Делимость натуральных чисел» в основной школе

ВведениеАктуальность. Теория делимости – одна из важнейших математических теорий, связанных с делением чисел. Учения о делимости послужили базой для создания огромного ряда разделов математики, которые помогают в решении теоретико-числовых проблем. Как бы не менялось математическое образование, в школьной программе неизменными остаются темы теории делимости, без которых учащиеся не могут получить полного представления о математике. Темы теории делимости необходимы человеку в современном обществе для решения практических и внутриматематических задач.Познакомившись с операцией деления еще в начальной школе, учащиеся продолжают ее более подробное изучение в курсе 5-6 классов, далее изучают ее элементы в 7-9 классах, такие как решение дробнорациональных уравнений, деление многочленов и т.д. Таким образом, основные направления изучения чисел и операции над ними в начальной школе получили дальнейшее развитие при изучении теории делимости во множестве целых чисел в курсе математики в средней школе.Множество математических разделов тесно связано с различными вопросами теории чисел. Не менее важную роль играют, по сей день, изложенные теоретические и практические выкладки пифагорейскими философами основ делимости чисел. Именно благодаря им современности известны простые, составные, совершенные, дружественные, фигурные числа и др. [13, с.25]. Философы и ученые Древней Греции внесли неоценимый вклад в развитие математики, представив типологию натуральных чисел, рассмотрев множество натуральных чисел как классы [14, с.8]. Нельзя не упомянуть и Евклида. В его «Началах» представлена вся теоретическая часть данного раздела, в том числе всем известные основные свойства делимости целых чисел, теорема о бесконечности простых чисел, алгоритм для определения наибольшего общего делителя двух чисел и т.д. Не смотря на большое внимание к данному вопросу, практика обучения элементарной теории чисел, в частности теории делимости, на современном этапе имеет значительные нарекания и не является целостной структурой. В этой связи рассмотрим более подробно теоретический материал из теории делимости, который необходим, на наш взгляд, для более качественного изучения данного раздела в старших классах либо на уроках, либо во внеурочной деятельности.Степень научной разработанности темы. Проблемами делимости чисел на уроках математики занимались многие методисты и математики: В. Г. Болтянский, И. М. Виноградов, В. А. Далингер, Д. Пойа, Г. И. Саранцев, К. П. Сикорский, А. А. Столяр, П. Л. Чебышев и др.Объектом в курсовой работе являются – теория неделимости натуральных чисел.Предметом - методика обучения основам теории делимости натуральных чисел в 5-6 классах общеобразовательной школы.Целью в курсовой работе является – методологическое рассмотрение особенностей методики обучения основам теории делимости натуральных чисел в средней школе.В соответствии с целью, в курсовой работе поставлены следующие задачи: Рассмотреть содержание темы «Делимость натуральных чисел» в основной школе;Провести анализ содержания учебно-методических комплексов по методике обучения основам теории делимости натуральных чисел в 5-6 классах общеобразовательной школы;Выработать методические рекомендации по обучению теме «Делимость натуральных чисел» в основной школе.Структура работы включает в себя введение, 3 раздела, заключение и список использованной литературы. Содержание темы «Делимость натуральных чисел» в основной школеОтношение делимости – это одно из главных свойств целых чисел, изучением, которого занимается раздел математики теория чисел.В Древнем Египте действие деления производилось как действие, обратное умножению, то есть подбиралось такое число, которое, будучи умноженным на делитель, давало бы делимое. Египтяне при делении таких чисел, для получения целой части результата использовали процесс удвоения.В Греции, в школе Пифагора (VI в. до н.э.) изучались вопросы делимости чисел, рассматривались различные категории чисел, в том числе и простые. Античный процесс деления отличается от нашего тем, что умножение отдельного разряда частного на разряды делителя перемножается с вычитанием получаемых произведений из делителя и раздроблением остатков в единицы высших разрядов [13, с.28].У древних вавилонян технику деления можно было представить как общее правило, деление b/a выполнялось с помощью обращения числа а и умножения обратного значения на b.Обратное значение правильных чисел, значимость которых не превышала 2, находилось по таблицам.Но самый большой вклад среди математиков древности в теорию делимости внёс Евклид. В своих «Началах» (седьмой книге) он рассматривает многие вопросы этой теории. Как такового понятие деления Евклид не вводит, он лишь говорит о кратном.Следующий шаг в теории простых чисел сделал Эратосфен, давший способ выделения простых чисел из ряда натуральных чисел (Решето Эратосфена) [10, с.135].В дальнейшем, теорией делимости и теорией простых чисел математики заинтересовались уже в новое время (XVII в.).Многие знаменитые математики посвятили не одно свое исследование данной теме в разные годы 19-20 вв.Таким образом, теория делимости изучалась на протяжении многих веков и накопила богатый материал для изучения и исследования. Рассмотрим основные понятия теории делимости.Общая теория делимости дошла до нас в изложении Евклида. В ее основе лежит алгоритм нахождения НОД (алгоритм Евклида). Если А и В – целые, при чем 𝐴 > 𝐵, то алгоритм состоит в представлении А в виде 𝐴 = 𝑛𝐵 + 𝐵1, где 0 ≪ 𝐵1 < 𝐵, а затем в в виде 𝐵 = 𝑛1𝐵1 + 𝐵2, где 0 ≪ 𝐵2 < 𝐵1 и т.д. Процесс не может быть бесконечным, т.к. существует конечное число целых чисел, меньших В. Получается, что через конечное число шагов мы придем к остатку В𝑚 такому, что 𝐵𝑚 1 = 𝑛𝑚𝐵𝑚, 𝐵𝑚 и будет является НОД для чисел А и В [20, с.25]. Заметим, что, так как в ходе этих делений получаются последовательные неполные частные 𝑛, 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 разложения рационального числа 𝐴 𝐵 в непрерывную дробь.После введения этого алгоритма можно строго доказать основную теорему теории делимости. Произведение двух чисел АВ делится на простое число Р тогда и только тогда, когда на Р делится по крайней мере один из сомножителей. При этом доказывается, что любое число является либо простым, либо делится на какое-либо простое. А значит, любое А можно представить в виде 𝐴 = 𝑃1𝑃2 … 𝑃𝑚, где 𝑃𝑖 – простые числа. Далее доказывается, что если все сомножители различны, то такое представление числа единственно. Можно сказать, что закон единственности разложения числа на простые множители является основой для всей арифметики целых чисел. Так же этот закон называется основной теоремой арифметики. Одной из основных содержательных линий школьного курса математики является линия изучения числовых систем, в частности, вопросы теории делимости целых чисел.Основные цели изучения темы [17, с.87]:сформировать у учащихся умение проводить простые доказательные рассуждения и подготовить их к изучению обыкновенных дробей;продолжить развитие языка и логического мышления учащихся в процессе доказательства несложных утверждений.Тема имеет важное дидактическое значение, поскольку является основой для успешного изучения и овладения вычислительными умениями при работе с обыкновенными дробями. Операции с обыкновенными дробями пронизывают все темы школьного курса математики и смежных дисциплин, прежде всего физики и химии. Поэтому важно сформировать у учащихся прочные знания, умения и навыки работы с обыкновенными дробями в рамках программы. В то же время дать возможность интересующимся математикой школьникам расширить знания, выходя за пределы школьной программы.При изучении данной темы значительное внимание уделяется формированию у учащихся простейших доказательных умений. Доказательства свойств и признаков делимости проводятся на характерных числовых примерах, но методы доказательства могут быть распространены на общий случай. Понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного вводятся традиционно, но следует учесть, что в дальнейшем не всегда требуется сокращать дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя или приводить дроби обязательно к наименьшему общему знаменателю. В конце темы предусмотрены два урока, которые могут быть использованы для решения практико-ориентированных задач, нестандартных задач по теме или для различного рода презентаций, докладов, дискуссий [13, с.25].Основные требования к учащимся [3, с.8]:Знать: свойства делимости (произведения, суммы и разности); признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9; понятие простого, составного числа; делитель числа; разложение на простые множители, понятие «наибольший общий делитель»; правило отыскания НОД; понятие взаимно простых чисел, понятия «кратное» и «наименьшее общее кратное».Уметь: применять свойства делимости и признаки делимости при решении задач, могут выполнять действия, проверять верность утверждения; отражать в письменной форме свои решения; рассуждать и обобщать, аргументировать; различать простые и составные числа; умеют раскладывать составные числа на простые множители; представить число в виде произведения множителей; находить НОД и НОК.Проблемы, связанные с анализом свойств целых чисел, со всевозможными числовыми комбинациями, всегда привлекали внимание математиков, на всех ступенях человеческого знания играли большую роль. Например, работы П.Л. Чебышева демонстрируют возможности сочетания теории и практических задач, которые решаются различными математическими методами (задачи о губчатых колесах, о ветряных мельницах, о кройке платьев и т.д.). В теории чисел часто ставятся проблемы, которые просто и доступно формулируются, но поиски решения практических задач с использованием теории чисел создают условия для различных решений, поиска гипотез.Тема «Делимость чисел», с одной стороны, имеет прикладное значение в курсе математики 6-х классов, т.к. теоретические и практические результаты, полученные при ее изучении, используются при выполнении преобразований рациональных чисел (поэтому успешность изучения данной темы сказывается на успешности изучения темы «Рациональные числа»). С другой стороны, данный учебный материал может создать условия для развития творческого мышления учащихся. Внешне простые по своей постановке задачи темы «Делимость чисел» привлекают учащихся, мотивируют их творческую деятельность. Изучая данную тему, школьники с необходимостью приобретают опыт поиска закономерностей построения гипотез, опровержения и обоснования соответствующих предложений [10, с.134].Большинство задач по вопросам темы «Делимость чисел» отличаются по поиску их решений. Они формулируются на доступном для школьников уровне, не требуют для решения большой предварительной суммы знаний. Как правило, при их решении не требуется владение серьезными математическими техниками, что позволяет ученику с любым уровнем знаний активно включиться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя. Задачи на делимость чисел входят не только в тематику олимпиадных заданий, но и в практику вступительных экзаменов в вузы.Многие теоретико-числовые задачи школьного курса математики являются хорошей основой для самостоятельного планирования собственной деятельности: выдвигать цели и подцели, продумывать средства их реализации, выстраивать последовательность собственных действий и т.д.Указанные особенности теоретико-числовых задач открывают богатые возможности их использования для развития творческого мышления учащихся, повышения качества знаний учащихся, развития у них устойчивого интереса к занятиям математикой.Изучение теории делимости и простых чисел в 5 классеВ V классе деление определяется следующим образом: «Разделить число a на число b – значит найти такое х, что bx = a» попутно вводится понятие делимое, делитель и частное. При этом отмечаются те случаи, при которых деление невозможно: «Запомни: на нуль делить нельзя». Отдельные параграфы посвящены рассмотрению таких вопросов как: основное свойство частного, деление с остатком, письменное деление. В V классе формулируется основное свойство частного: «если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то частное не изменится» [2, с.28]. Изучение теории делимости и простых чисел в 6 классеВ VI классе отношение делимости рассматриваются на множестве целых чисел, в связи с введением понятий «отрицательные» числа и «положительные» числа, но вначале систематизируется материал по делимости натуральных чисел. Формулируются чёткие определения делителя и кратного, которое ранее определялись только на конкретных примерах. Здесь непосредственно уже перешли к знакам делимости [3, с.65].Многие аспекты этой теории отсутствуют, в связи со сложностью их изложения, но школьники всё-таки получают общее представление о ней в течение курса математики. Более сложные, но интересные вопросы теории делимости можно рассматривать на математических кружках и факультативных занятиях.Всем известен факт, что состояние математической подготовки учащихся характеризуется в первую очередь умением решать задачи. Для обучения школьников способом отыскания путей к решению нестандартных задач предназначен раздел «Задачи повышенной сложности».Задачи повышенной сложности, предлагаемые в школьном учебнике, можно разделить на три группы – по способу использования:Задачи, которые целесообразно решать со всеми учащимися;Задачи, которые полезно задать на дом в качестве не обязательного задания, а решение их рассмотреть вне урока с теми учащимися, которых они заинтересуют;Задачи, рассматриваемые на занятиях математического кружка.Это желание весьма условно и зависит от уровня подготовки учащихся, от их интересов. Трудность «задач повышенной сложности» определяется не столько математическим содержанием, сколько новизной т необычностью математической ситуации. Среди этих задач есть задачи на смекалку, задачи-шутки, которые вызывают оживление в классе, пробуждают интерес к умственной работе. Задачи повышенной трудности служат «переходным мостом» от классной работы к внеклассной, служат хорошим материалом для дополнительной нагрузки наиболее способных к математике учащихся, как в школе, так и дома. Учителю необходимо поощрять поиск различных способов решения задач, а не стремиться навязывать свое решение.Таким образом, основными диагностируемыми целями обучения теме «Делимость натуральных чисел» являются: Научить применять признаки делимости, предписание о нахождении НОД и НОК, раскладывать составные на простые множители.Продолжить развитие познавательного интереса к изучению математики; продолжить развитие элементов творческой деятельности учащихся, через вовлечение их в работу частичного поискового исследовательского характера; развивать умение наблюдать, сравнивать, анализировать, делать выводы.Воспитывать навыки коммуникативности в работе, умение слушать другого, уважение к мнению товарища; воспитывать у учащихся такие нравственные качества, как настойчивость, аккуратность, инициативность, точность, самостоятельность, активность.Анализ содержания учебно-методических комплексов по методике обучения основам теории делимости натуральных чисел в 5-6 классах общеобразовательной школы2.1 Анализ учебной программы в 5 классеВ курсе математики в 5-ом классе изучение темы «Делимость чисел» носит подготовительный характер. Но основная же цель курса – это систематизация и обобщение полученных знаний о натуральных числах на уроках математики в начальной школе.В программе Г.К. Муравина в 5 классе [15] практически не рассматриваются темы теории делимости, но в качестве подготовительного курса подробно изучается расширенное множество натуральных чисел, включая нольНиже приводится тематическое планирование к данному учебнику для общеобразовательной школы (таб. 1). [22 ,с.432]Табл. 1. Тематическое планирование по учебнику Г.К. Муравина для 5 классаСодержание темыКол-вочасовЧто должен уметь учащийся56Натуральные числа и ноль2733Десятичная система счисления Натуральный ряд чисел. Десятичная система счисления. Разряды и классы. Правила записи и чтения чисел. Сумма разрядных слагаемых.Сумма цифр числа45Описывать свойство натурального ряда. Читать и записывать натуральные числа. Находить сумму цифр числа и сумму разрядных слагаемых.Сравнение чиселЧисловые равенства и неравенства. Строгие и нестрогие неравенства. Правила чтения равенств и неравенств. Правила сравнения чисел.45Сравнивать и упорядочивать натуральные числа. Читать равенства, строгие и нестрогие неравенства. Решать задачи на увеличение и уменьшение на несколько единиц, а так же на увеличение и уменьшение в несколько раз.Контрольная работа11Рассмотрим учебник по математике средней школы Н.Я. Виленкин, Чесноков А.С., Шварцбург С.И. – «Математика. 5 класс» [2].В содержании обучения, обозначенного программой, содержатся такие темы, касающиеся теории делимости, как: натуральные числа и действия над ними; деление с остатком; делители и кратные числа; признаки делимости на 2,3,5,10; простые и составные числа; разложение числа на простые множители; общий делитель; общее кратное; решение текстовых задач и др.Согласно программе, математика преподается 5 часов в неделю, с общим количеством – 170 часов.Натуральные числа и шкалы (18ч.)При изучении этой темы учащиеся фактически не встречаются с действием деления. В её рамках продолжается развитие умения решать текстовые задачи.Сложение и вычитание натуральных чисел (20 ч.). По формулировке видно, что деление никак не фигурирует.Умножение и деление натуральных чисел (21ч.) Здесь учащиеся узнают: Деление натуральных чисел. Деление с остатком.Основная цель – закрепить навыки арифметических действий с натуральными числами. В этой теме проводится целенаправленное развитие и закрепление навыков умножения и деления многозначных чисел. Требуют постоянного внимания навыки устного умножения и деления двузначного числа на однозначное.В темах «Площади и объемы» (15ч.), «Обыкновенные дроби» (26ч.), «Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей» (13ч.) деление используется во многих задачах и примерах, но на нём внимание не заостряется.А вот при изучении темы «Умножение и деление десятичных дробей» (25ч.) учащиеся непосредственно сталкиваются с действием деления, но в пределах десятичных дробей. Хотя можно отметить, что в соответствии с программой специального внимания требует формирование навыков определения места запятой в результате вычисления, выполнения дроби на натуральное число, когда целая часть делимого меньше делителя.В данном ученике операция деления рассматривается в I главе.«Натуральные числа» сразу после операции умножения. Здесь можно наглядно проследить, что операция деления – обратная операция умножению. Приводится определение: «Действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель называют делением» [2, стр. 74]. После этого дается правило невозможности деления на ноль и приводятся следующие простейшие свойства деления:При делении любого числа на 1 получается это же число;При делении числа на это же число, получается 1;При делении ноля на число, получается нольПосле этого даются правило нахождения неизвестных множителей, делимого, делителя, и далее предоставляется практический материал для первичного закрепления.Сразу после практики следует тема «Деление с остатком», невозможность деления нацело приводится на конкретном примере (23 разделить на 4). Вводятся новые термины, а так же отмечается, что остаток всегда меньше делителя, и дается правило: «Чтобы найти делимое при делении с остатком, надо умножить неполное частное на делитель, и к полученному произведению прибавить остаток».Далее операция деления встречается в теме «Деление и дроби», в которой предоставляются следующие правила:С помощью дробей можно записать результат деления двух любых натуральных чисел;Если деление выполняется нацело, то частное является натуральным числом.Если же разделить нацело нельзя, что частное является дробным числом;Любое натуральное число можно записать в виде дроби с любым натуральным знаменателем. [2, с. 162].2.2 Анализ учебной программы по математике в 6 классеВ учебнике Г.К. Муравина в 6 классе [16] изучаются такие основные понятия теории делимости как:Делимость натуральных чисел. Делители и кратныеНОД и НОКСвойства делимости арифметических действий (сумма, разность, произведение)Признаки делимости чиселЦель данного курса – это завершение изучения натуральных чисел и закрепление умений вычислений с обыкновенными дробями. [16, с. 27]Основной упор делается на такие понятия, как «делитель», «кратное», «НОД» и «НОК», которые используются при сокращении дробей и приведении к общему знаменателю. Кроме того, выводятся основные свойства делимости суммы, разности и произведения чисел, но доказательства не даются.Признаки делимости чисел показываются на определенных примерах. При этом у учащихся формируются навыки вывода умозаключений, объяснять свои действия, ссылаясь на определения, свойства и правила делимости.Нахождение НОД и НОК предлагается различными способами для развития вариативного мышления учащихся.Кроме того, программа Муравина предлагает дополнительное изучение таких тем, как «Связь между НОД и НОК» и «Множества», но они не влияют на итоговую оценку учащихся по изучаемому предмету.Ниже приводится тематическое планирование к учебнику Г.К. Муравина для 6 класса общеобразовательной школы (таб. 2).Табл. 2 Тематическое планирование по учебнику Г.К. Муравина для 6 классаСодержание темыКол-во часовЧто должен уметь учащийся56Делимость чисел3541Делители и кратныеДелитель, НОД. Кратное, НОК.Сократимая и несократимая дробь.Деление с остатком67Формулировать определенияделителя и кратного. НаходитьНОД и НОК. Сокращать дроби.Приводить дроби к общемузнаменателю. Выполнять действияс обыкновенными дробями,используя НОК и НОД.Свойства делимости суммы, разности и произведения66Формулировать свойства делимости. Доказывать и опровергать с помощью контрпримеров утверждения о делимости чисел.Признаки делимости натуральных чисел Признаки делимости натуральных чисел на 2, 5, 10, 4, 3 и 957Формулировать признаки делимости. Доказывать и опровергать с помощью контрпримеров утверждения о делимости чисел.Простые и составные числа Разложение натурального числа на простые множители. Основная теорема арифметики. Правилонахождения НОД67Формулировать определения простого и составного числа. Раскладывать на простые множители.Контрольная работа11Взаимно простые числаПризнак делимости на 6, 12. НОК взаимно простых чисел56Формулировать определение взаимно простых чисел. Формулировать признакиделимости на 6, 12.МножестваМножество, элемент множества, конечное, бесконечное и пустое множество. Подмножество. Равенство множеств. Свойства объединения и пересечения множеств. Диаграммы Эйлера- Венна56Приводить примеры конечных и бесконечных множеств. Находить объединение и пересечение множеств. Приводить примеры несложных классификаций из различных областей жизни. Иллюстрировать теоретико- множественные понятия спомощью кругов Эйлера-ВеннаКонтрольная работа11Рассмотрим учебник И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович – «Математика. 6 класс».В данном учебнике для теории делимости отведена полностью глава «Делимость натуральных чисел». Сначала идет повторение основных понятий (кратность, делимое, делитель, делимость нацело с использованием обозначения «а ⋮ 𝑏»), после этого вводится определение НОК (наименьшего общего кратного): «Общий знаменатель, который мы находим, складывая или вычитая дроби с разными знаменателями, является кратным каждого из знаменателей, или, как говорят, общим кратным знаменателей. Для того чтобы не усложнять вычислений, обычно стараются найти наименьшее из общих кратных знаменателей. Наименьшее общее кратное чисел m и n принято обозначать НОК (m; n)» [12, с. 161]После дается несколько задач на нахождение НОК, и переходят к рассмотрению НОД (наибольшего общего делителя), вводя определение:«Числа, которые одновременно являются делителями некоторых чисел, называются их общими делителями. Наибольший общий делитель чисел m и n обозначают НОД (m; n)».Далее рассматриваются простейшие свойства делимости суммы, разности и произведения, а так же рассматривают следующие свойства:Если 𝑎 ⋮ 𝑏 и c не делится на b, то a + c не делится на b.Если a ⋮ b и (a + c) ⋮ b, то с ⋮ b,приводя для каждого свойства свой пример.После несколько параграфов так же отводятся на изучение признаков делимости. При чем в отличии от других учебников по математике для 6 класса, здесь вводится большое количество признаков делимости, он содержит признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 (для сравнения, в учебнике Н.Я. Виленкина рассматриваются признаки делимости только на 2, 3, 5, 9 и 10) [3, с. 87]. К каждому признаку подобраны вопросы для того, чтобы ответив на них, ученики сами смогли сформулировать признак делимости и подобрать пример.Следующая тема, посвященная теории делимости в данном учебнике, это тема «Простые числа. Разложение числа на простые множители». Здесь дается наглядное разъяснение отличия простого числа от составного, для этого приведена таблица. Табл. 3. Различие между простыми и составными числамиОдин делительДва делителяБолее двухделителей1простыесоставныеНатуральные числа, имеющие только два делителя, называют простыми. Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют составными. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.В ходе разложений числа на простые множители, авторы вводят основную теорему арифметики: «Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители, причем единственным способом».Главу «Делимость натуральных чисел» завершают темы, повторяющие НОД и НОК. Здесь приводятся более подробные алгоритмы для их нахождения, которые особо не отличаются с алгоритмами, приводящими другими авторами в других учебниках.Деление в VI классе на множестве натуральных чисел, начинает рассматриваться с первой темы: «Делимость натуральных чисел» (17ч.). В программе по этой теме изложены следующие пункты: «Делители и кратные натурального числа. Общий делитель. Общее кратное. Признаки делимости на 2,3,5,10. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Нахождение НОД и НОК (56ч.).В данной теме заканчивается изучение вопросов, связанных с натуральными числами.Определенное внимание уделяется знакомству с признаками делимости, понятию простого и составного числа.Можно сказать, что авторы опираются, прежде всего, на самостоятельность усвоения материала учащимися и на первоначальные знания, умения, навыки, полученные школьниками в начальной школе.3. Методические рекомендации по обучению теме «Делимость натуральных чисел» в основной школе3.1 Определение делимости чиселПервое знакомство школьников с операцией деления происходит еще в начальной школе. Сначала изучаются базовые арифметические операции (сумма, вычитание, умножение), а затем знакомятся с наиболее сложной операцией «деление». На этом этапе важно и нужно показать ученикам, что данная операция обратная умножению. Это делается с помощью простейших задач, в которых, к примеру, нужно разделить некоторое количество предметов поровну. Стоит отметить, что задачи в начальной школе предусматривают деление именно поровну, а значит нацело. Так же стоит ввести понятие «натуральные числа», т.е. числа, которые мы используем при счете, ибо на данном этапе это единственные рассматриваемые числа. Но нужно обговорить, что число 0 не является натуральным числом, мы не используем его при счете, а сразу начинает считать с единицы [1, с. 16].В средней школе при изучении отрицательных чисел необходимо проговорить, что они противоположны натуральным числам, и их деление так же обратно умножению (к примеру, делению −3: (−3) = 1 будет обратная операция умножения 1 ∗ (−3) = −3).При изучении дробей в 5-6 классах стоит обратить внимание учеников на то, что операцию деления можно представить в виде дроби как положительной, так и отрицательной, то есть записи 𝑎: 𝑏 и 𝑎 равносильны. В самом начале изучения данной теме необходимо выделить достаточное время на изучение целых и дробных чисел. Очень важно обратить внимание учащихся на то, что натуральные числа и им противоположные есть целые числа, которые так же можно представить в виде дроби, поделив на единицу (например, 5 = 5/1 или − 8 = −8/1). В этот момент вводится понятие «множество рациональных чисел», состоящее из дробных чисел типа 𝑎/𝑏 , где a – любое целое число (положительное или отрицательное), а b – любое натуральное число. Так же можно вводить понятие «множество целых чисел», состоящее их натуральных чисел, им противоположных и ноля. Важно отметить, что ноль всегда входит во множество целых чисел, т.к. он является результатом сложения двух противоположных чисел (𝑎 + +(−𝑎) = 0). Более подробно множества чисел рассматриваются в курсе алгебры 7-го класса. На данном этапе можно сделать вывод, что результатом от суммы, разности и произведения двух целых чисел будет являться так же целое число. Но при делении кроме целого, можно также получить и нецелое число. Целое число a делится на целое число b, если существует такое целое число c, что 𝑎 = 𝑏 ∗ 𝑐. Иначе говоря, a делится на b, если результатом их деления также является целое число. 𝑎: 𝑏 = 𝑐. Здесь a – делимое, b – делитель, c – результат деления a на b или кратное [5, с. 86]. Здесь следует обратить внимание на то, что в определении делимости внимание уделяется на то, что существует число 𝑐 ∈ 𝑍, что 𝑎 = 𝑏 ∗ 𝑐, но ничего не говорится о его единственности. Таким образом, при использовании определения делимости достаточно показать, что существует хотя бы один объект с данным свойством, а очевидный нам факт единственности подлежит строгому доказательству. И единственность частного позволяет нам ввести обозначение 𝑎 ∶ 𝑏. 3.2 Свойства делимости суммы, разности и произведения чиселЦель изучения данной темы – познакомить учащихся с простейшими свойствами делимости чисел, при этом педагогу нужно подготовить и научить детей доказывать делимость суммы, разности и произведения.Результатом изучения данного материалом должно являться то, что слабые ученики будут знать формулировки и смогут применять свойства при решении, а сильные ученики будут доказывать свойства, опираясь на определение делимости чисел. [6, с.119] Все свойства делимости должны быть уже известны, так же как и определение делимости чисел. Так, свойство «Если 𝑎 ≠ 0, то 𝑎 ⋮ 𝑎» является следствием из умножения числа 𝑎 на единицу, а свойство «Если 𝑏 ≠ 0, то 0 ⋮ 𝑏» просто показывает возможность деления нуля на любое число 𝑏, отличное от нуля (0 ⋮ 𝑏 = 0 так как 0 ∙ 𝑏 = 0). Отличие данного материала заключается лишь в том, что все введенные свойства должны быть доказаны. При объяснении этих свойств, очень важно показывать их на конкретных примерах и обязательно применять в решении школьных задач.К примеру, в учебнике Г.К. Муравина [16, с.99] для 6 класса в одном из заданий в качестве теоремы дается утверждение: «Если 𝑛 делится на 𝑑, а 𝑑, в свою очередь, делится на с, то 𝑛 тоже делится на 𝑐» [18, с.58]. Это свойство называется транзитивность и в общем виде записывается так: если 𝑛 ⋮ 𝑑 и 𝑑 ⋮ 𝑐, то 𝑛 ⋮ 𝑐 Для данного свойства так же следует дать ученикам конкретный пример: 12 ⋮ 6 и 6 ⋮ 3, то 12 ⋮ 3. Кроме того, делимость так же обладает и другими свойствами, например • рефлексивность: когда число делится на самое себя: 𝑎 ⋮ 𝑎•антисимметричность: 𝑎 ⋮ 𝑏 и 𝑏 ⋮ 𝑎, то либо 𝑎 = 𝑏, либо 𝑎 = −𝑏 •свойство делимости суммы натуральных чисел: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число [15, стр. 172]. Если 𝑎 ⋮ 𝑏 и 𝑐 ⋮ 𝑏, то (𝑎 + 𝑐) ⋮ 𝑏. К примеру, если 6 ⋮ 3 и 18 ⋮ 3, то (6 + 18) ⋮ 3. Если же в сумме целых чисел какое-то одно из слагаемых не будет делится на заданное чисто, то и вся сумма не будет делиться на это число. • свойство делимости разности суммы натуральных чисел: если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на некоторое число, то и разность делится на это число. Если 𝑎 ⋮ 𝑏 и 𝑐 ⋮ 𝑏, то (𝑎 − 𝑐) ⋮ 𝑏. Например, 25 ⋮ 5 и 20 ⋮ 5, тогда (25 − 20) ⋮ 5. • свойство делимости произведения натуральных чисел: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Если 𝑎 ⋮ 𝑏 или 𝑐 ⋮ 𝑏, то (𝑎 ∗ 𝑐) ⋮ 𝑏. Например, 2 ⋮ 2, а 7: 2, то 2 ∗ 7 ⋮ 14. Результатом изучения данной темы является умение учащихся пользоваться приведенными свойствами при решении конкретных практических задач. В учебнике Ю.Н. Макарычева в 8 классе свойство делимости разности доказывается через представление разности в сумму 𝑎 + (−𝑏), т.е. если 𝑏 ⋮ 𝑐, то и − 𝑏 ⋮ 𝑐. Свойства делимости суммы и разности очень схожи, поэтому зачастую их объединяют в одно свойство если 𝑎 ⋮ 𝑏 и 𝑐 ⋮ 𝑏, то (𝑎 ± 𝑐) ⋮ 𝑏. В доказательстве свойства о неделимости целых чисел используется метод от противного. Для начала обговаривается, что нам дано из условия свойства и что нужно доказать, а затем формулируется противоположное утверждение, и далее мы пытаемся его доказать, но приходим к противоречию на основе этого утверждения, а значит оно не верно. Дано: 𝑎 ⋮ 𝑑, 𝑏 ⋮ 𝑑, 𝑐 не делится на 𝑑. Доказать: что (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) не делится на 𝑑. Доказательство: мы предполагаем, что (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ⋮ 𝑑. Т.к. а ⋮ 𝑑 и 𝑏 ⋮ 𝑑, то по свидетельству делимости суммы: (а + 𝑏) ⋮ 𝑑. Т.к. (а + 𝑏 + с) ⋮ 𝑑 и (а + 𝑏) ⋮ 𝑑, то по свойству делимости разности, разность также делится на 𝑑, то есть ((а + 𝑏 + с) − (а + 𝑏)) ⋮ 𝑑, т.е. с ⋮ 𝑑. Мы получаем противоречию с условием, а значит наше утверждение не верно, т.е. (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)не делится на 𝑑. Ч.Т.Д. 3.3 Деление с остаткомВ случае, когда целое число не делится на некоторое число нацело, имеет место «деление с остатком», которое предоставляется учащимся в виде теоремы. Теорема: для любого целого числа 𝑎 и натурального числа 𝑏 существует единственная пара целых чисел 𝑞 и 𝑟 таких, что выполняются два условия: 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 и 0 ≤ 𝑟 < 𝑏, где число 𝑞 есть неполное частное, а 𝑟 – остаток от деления числа 𝑎 на 𝑏. [18, с. 47].Условие 0 ≤ 𝑟 < 𝑏 накладывает ограничения на остаток такие, что он должен быть меньше делителя и являться натуральным числом. Деление с остатком лежало в основе выделения целой части неправильной дроби. Так же доказывается, что представление числа 𝑎 (𝑎 = 𝑏 ∗ 𝑟 + 𝑞) единственно. И поскольку доказательство данного утверждение крайне тяжело для восприятия учащимися, то авторы учебника ограничиваются только геометрической иллюстрацией доказательства. Деление с остатком используется при нахождении НОД двух натуральных чисел с помощью алгоритма Евклида, основанном на если : 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, то НОД(𝑎; 𝑏) = НОД(𝑏; 𝑟). Начать изучение материала можно с привычного деления в столбик. К примеру, 57 разделить на 4, то частное будет равно 14, а остаток равен 1. Это записывается так: 57: 4 = 14 (ост. 1).Так же такую запись можно заменить другими: 57 − 1 = 14 ∗ 4 или 57 = 14 ∗ 4 + 1. Мы приходим к выводу, что при делении остаток всегда будет меньше делителя. Но в случае, если делимое и делитель равны, то мы получим остаток, равный нолю. Кроме того, стоит обратить внимание учащихся на то, что мы всегда можем разделить меньшее число на большее с остатком. В этом случае делимое и остаток будут равны. Например, 7: 9 = 0 (ост. 7). После этого, учащимся дается теорема о делении с остатком: для любого целого числа а и натурального числа 𝑏 существует единственная пара целых чисел 𝑞 и 𝑟, таких, что а = 𝑏 ∗ 𝑞 + 𝑟, где 0 ≤ 𝑟 < 𝑏. 3.4 Признаки делимостиВ школьном курсе математики тема «Признаки делимости натуральных чисел» изучается школьниками в 6 классе, когда они уже достаточно хорошо владеют навыком деления и знают понятие «кратность» [12, с. 161]. В результате изучения данного материала учащиеся должны уметь формулировать признаки делимости, а так же применять их при решении конкретных задач. Кроме того, учащиеся должны уметь обосновать тот или иной признак на каком-либо примере. Признаки делимости введены в школьную программу для экономии времени нахождения кратных чисел в случае, если работа проходит с большими числами. В учебниках математики Г.К. Муравина и Н.Я. Виленкина изложены признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10, у Муравина так же рассматриваются признаки делимости на 4 и 6. Остальные признаки не рассматриваются из-за тяжести понимания материала учащимися [17, с. 111].Рассмотрим некоторые признаки делимости [21, с. 49]: • если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число четно и делится без остатка на 2, в ином случае число является нечетным и на 2 не делится нацело; • если сумма цифр числа делится на 3, то и самое число делится на 3 (аналогично с делением на 9); • число делится на 4, если 2 его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4, то и само число так же делится на 4; • натуральное число, запись которого оканчивается на 0 или 5, делится без остатка на 5, в ином случае число не будет кратно 5-ти. При объяснении данной темы педагогу очень важно выстроить ход урока так, чтобы учащиеся самостоятельно сформулировали тему. Сделать это можно следующим образом: учитель на доске выписывает ряд некоторых чисел, которых объединяет одно свойство, уже изученное учащимися. Далее, наводящими вопросами ученики должны выделить эту закономерность и повторить изученный ранее материал. Для того чтобы у учеников имелось хоть какое-то преставление об изучаемой теме, стоит задавать наводящие вопросы в практическом значении материала, зачем и для чего авторы его предлагают изучить. В итоге учащиеся должны прийти к выводу, что данная тема поможет определить кратность числа на какое-либо данное число без долгих вычислений.3.5 Простые и составные числаДанная тема так же встречается в школьной программе 6 класса сразу после изучения темы «Признаки делимости». В ней изучаются понятия простого и составного чисел, вырабатываются навыки разложения чисел на простые множители, подготавливая учащихся к изучению следующей темы (НОД и НОК).Определение 1: натуральное число называется простым, если оно больше единицы и не делится ни на какое натуральное число, кроме единицы и самого себя [13, с.27]. Например, это числа 2, 3, 5, 7, 11 и т.д. Определение 2: натуральное число называется составным, если оно больше единицы и не является простым. Всякое составное число можно представить в виде произведения натуральных чисел, каждого из которых больше 1. Например, 4 (2 ∗ 2), 6 (3 ∗ 2), 8 (2 ∗ 2 ∗ 2 или 4 ∗ 2) и т.д. В ходе изучения определений, у учащихся возникает вопрос: «Каким же числом является единица?». И стоит объяснить, что 1 не является ни простым, ни составным числом, т.к. имеет единственный делитель – единица. 30 Если же единицу представить в виде произведения: 1 = 1 ∗ 1, то такое разложение будет противоречить основной теореме арифметики, а если говорить точнее, то о единственности разложения, т.к. каждое натуральное число можно представить в виде произведения простых множителей, но эти сомножители должны быть различны. [19, с.136] Разложение чисел на простые множители проводится учениками вручную с помощью столбика, где справа записывают числа, на которое делят, а слева результат деления на простое число. Процесс считается завершенным, если слева мы получаем единицу. Например, 72/2 36/2 18/2 9/3 3/31Данная операция используется в дальнейших изучаемых темах «НОД» и «НОК». 3.6 Наибольший общий делитель. Взаимно простые числаЗадачами данной темы являются: совершенствование навыка нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, разложения числа на простые множители, а так же знакомство учащихся с алгоритмом Евклида, как одним из способов нахождения НОД. Определение 1: наибольшим общим делителем (НОД) двух чисел является такое наибольшее натуральное число, которое делится одновременно на заданные два числа без остатка. Приведем алгоритм нахождения НОД: [12, с.97] • раскладываем числа на произведение простых множителей; • выписываем те множители, которые входят в разложение обоих чисел; • каждое из выписанных чисел мы берем с наименьшей степенью, с которой оно входит в разложение данных чисел; • выписанные множители перемножаем, и полученное число является наибольшим общим делителем данных чисел. Приведем пример. Необходимо найти НОД чисел 6240 и 6800. Разложим данные числа на произведение простых множителей: 6240268002312023400215602170027802850239024255195585539317171313112. Выделим те числа, которые входят в разложении каждого числа одновременно.3. Выпишем эти числа и найдем их произведение: 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 5 = 804. Таким образом, НОД (6240; 6800) = 80 Таким же способом можно найти НОД трех и более чисел. Но не всегда это сделать удобно, если числа будут очень большие, то процесс разложения на простые множители может оказаться трудоемким. Для этого существует способ, который называется алгоритмом Евклида, названный в честь древнегреческого математика, который его придумал. [20, стр. 6] Алгоритм Евклида рассматривается далеко не во всех учебниках, он может встречаться в программе с углубленным изучением математики. В основном учащимся предлагается «стандартное» нахождение наибольшего общего делителя. Рассмотрим нахождение наибольшего общего делителя для чисел 𝑎 и 𝑏, с помощью алгоритма Евклида: • деление большего числа на меньшее производится «уголком». Допустим, 𝑎 > 𝑏. • если при делении числа 𝑎 на 𝑏 остаток отличен от ноля, то процесс деления продолжается, при чем делимым уже является число 𝑏, а делителем теперь является остаток. В том случае, если 𝑎 ⋮ 𝑏, то говорят, что НОД (𝑎; 𝑏) = 𝑏. • деление выполняется до тех пор, пока не получится нулевой остаток. Тогда наибольшим общим делителем будет являться последний ненулевой остаток от деления. Таким образом, НОД (118; 72) = 2 (последний ненулевой остаток от деления). Так же следует обговорить, что если наибольший общий делитель двух чисел равен единице, то такие числа называются взаимно простыми.Например, НОД (17; 20) = 1, т.к. 17 = 17 ∗ 1, 20 =1 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 5, а значит 17 и 20 – взаимно простые числа. Далее вводится теорема о делимости взаимно простых чисел: если число 𝑛 делится на каждое из двух взаимно простых чисел 𝑎 и 𝑏, то оно делится и на их произведение 𝑎 ∙ 𝑏 [19, с. 24] 3.7 Наименьшее общее кратноеОпределение: наименьшим общим кратным (НОК) двух чисел называется натуральное наименьшее число, которое одновременно делится на оба числа. Рассмотрим алгоритм нахождения наименьшего общего кратного: • раскладываем числа на простые множители; • выписываем все простые множители, входящие в разложение хотя бы одного из чисел; • каждое из выписанных простых чисел взять с наибольшей степенью, с которой оно входит в разложения данных чисел; Например, найдем НОК (118; 72). 11827225959362118293331Таким образом, НОК (118; 72) = 4248. Кроме такого не совсем простого алгоритма, имеется альтернативный, более простой алгоритм нахождения НОК для двух чисел. Но он не гарантирует, что полученное число будет наименьшим. Говорят, что наименьшее общее кратное для двух чисел, будет равно их произведению. Такой алгоритм чаще всего используется для нахождения НОК двух взаимно простых чисел. Например, НОК (7, 13) = 7 ∗ 13 = 91. Далее, изучается следующая теорема: произведение двух любых натуральных чисел 𝑎 и 𝑏 равно произведению их НОД и НОК: 𝑎 ∗ 𝑏 = НОД (𝑎; 𝑏) ∗ НОК (𝑎; 𝑏). Это утверждение позволяет найти наименьшее общее кратное двух чисел, используя их произведение и наибольший общий делитель. [14, с.122] ЗаключениеИзучение теории делимости в школьном курсе математики способствует приобретению и развитию практических умений и навыков по данной теме, интереса учащихся к математике, их логического мышления и математических способностей. Кроме того теория делимости есть база для изучения операций на множестве обыкновенных и десятичных дробей, а также является своеобразным введением в теорию чисел.Авторы современных учебников математики (арифметики) для 5/6 классов традиционно определяют место элементарной теории чисел в школьном курсе математики как необходимый теоретический базис теории обыкновенных дробей, изучение которого отнесено к курсу пятого или шестого классов, в зависимости от точки вхождения систематического изучения теории обыкновенных дробей в школьный курс математики. В исключительных случаях изучение элементарной теории делимости относят к разделу «Натуральные числа» (5 класс). Во всех случаях элементарная теория чисел выделена в отдельный раздел учебника математики.Теория делимости – один из важнейших разделов математики, используемый при решении математических задач, а так же для совершенствования техники быстрого счета. Грамотное преподавание этого раздела обеспечивает дальнейшее изучение других разделов математики. В процессе нашего исследования в соответствие с целями и задачами мы пришли к следующим выводам и получили результаты: 1. Ознакомились с историей происхождения понятия делимости и основных понятий теории чисел. 2. Выявили, что введение в теорию делимости происходит еще в начальных классах при изучении долей. Основное изучение теории делимости происходит в 5-6 классах. В дальнейшем, встречаются только элементы теории делимости в рассмотрении отдельных тем. 3. Изучили методические особенности обучения темам теории делимости и привели собственные методические рекомендации.Список использованной литературыВелетень, О.С. Формирование универсальных учебных действий обучающихся 6 класса в процессе изучения темы «Признаки делимости» // Педагогическое образование в России - 2013. - № 5. – С. 16 – 19Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика, 5 класс – М.: Просвещение, 2018. – 358 с.Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика, 6 класс – М.: Просвещение, 2018. – 452 с.Велетень О.С. Формирование универсальных учебных действий обучающихся 6 класса в процессе изучения темы «Признаки делимости» // Педагогическое образование в России . 2013. № 5. С. 16 – 19.Волкова Т.С. Задачи элементарной теории чисел в содержании профессиональной подготовки современного учителя математики // Вестник ТГПУ. 2015. № 7. С. 85 – 88.Волкова Т.С. Исследование умений будущих учителей математики решать задачи по элементарной теории чисел // Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова. 2014. Том 20. С. 118 – 121.Глухова О.Ю. Делимость чисел в элективных курсах // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 7-2. С. 58 – 61.Дорофеев Г.В., Л.Г. Петерсон. Математика 5 класс. Часть 1. 2-е изд, перераб. М. : Изд-во Ювента– 2011 - 176 с.Математика: учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев [и др.]. М. : Просвещение, 2011 - 270 с.Жафяров А.Ж. Алгоритм и принципы изучения темы «Делимость целых чисел» на компетентной основе // Сибирский педагогический журнал. 2017. № 5. С. 134 – 143.Жафяров А.Ж. Компетентностный подход к изучению школьного курса алгебры // Педагогическое образование и наука. 2011. № 8. С. 64 – 68.Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. М. : Мнемозина, 2014. - 264 с.Зверкина, Г.А. История математики: учеб. пособие / Г.А. Зверкина. – Москва : МИИТ, 2005. – 108 с. – Текст: непосредственный. Максимова, О.Д. История математики : учеб. пособие для вузов / О.Д. Максимова, Д.М. Смирнов. – 2-е изд., стер. – Москва: Юрайт, 2019. – 319 с. Муравин Г.К., Муравина О.В. Математика. 5 класс: учебник. 3-е изд. М.: Дрофа, 2014. - 320 с.Муравин Г.К., Муравина О.В. Математика. 6 класс: методическое пособие к учебнику Г.К. Муравина, О.В. Муравиной «Математика. 6 класс». М. : Дрофа, 2010. - 271 с.Муравин Г.К., Муравина О.В. Математика. 6 класс: учебник. 2-е изд., стер. М.: Дрофа, 2014. - 320 с.Муравин Г.К., Муравина О.В. Программа курса математики для 5- 11 классов общеобразовательных учреждений. М.: Дрофа, 2007. - 160 с.Муравина О.В. Рабочие программы. Математика 5-9 классы: учебно-методическое пособие. 2-е изд. М. : Дрофа, 2013. - 128 с.Оболдина, Т.А. Избранные вопросы теории целых чисел : учеб. пособие для бакалавров / Т.А. Оболдина ; Шадр. гос. пед. ун-т. – Шадринск : ШГПУ, 2017. – 64 с. Феоктистов И.Е. Делимость чисел // Математика в школе. 2009. № 8. С. 47 – 58.Чурикова, А. В. Изложение теории делимости в УМК «Математика 5–6» авторского коллектива А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир / А. В. Чурикова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 23 (209). — С. 430-432