительное устройство в проектируемой САР выполняет функции очистки воды от биологических загрязнений, т.е. дезинфекции. В настоящее время основные способы дезинфекции – это хлорирование, озонирование, обеззараживание ультрафиолетовым излучением, ионизации медью или серебром.
Основной недостаток хлорирования – это накопление в воде хлорорганических химических соединений (источники неприятного запаха) и побочных продуктов обеззараживания, которые могут вызывать целый ряд хронических заболеваний. При использовании озонирования имеется аналогичная проблема накопления в воде формальдегида, как простого продукта трансформации органических веществ и структур. При этом некоторые микроорганизмы и водоросли могут приспособляться как к хлору, так и к озону. При использовании ультрафиолетовых лучей как самостоятельного способа очистки также наблюдается эффект привыкания некоторых микроорганизмов и их приспособление к новым условиям жизни.
Основное преимущество медь-серебряной ионизации перед другими способами дезинфекции – это полное устранение из воды водорослей и возбудителей инфекционных заболеваний при минимуме затрат энергии и отсутствии затрат на покупку химических препаратов. Обслуживание системы требуется только при замене источников ионов (медных или серебряных электродов) с периодичностью от нескольких дней до нескольких недель в зависимости от объёма и интенсивности использования бассейна. Дополнительные преимущества:
1) купание в воде питьевого качества, так как все «тяжелые» металлы присутствуют в воде на уровне ПДК, то есть в соответствии с питьевыми гигиеническими нормативами;
2) можно обходиться без специальных коагулянтов «органики», так как процесс коагуляции идет самостоятельно вследствие образования медь-серебряных органических соединений;
3) метод допускает дополнительное использование другого электрофизического способа – ультрафиолета, что позволяет обходиться без хлора при обслуживании бассейна;
4) метод не зависит от колебаний показателя кислотности воды (рН), но зависит от жесткости и электропроводности воды (наличие проводящих ток солей);
5) в отличие от хлорирования и озонирования не требуется контроль качества воздуха над водой.
Поэтому для проектируемой системы принимается обеззараживание воды с помощью ионов меди в комбинации с ультрафиолетовым излучением. При этом из-за отсутствия промышленных датчиков бактериального загрязнения (существуют только лабораторные методы) ультрафиолетовая лампа включается периодически по командам таймера (релейное управление без обратной связи), а концентрация ионов меди поддерживается непрерывно. В силу отсутствия обратной связи для ультрафиолетовой лампы её вместе с таймером также можно отнести к объекту управления – бассейну.
В качестве датчика обратной связи (рисунок 1) принимается автоматический фотоколориметр ИК-114, предназначенный для периодического измерения различных примесей в малых концентрациях в глубоко очищенной воде. Этот прибор автоматически подготавливает пробы по стандартным фотоколориметрическим методикам с минимальным расходом реагентов, а в промежутках между измерениями может поддерживать на выходе стандартный токовый сигнал 0…20 мА.
Сигнал задания также реализуется в виде токового сигнала 0…20 мА; сигналы задания и обратной связи вычитаются в электронной схеме, которая является устройством сравнения (например, вычитатель на операционном усилителе, рисунок 2).

Рисунок 2 – Вычитатель на операционном усилителе
Выходной сигнал вычитателя при R1 = R2 определяется по формуле
U0 = Ui2 – Ui1
Затем этот сигнал подаётся на усилительно-преобразовательное устройство (в данной САР его можно просто усилить по току, чтобы обеспечить необходимую производительность ионизатора) и далее на исполнительное устройство. Исполнительное устройство представляет собой пару электродов из чистой меди (99,99%), находящихся в потоке воды в трубопроводе, ведущем в чашу бассейна.
Функциональная схемы разработанной САР представлена на рисунке 3.
Вычитатель на ОУ
(устройство сравнения)
C0
Усилитель
(усилительно-преобразовательное устройство)
Ионизатор
(исполнительное устройство)
Бассейн
(объект)
автоматический фотоколориметр
(датчик)
Cфакт
ΔC
I
C
mзагрВычитатель на ОУ
(устройство сравнения)
C0
Усилитель
(усилительно-преобразовательное устройство)
Ионизатор
(исполнительное устройство)
Бассейн
(объект)
автоматический фотоколориметр
(датчик)
Cфакт
ΔC
I
C
mзагр
Рисунок 3 — Функциональная схема разработанной САР
1.2 Ответы на вопросыДанная САР является системой автоматической стабилизации, так как решает задачу стабилизации концентрации ионов меди в бассейне.
Объектом регулирования является бассейн.
Регулируемой переменной является концентрация ионов меди в бассейне.
Измеряемой переменной является концентрация ионов меди в бассейне.
САР реализована в классе замкнутых систем. В ней использован принцип регулирования по отклонению, в соответствии с которым значение регулируемой переменной измеряется и сравнивается с задающим сигналом. Ошибка сравнения используется для формирования управляющего сигнала на объект.
Управляющее воздействие на объект состоит в генерации бактерицидных ионов меди, возмущение состоит в привнесении в воду загрязнений, обозначенных на рисунке 3 как mзагр.
Устройством сравнения является вычитатель на ОУ, который формирует электрический сигнал разности заданной концентрации ионов меди и текущего значения этой концентрации в бассейне. Электрический сигнал разности затем усиливается и подаётся на исполнительное устройство – ионизатор.

Часть 2 Задание на проектирование. Система управления углом курса самолета2.1 Передаточная функция системы, операторно-структурная схема, уравнения состоянияФункциональная схема неизменяемой части системы управления углом курса самолета показана на рисунке 4.

Рисунок 4 – Функциональная схема неизменяемой части системы управления углом курса самолета
Здесь
У – усилитель мощности,
РМ – рулевая машина,
ОС – жесткая обратная связь,
С – корпус самолета.
Линеаризованные уравнения элементов системы имеют вид.
Усилитель
uu=ku·u1-uосРулевая машина
Tрм·d2δdt2+dδdt=kрм·uu; uос=kос·δКорпус самолета
Tс·d2ψdt2+dψdt=kс·δ-km·MbВ приведенных уравнениях:
ψ – действительное значение угла курса;
u1, uoc, uu – напряжения медленно изменяющегося постоянного тока;
δ – угол отклонения руля;
Mb – возмущающий момент.
ku = 15; koc = 0,05 В/рад; kрм = 1,0 рад/(В·с); Tpм = 0,15 с; kс = 1,5 1/с; Tc = 1,5 с; km = 0,3 рад/(с·Нм); Mb = 30 Нм; σ = 10%; tп = 1,5 с.
Для определения структурной схемы и передаточной функции необходимо выразить старшие производные линеаризованной математической модели системы управления углом курса самолета, затем упростить выражение (привести подобные слагаемые). В результате получена система:
d2δdt2=-1Tрмdδdt-kос·kрм·kuTрм·δ+kрм·kuTрм·u1d2ψdt2=-1Tсdψdt+kсTс·δ-kmTс·MbПо полученной системе уравнений построена операторно–структурная схема (ОСС) в общем виде (рисунок 5).
u1
kрмku/Tрмd2δ/dt21/s
dδ/dtδ1/s
-
1/Tрм-
kockрмku/Tрмd2ψ/dt21/s
dψ/dtψ1/s
-
1/Tc-
kc/Tckm/TcMb
u1
kрмku/Tрмd2δ/dt21/s
dδ/dtδ1/s
-
1/Tрм-
kockрмku/Tрмd2ψ/dt21/s
dψ/dtψ1/s
-
1/Tc-
kc/Tckm/TcMb

Рисунок 5 — ОСС в общем виде
u1
100
d2δ/dt21/s
dδ/dtδ1/s
-
6,667
-
5
d2ψ/dt21/s
dψ/dtψ1/s
-
0,6667
-
1
0,2
Mb
u1
100
d2δ/dt21/s
dδ/dtδ1/s
-
6,667
-
5
d2ψ/dt21/s
dψ/dtψ1/s
-
0,6667
-
1
0,2
Mb

Рисунок 6 — ОСС в числовом виде
Далее рассчитана передаточная функция системы (рисунок 7).
u1
W3
d2δ/dt2W1
dδ/dtδW2
-
W1oc
-
W2oc
d2ψ/dt2W5
dψ/dtψW6
-
W5oc
-
W4
WmMb
u1
W3
d2δ/dt2W1
dδ/dtδW2
-
W1oc
-
W2oc
d2ψ/dt2W5
dψ/dtψW6
-
W5oc
-
W4
WmMb

Рисунок 7 – ОСС с делением на блоки
В результате, в общем виде получены выражения, где WЭ – передаточная функция всей системы:
W1=1s;W1ос=1Tрм;W2=1s;W2ос=kос·kрм·kuTрм;W3=kрм·kuTрм;W4=kсTс;W5=1s;W5ос=1Tс;W6=1s;Wm=kmTсW1э=W11+W1·W1ос=1s1+1s·1Tрм=TрмTрмs+1W12=W1эW2=TрмTрмs2+sW12э=W121+W12·W2ос=TрмTрмs2+s1+TрмTрмs2+s·kос·kрм·kuTрм==TрмTрмs2+s+kос·kрм·kuW1234=W3·W12э·W4=kрм·kuTрм·Tрм·kсTсTрмs2+s+kос·kрм·ku=kрм·ku·kсTсTрмs2+s+kос·kрм·kuW5э=W51+W5·W5ос=1s1+1s·1Tс=TсTсs+1Wэ=W1234·W5э·W6=kрм·ku·kсTсTрмs2+s+kос·kрм·ku·TсTсs+1·1s==kрм·ku·kсTрмs2+s+kос·kрм·ku·Tсs+1·s==kрм·ku·kсTрм·Tсs3+Tсs2+Tс·kос·kрм·ku·s+Tрмs2+s+kос·kрм·ku·s;Wэ=kрм·ku·kсTрм·Tсs4+Tс+Tрм·s3+Tс·kос·kрм·ku+1·s2+kос·kрм·ku·sПодставив числа, была получена передаточная функция (ПФ) всей системы:
Wэ=22,50,225·s4+1,65·s3+2,125·s2+0,75·sУравнения состояния в общем виде записываются так, чтобы в них были только первые производные неизвестных функций состояния. Кроме заданных функций состояния δ и ψ, дополнительно вводятся функции x1 и x2 (первые производные заданных функций состояния). В уравнения состояния входит также функция y, выражающая выход системы через функции состояния:
dx1dt=-1Tрм·x1-kос·kрм·kuTрм·δ+kрм·kuTрм·u1dx2dt=-1Tс·x2+kсTс·δ-kmTс·Mbdδdt=x1dψdt=x2y=ψВведением вектора состояния х, управления u и возмущения f, и матриц A, B, C, Q, система уравнений состояния преобразуется к матричной форме.
x=x1x2δψ;u=u1;f=Mbddtx1x2δψ=-1Tрм0-kос·kрм·kuTрм00-1TсkсTс010000100·x1x2δψ+kрм·kuTрм000·u1++0-kmTс00·Mb;y=0001·x1x2δψили
dxdt=A·x+B·u1+Q·Mb;y=C·xгде
A=-1Tрм0-kос·kрм·kuTрм00-1TсkсTс010000100;B=kрм·kuTрм000;Q=0-kmTс00C=0001Уравнения состояния в числовом виде:
dx1dt=-6,667·x1-5·δ+100·u1dx2dt=-0,6667·x2+1·δ-0,2·Mbdδdt=x1dψdt=x2y=ψМатрицы в числовом виде
A=-6,6670-500-0,66671010000100;B=100000;Q=0-0,200C=00012.2 Синтез непрерывного модального регулятора при распределении полюсов по БаттевортуМодальный синтез основан на назначении матриц эталонных моделей. Данные матрицы определяются с помощью специального расположения корней характеристического полинома системы на комплексной плоскости корней. Примером такого полинома является полином Баттерворта [2].
Из передаточной функции видно, что система четвертого порядка. Из этого следует, что характеристический полином по Баттерворту должен быть вида:
s4+2,6ω0s3+3,4ω02s2+2,6ω03s+ω04=0Показатели универсальных переходных функций даны в таблице 1.
Таблица 1 – Показатели универсальных переходных функций
n 1 2 3 4 5
τn, о.е. 3 3 6 6,9 7,6
σ, % – 4,6 8,1 11,1 12,7
Для рассматриваемой системы:
n=4; τn=6,9; σ=11,1%;Желаемое время переходного процесса tп = 1,5 с. Таким образом, можно определить среднегеометрический корень ω0:
ω0=τntn=6,91,5=4,6 с-1Тогда желаемое характеристическое уравнение принимает вид:
s4+11,96s3+71,94s2+253,07s+447,75=0. (1)Далее определяется вид характеристического уравнения с помощью определителя матрицы М, которая вычисляется по формуле:
M=Is-A+BK;M=s0000s0000s0000s--6,6670-500-0,66671010000100++100000k1k2k3k4=s+6,6670500s+0,6667-10-10s00-10s++100k1k2k3k4000000000000==s+6,667+100k1100k25+100k3100k40s+0,6667-10-10s00-10sХарактеристическое уравнение:
s+6,667+100k1100k25+100k3100k40s+0,6667-10-10s00-10s=0;s+6,667+100k1s+0,6667-100s0-10s++-1100k25+100k3100k4s+0,6667-10-10s=0;s+6,667+100k1·s·s+0,6667-10s-100k2-100s++5+100k3·s+0,66670-1s-100k4s+0,6667-1-10=0;s+6,667+100k1·s2·s+0,6667+100k2·s++5+100k3·s·s+0,6667+100k4=0;s4+6,667·s3+100k1·s3+0,6667·s3+4,444·s2+66,67k1·s2++100k2·s+5+100k3·s2+0,6667·s+100k4=0;s4+6,667·s3+100k1·s3+0,6667·s3+4,444·s2+66,67k1·s2++100k2·s+5·s2+3,333·s+100k3·s2+66,67k3·s+100k4=0;s4+7,333+100k1·s3+9,444+66,67k1+100k3·s2++100k2+3,333+66,67k3·s+100k4=0; (2)Сравнивая (1) и (2), можно записать систему уравнений для определения коэффициентов ki:
7,333+100k1=11,96;9,444+66,67k1+100k3=71,94;100k2+3,333+100k3=253,07;100k4=447,75.откуда
K=0,046271,903 0,59414,478Полученные коэффициенты проверены с помощью моделирования в программе Matlab. Схема системы с непрерывным модальным регулятором при распределении полюсов по Баттеворту показана на рисунке 8. Для удобства работы с графиком результаты моделирования (время и угол) передаются в WorkSpace Matlab в блоках ToWorkSpace.

Рисунок 8 – ОСС системы с коэффициентами по Баттерворту
Построен график переходного процесса полученной системой (рисунок 9). На этом же графике красными линиями показан 5% коридор, окончательный вход в который означает завершение переходного процесса.
По графику переходного процесса определяются показатели качества регулирования:
-время окончания переходного процесса tп = 1,618 с;
-перерегулирование σ = (0,2631 – 0,2234)/0,2234 · 100% = 17,8 %.

Рисунок 9 – Переходный процесс системы с коэффициентами по Баттерворту
В результате синтеза по распределению полюсов Баттерворта удалось достичь требуемого значения времени переходного процесса (1,62 секунды, что укладывается в заданный интервал 1,5±10% = 1,35…1,65 с); при этом перерегулирование (17,8%) оказалось несколько больше требуемого.
2.3 Синтез непрерывного модального регулятора при биноминальном распределении полюсовМетодика синтеза такая же, как и в случае распределения полюсов по Баттерворту, только в качестве желаемого характеристического полинома используется полином
s4+4ω0s3+6ω02s2+4ω03s+ω04=0 который и определяет биноминальное распределение полюсов на комплексной плоскости.
Показатели универсальных переходных функций при биноминальном распределении показаны в таблице 2.
Таблица 2 – Показатели универсальных переходных функций при биноминальном распределении полюсов
n 1 2 3 4 5
, о.е. 3 4,75 6,3 7,8 9,1
Для рассматриваемой системы:
n=4; τn=7,8;Желаемое время переходного процесса tп = 1,5 с. Таким образом, можно определить среднегеометрический корень ω0:
ω0=τntn=7,81,5=5,2 с-1Тогда желаемое характеристическое уравнение принимает вид:
s4+20,8s3+162,24s2+562,43s+731,16=0. (3)По уравнению (2) записывается система уравнений для определения коэффициентов ki:
7,333+100k1=20,8;9,444+66,67k1+100k3=162,24;100k2+3,333+100k3=562,43;100k4=731,16.откуда
K=0,13474,1528 1,43827,3116Полученные коэффициенты проверены с помощью моделирования в программе Matlab. Схема системы с непрерывным модальным регулятором при биноминальном распределении полюсов показана на рисунке 10.

Рисунок 10 – ОСС системы с биноминальными коэффициентами
Построен график переходного процесса полученной системой (рисунок 11). На этом графике красными линиями показан 5% коридор, окончательный вход в который означает завершение переходного процесса.
По графику переходного процесса определяются показатели качества регулирования:
-время окончания переходного процесса tп = 1,618 с;
-перерегулирование σ = (0,2631 – 0,2234)/0,2234 · 100% = 17,8 %.

Рисунок 11 – Переходный процесс с биноминальными коэффициентами
По графику переходного процесса определяются показатели качества регулирования:
-время окончания переходного процесса tп = 1,27 с;
-перерегулирование σ = (0,1399 – 0,1368)/0,1368 · 100% = 2,3 %.
В результате синтеза по биноминальному распределению полюсов удалось достичь требуемого значения времени переходного процесса меньше требуемого 1,35…1,65 с; при этом перерегулирование (2,3%) оказалось также меньше требуемого. Этот факт подтверждает правильную реализацию непрерывного модального регулятора при биноминальном распределении полюсов.
2.4 Синтез непрерывного модального регулятора с помощью итеративной процедуры выбора желаемого размещения полюсовДанный метод синтеза систем автоматического управления заключается в подборе корней на комплексной плоскости таким образом, что достигалась желаемая степень устойчивости и колебательность. Корни исходной системы определяются как характеристические числа матрицы А (эти числа также являются корнями характеристического полинома – знаменателя передаточной функции Wэ всей системы):
s1=0; s2=-0,6667;s3=-0,8613;s4=-5,8054.На рисунке 12 показано первоначальное расположение корней системы на комплексной плоскости. Все корни действительные; три из них отрицательные, а один из них равен нулю (расположен на мнимой оси) – система находится на границе устойчивости.
Степень устойчивости определяется по формуле:
η=minResi=1τгде τ – период, связанный со временем переходного процесса посредством следующего выражения:
tn=(3…5)τ
Рисунок 12 – Расположение корней системы без регулятора на комплексной плоскости
Требуемый период
τ=tn3…5=1,53…5=0,3…0,5 спринимается τ = 0,33 с. Тогда минимальная степень устойчивости равна:
η=minResi=10,33=3Колебательность системы μ определяется из зависимости
σ≤e-πμ·100%10%≤e-πμ·100%; 0,1≤e-πμ; ln0,1≤ -πμ;ln10≥πμ;μ≥πln10=1,36.Принимается колебательность μ = 1,5 и определяется мнимая часть первой пары корней:
Imsmax=μτ=1,50,33=4,5Получена пара корней s1,2 = -3 ± j4,5. Вторая пара корней принимается расположенной достаточно далеко от границы устойчивости, дальше, чем первая пара. Тогда переходной процесс, обусловленный второй парой корней, затухает намного быстрее, чем переходной процесс, обусловленный первой парой корней. Например, можно принять действительные корни s3,4 = -6.
Таким образом, желаемое характеристическое уравнение имеет следующий вид:
s+3-j4,5s+3+j4,5s+62=0;s+32+4,52s+62=0;s2+6s+9+20,25s2+12s+36=0;s2+6s+29,25s2+12s+36=0;s4+18s3+137,25s2+567s+1053=0; (4)По уравнению (2) записывается система уравнений для определения коэффициентов ki:
7,333+100k1=18;9,444+66,67k1+100k3=137,25;100k2+3,333+100k3=567;100k4=1053;откуда
K=0,10674,4297 1,206910,53Полученные коэффициенты проверены с помощью моделирования в программе Matlab. Схема системы с непрерывным модальным регулятором при желаемом распределении полюсов показана на рисунке 13.

Рисунок 13 – ОСС системы с желаемым распределением полюсов
Построен график переходного процесса полученной системой (рисунок 14). На этом графике красными линиями показан 5% коридор, окончательный вход в который означает завершение переходного процесса.
По графику переходного процесса определяются показатели качества регулирования:
-время окончания переходного процесса tп = 1,418 с;
-перерегулирование σ = (0,103 – 0,0950)/0,0950 · 100% = 8,4 %.

Рисунок 14 – Переходный процесс с желаемым распределением полюсов
В результате синтеза по желаемому распределению полюсов удалось достичь требуемого значения времени переходного процесса в пределах 1,35…1,65 с; при этом перерегулирование (8,4%) оказалось немного меньше требуемого 9…11%. Модальный регулятор реализован правильно.
2.5 Грубость системыИспользование стандартных характеристик предполагает, что заданное качество можно получить сдвигом всех полюсов системы в заданные точки. Однако, зачастую это не требуется, так как исходная система имеет лишь один, или несколько полюсов, не отвечающих заданным требованиям. В этом случае может иметь место проблема грубости получаемых решений. Правильно синтезированный модальный регулятор должен быть работоспособным не только при расчетных значениях параметров, но и в некотором диапазоне отклонений от этих значений.
Была проверена грубость полученной замкнутой системы при изменении параметров модального регулятора в интервале 10%, значения коэффициентов представлены в таблице 3.
Таблица 3 – Изменённые параметры регулятора
Коэффициенты +10% Коэффициенты 0% Коэффициенты -10%
k1 = 0,1174 k1 = 0,1067 k1 = 0,0960
k2 = 4,8727 k2 = 4,4297 k2 = 3,9867
k3 = 1,3276 k3 = 1,2069 k3 = 1,0862
k4 = 11,583 k4 = 10,53 k4 = 9,477
Результаты проверки путем моделирования представлены на рисунке 15.

Рисунок 15 – Переходные процессы при различных параметрах регулятора
Из рисунка 15, что при изменении коэффициентов система лишь незначительно меняет свои характеристики, сохраняя устойчивость в обоих случаях. Это свидетельствует о грубом характере системы.
2.6 Синтез ПИД–регулятораПервоначальная настройка ПИД–регулятора для рассматриваемой системы (рисунок 16) осуществлена с помощью эмпирического метода настройки Циглера–Николса.

Рисунок 16 — ОСС для настройки ПИД–регулятора
Сначала система переведена в П–закон регулирования и выводится на границу колебательной устойчивости; при этом наблюдается переходный процесс в виде незатухающих колебаний (рисунок 17). Критический коэффициент усиления регулятора определён методом подбора и равен Ккр = 0,041, а период незатухающих колебаний составил Ткр = 19,33 – 10,07 = 9,26 с.

Рисунок 17 – Переходный процесс с П-регулятором на границе устойчивости
Затем были рассчитаны параметры П, ПИ и ПИД регуляторов (таблица 4), для формулы:
PIDs=KP1+1TI·1s+TD·sТаблица 5 — Настройка П, ПИ и ПИД–регулятора
KPTITDП-регулятор 0,5KКP=0,0205ПИ-регулятор 0,45KКP=0,01850,83TКP==7,686 сПИД-регулятор 0,6KКP=0,02460,5TКP==4,63 с0,125TКP==1,158 сПереходные процессы в системе с различными типами регуляторов показаны на рисунках 18, 19, 20.

Рисунок 18 – Переходный процесс системы с П-регулятором

Рисунок 19 – Переходный процесс системы с ПИ-регулятором

Рисунок 20 – Переходный процесс системы с ПИД-регулятором
Как видно из рисунков 18, 19 и 20, получить заданные параметры системы при настройке регуляторов методом Циглера–Николса не удалось.
2.7 Автоматизированный синтез ПИД–регулятораСреда Matlab предоставляет возможность автоматической настройки ПИД–регулятора. Окно такой настройки показано на рисунке 21.

Рисунок 21 – Окно автоматической настройки ПИД–регулятора
Настройка производится кнопкой Tune. В результате автоматической настройки ПИД–регулятора получены коэффициенты:
KP=0,01985; KI=0,005291;TI=10,005291=189 с; KD=2,289 с.Переходный процесс для полученной системы с автоматически рассчитанным ПИД–регулятором показан на рисунке 22.

Рисунок 22 – Переходный процесс системы с автоматически настроенным ПИД–регулятором
При помощи автоматической настройки также не удалось получить заданные параметры системы – значительно превышено время переходного процесса.
ЗаключениеВ ходе выполнения курсовой работы была разработана система непрерывного поддержания чистоты воды в бассейне.
В ходе анализа САР «Система управления углом курса самолёта» были рассчитаны модальные регуляторы при использовании биноминального распределения и распределения Баттерворта. Также осуществлен синтез непрерывного модального регулятора по полному вектору состояния, который обеспечил заданные параметры системы: время переходного процесса tp = (1,5 ± 10%) c; перерегулирование σ = (10 ± 10%). Определено, что система является грубой.
Рассчитан ПИД–регулятор двумя методами: итерационным и автоматическим. Оба метода не дали желаемых параметров системы.


Список источников1. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования/ В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – М.: 2003. – 752 с.
2. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. – М.: 1987. – 712 с.
3. Александров А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем.– М.: 1986. – 272 с.