Решение систем нелинейных уравнений итерационными методами

Оглавление

Аннотации  3

Введение  5

1. Вычислительная схема метода простой итерации  6

2. Результат решения нелинейных систем уравнений, полученный вручную

3. Решение нелинейных систем уравнений средствами   11

4. Решение системы нелинейных уравнений с использованием  12

5. Решение системы нелинейных уравнений средствами пакета   14

Вывод   16

Библиографический список   17

Введение

Одной из самых сложных задач является решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Существует множество методов решения таких систем, которые успешно приводят к решению, если начальное приближение было заданно достаточно близко к нему. Но если подобрать произвольное приближение, есть вероятность вовсе не найти решения данной системы.Итерационные методы состоят в последовательном уточнении начального приближения. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня. Если при этом с увеличением n значения приближаются к точному решению заданного уравнения, то говорят, что данный итерационный процесс сходится. уравнение редактор алгоритмЦелью данной курсовой работы является изучение и развитие умения и навыка решения систем нелинейных алгебраических уравнений итерационными методами, а именно методом простых итераций с параметром. А также закрепление навыков работы с программами MS EXCEL, MatCAD и программирования в VBA.1. Вычислительная схема метода простой итерацииЗадаёмся точностью вычислений ε ( обычно Записываем систему в нормализованном виде:, где (4)Выбираем начальное приближениеВ случае двух-трёх неизвестных целесообразно сделать это из геометрических соображений.Вводим переменную, которая нумерует приближения. Первоначально полагаем, что .Записываем формулу итерационного процесса в виде.(5)Вычисляем -е приближение по формуле (5).Сравниваем полученное приближение с предыдущим:. (6)При подсчёте вручную, например, с точностью до QUOTE , это условие сводится к проверке совпадения всех приближений с точностью до единицы в четвёртом разряде. Если условие выполнено, то решение считается найденным на - м шаге и итеративный процесс закончен, в противном случае полагаем и переходим к вычислению следующего приближения. Метод итераций сходится, если.(7)Блок-схема26263604832360Да4000020000ДаНачалоВвод X0,eXk+1=Ф(Xk)k=0k=k+1M=max(|Xk+1-Xk|)Xk=Xk+1M<=eВывод XkКонецНетНачалоВвод X0,eXk+1=Ф(Xk)k=0k=k+1M=max(|Xk+1-Xk|)Xk=Xk+1M<=eВывод XkКонецНетРисунок 1 – Блок схемаДаДаНачалоВвод X0,eXk+1=Ф(Xk)k=0k=k+1M=max(|Xk+1-Xk|)Xk=Xk+1M<=eВывод XkКонецНетНачалоВвод X0,eXk+1=Ф(Xk)k=0k=k+1M=max(|Xk+1-Xk|)Xk=Xk+1M<=eВывод XkКонецНет2. Результат решения нелинейных систем уравнений, полученный вручнуюМетодом простой итерации с точностью ɛ=0,001 решим систему нелинейных уравнений:cosx+1+2y=1sin2y+x=1Согласно приведенному выше алгоритму, принимаем x=x1, y=x2.Таким образом, система принимает вид:x2=0.5-cosx1+1/2x1=1-sin2x2Далее необходимо выбрать начальные приближения. Для этого в системе координат х1 и х2 строим графики приведенных выше зависимостей (рис. 2).Рисунок 2 – Графики зависимости х2 от х1Из графика видно, что система имеет одно решение, заключенное в области 00.001. Значит необходимо перейти к следующему шагу. На втором шаге получаются следующие значения:x12=1-sin(2∙0,366251)x22=0.5-cos0,435358+1/2x11=0,331268644x21=0,432487447Вычислив критерий близости, получим:M2=0,104089Таким образом, после второй итерации заданная точность не достигнута, т.к. 0,104089>0.001. Значит необходимо перейти к третьему шагу.На следующем шаге получаются следующие значения:x12=0,238921021x22=0,38137809Вычислив критерий близости, получим:M3=0,092347623Таким образом, после третьей итерации заданная точность не достигнута, т.к. 0,092347623>0.001. Значит необходимо перейти к следующему шагу. На четвёртом шаге получаются следующие значения:x13=0,309083x23=0,337091712Вычислив критерий близости, получим:M4=0,070162375Таким образом, после четвёртой итерации заданная точность не достигнута, т.к. 0,070162375>0,001. Значит необходимо продолжить.Продолжим аналогичным образом. Для упрощения сведем результат вычислений приведены в табл.1 Таблица 1 Результаты вычислений00,30,310,4353580,3662510,1353580,0662510,13535820,3312690,4324870,1040890,0662370,10408930,2389210,3813780,0923480,0511090,09234840,3090830,3370920,0701620,0442860,07016250,375740,3706320,0666570,0335410,06665760,3247790,4030890,0509620,0324570,05096270,2783530,3782280,0464260,0248610,04642680,3136510,3558540,0352980,0223750,03529890,3468720,372840,0332210,0169860,033221100,3215290,3889710,0253430,0161320,025343110,2981850,3766530,0233440,0123180,023344120,3159460,3653760,0177610,0112770,017761130,332570,373950,0166240,0085740,016624140,31990,382010,012670,0080610,01267150,308170,3758640,011730,0061470,01173160,30,30,0089280,0056730,008928170,4353580,3662510,1353580,0662510,135358180,3312690,4324870,1040890,0662370,104089190,3170980,3701910,0083320,0043160,008332Таким образом, решение системы :х1≈0,317098; х2≈0,3701913. Решение нелинейных систем уравнений средствами MS EXCELОтображение результатов решения нелинейных систем уравнений в пакете Microsoft Excel представлено на рис. 3 в режиме отображения данных и на рис. 4 в режиме отображения формул.Рисунок 3 – Расчет в пакете Microsoft ExcelРисунок 4 – Расчётные формулыРешением системы будет QUOTE х1≈ 0,319164545; х2≈ 0,374998422В результате вычислений средствами MS Excel решение системы совпали с полученными при расчете вручную.4. Решение системы нелинейных уравнений с использованием VBAНа рис. 6 представлен лист Excel, на котором отображается создана кнопка и привязан к нему макрос:Рисунок 6 – Кнопка для запуска макросаЛистинг программы:Sub Кнопка1_Щелчок()Dim k As ByteDim x1, x2, x11, x21, m1, m2, m As Singleeps = 0.001k = 1Cells(3, 1) = "k"Cells(3, 2) = "x1"Cells(3, 3) = "x2"Cells(3, 4) = "ф1"Cells(3, 5) = "ф2"Cells(3, 6) = "Точность"x1 = 0.3x2 = 0.3Do x11 = 1 - Sin(2 * x2) x21 = 0.5 - Cos(x1 + 1) / 2 m1 = Abs(x11 - x1) m2 = Abs(x21 - x2) If m1 > m2 Then m = m1 Else m = m2 Cells(k + 3, 1) = k Cells(k + 3, 2) = x1 Cells(k + 3, 3) = x2 Cells(k + 3, 4) = x11 Cells(k + 3, 5) = x21 Cells(k + 3, 6) = m x1 = x11 x2 = x21 k = k + 1Loop Until m <= epsCells(3, 8) = "x1="Cells(3, 9) = x1Cells(4, 8) = "x2="Cells(4, 9) = x2End SubРезультат выполнения программыРисунок 6 – Результат вычисления программы на VBA5. Решение системы нелинейных уравнений средствами пакета MATHCADРезультаты решения заданной системы нелинейных уравнений в пакете MathCAD представлены на рис. 7.Рисунок 7 – Результат расчета в пакете MathCADВыводВ ходе выполнения курсовой работы была разработана программа на языке VBA, позволяющая находить решение системы нелинейных уравнений методом простых итераций с параметром. Данная программа была проверена тем же методом с помощью вычислений вручную, в MS Excel и MathCAD. В результате проведённой проверки результат, полученный с помощью программы, совпал с результатами проверки в вышеуказанных программах, что подтверждает правильность составления программы.Библиографический списокТарасов В.Н. Численные методы. Теория, алгоритмы, программы / В.Н.Тарасов, Н.Ф. Бахарева. Оренбург: ИПК ОГУ. 2008. 264 с.Бахвалов Н.С . Численные методы. 3-е изд. /Н.С. Бахвалов., Н.П. Жидков. Г.М. Кобельников. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2009. 632 с.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 Т.учеб. пособ. М.: Высшая. школа. 2008 г. 184 с.Протасов И.Д. Лекции по вычислительной математике: учеб. пособ. М.: Гелиос АРВ. 2009. 309 с.Маховиков А.Б., Кротова С.Ю., Пивоварова И.И. Информатика. Решение систем нелинейных уравнений методом простых итераций: Методические указания для выполнения курсовой работы. Санкт-Петербург: РИЦ СПГУ. 2018. 40 с.