Создание функции для численного выполнения обратного преобразования Лапласа

Содержание  

Исходные данные  2

Построение переходной функции   3

Определение коэффициентов передаточной функции  4

Создание функции для численного выполнения обратного преобразования Лапласа   6

Определение параметров регулятора методом незатухающих колебаний   8

Анализ переходного процесса  12

Расчет настроек регулятора методом расширенных частотных характеристик   17

Оценка устойчивости системы с помощью критерия Найквиста   26

Выводы   34

Исходные данные

Вариант

Закон регулированияψ3ПИД0,7На выходе и на выходе системы (рисунок 1) расположены два устройства, регистрирующие входные сигналы xt и реакцию системы (выходной сигнал) y(t). Оба устройства фиксируют сигналы на ленте, которая движется со скоростью 12 м/час; одно деление ленты соответствует 1 см.Рисунок 1 – Блок-схема системы с прямой связьюВходной сигнал показан x(t) показан на рисунке 2а. Можно видеть, что он имеет линейный характер, и уровень входа ступенчато изменился от 2 до 9. Такой сигнал, в случае единичного скачка, называется функцией Хевисайда; в рассматриваемом случае имеем семикратно увеличенную (9–2=7) функцию Хевисайда. На рисунке 2б приведена реакция системы y(t) (переходная функция h(t)). При первоначальном значении входного сигнала 2 единицы выход был постоянным и равным 30 единиц. В результате изменения входа до 9 единиц начался переходной процесс, который завершился установлением постоянного выхода в 90 единиц. Важно, что переходной процесс начался с определенным запаздыванием, которое видно из сравнения рисунков 2а и 2б. Величина запаздывания соответствует 3 см ленты; при заданной скорости ленты (120 см за 3600 с, или 1 см за 30 с) запаздывание составляет 3∙30 = 90 с.Рисунок 2 – Влияние входного сигнала (слева) (а) на выход системы (справа) (б)Построение переходной функцииПеренос исходных данных в среду Mathcad показан на рисунке 3. Переходная функция описывается как массив y из отдельных точек; начальная (нулевая) точка соответствует началу переходного процесса при y=30, последние 3 точки – установившемуся новому выходу y=90, расстояние между точками 5 мм (половина клетки на рисунке 2). Общее количество точек для рассматриваемого примера – 40, их индексы (от 0 до 39) содержатся в переменной ph. На графике рисунке 3 видно хорошее совпадение кривой разгона, построенной по заданным точкам, с исходной кривой на рисунке 2б.Рисунок 3 – Исходные данные в документе MathcadКроме указания отдельных точек кривой разгона, необходимо определить расстояние между точками (Δth=12 секунд – половина клетки), τh=90 секунд – запаздывание начала переходного процесса, Δx=9-2=7 – величина изменения входного сигнала.Определение коэффициентов передаточной функцииПередаточная функция принимается в виде:Gs kha3s3 a2s2 a1s 1∙ ehs ( 1 )Вычисление коэффициентов передаточной функции показано на рис. 4. Сначала определяются изменение выхода системы Δh, коэффициент передачи объекта kh и приведенные к единице значения выхода σ (для всех 40 точек кривой разгона). Затем последовательно вычисляются коэффициенты a1, a2 и a3 из ( 1 ), после чего создается пользовательская функция G(s).Рисунок 4 – Вычисление коэффициентов передаточной функции.Далее необходимо убедиться, что система с передаточной функцией G(s) является устойчивой. Главным признаком устойчивости является обязательное расположение всех корней характеристического уравнения (знаменателя передаточной функции) в левой части комплексной плоскости. Эти корни называются полюсами системы и обозначаются zi. В нашем случае характеристическое уравнение имеет порядок 3, следовательно, и количество полюсов (корней уравнения qs=a3s3+a2s2+a1s+1=0) тоже три. Определение полюсов системы и их расположение на комплексной плоскости показано на рисунке 5. Функция polyroots() на основе коэффициентов полинома q(s) формирует массив-вектор с его корнями (полюсами системы zi). Можно видеть наличие одного вещественного полюса z1=0.041 и двух комплексно-сопряженных полюсов z2,3=0.018±5.042∙103 i (i – мнимая единица). Поскольку действительные части у всех трех корней отрицательны, они расположены в левой части комплексной плоскости, и, следовательно, система с передаточной функцией G(s) устойчива.Рисунок 5 – Проверка устойчивости системыСоздание функции для численного выполнения обратного преобразования ЛапласаДля проверки правильности вычислений необходимо на основе передаточной функции G(s) построить график изменения выходного сигнала y(t) и сравнить его с исходной кривой разгона (рисунок 2б). Для этого требуется определить изображение выхода Y(s) и выполнить обратное преобразование Лапласа. Выполнение обратного преобразования Лапласа будем производить с помощью численных методов. На рисунке 6 показана функция invLaplas(), которая имеет три аргумента. Первый – период времени Tout, в течение которого изменяется выходной сигнал (определяется величина y(t) и строится ее график). Вторым параметром является имя функции с изображением выходного сигнала Y; эта функция должна быть создана перед использованием invLaplas(). Третий параметр y0 – начальное значение выходного сигнала, от которого он начинает изменяться под действием x(t). Результатом работы функции является массив из двух столбцов. Начальный столбец содержит значения времени (в интервале от 0 до Tout), а следующий – соответствующие этому времени значения y(t). Определим выходной сигнал системы с передаточной функцией G(s); для этого необходимо использовать функцию invLaplas() с соответствующими аргументами. Изображение входного сигнала (как функции Хевисайда, увеличенной в x=7 раз) является табличной величиной: X(s)=x/s. Тогда изображение выходного сигнала Yh(s)=G(s)X(s)=xG(s)/s .Рисунок 6 – Функция для численного выполнения обратного преобразования ЛапласаНачальный уровень выходного сигнала, как видно на рисунке 2б, равен 30 единиц. Построение графика выхода на основе передаточной функции показано на рисунке 7. Можно видеть хорошее совпадение выходного сигнала (красная линия) с исходной кривой разгона (синяя линия), что подтверждает отсутствие вычислительных ошибок при построении передаточной функции, а также показывает хорошую точность численного метода, реализуемого функцией invLaplas().Рисунок 7 – Построение графика выхода на основе передаточной функцииОпределение параметров регулятора методом незатухающих колебаний Выполним анализ поведения системы при добавлении в нее контура обратной связи. Рассмотрим три варианта: отсутствие регулятора (рисунок 8а), регулятор в прямой связи (рисунок 8б), регулятор в обратной связи (рисунок 8в). Передаточная функция регулятора обозначена GR.Рисунок 8 – Нерегулируемая (а) и регулируемая (б, в) система с обратной связью.Для нерегулируемой системы с единичной отрицательной обратной связью (рисунок 6а) передаточная функция будет иметь вид:Q0sGs1+ Gs ( 2 )Последовательность построения графика y(t) для такой системы показана на рисунке 9.Рисунок 9 – Построение графика выходного сигнала для нерегулируемой системы с единичной обратной связью.Величина запаздывания τh из передаточной функции прямого звена Gs(1) оказывает большое влияние на вид переходного процесса при добавлении в систему обратной связи; в некоторых случаях такая новая система может потерять устойчивость. На рисунке 10 показан выход системы, у которой запаздывание τh отсутствует; хорошо виден гармонический сигнал, очень медленно затухающий со временем.Рисунок 10 – Выходной сигнал системы, показанной на рисунке 8а, при отсутствии запаздыванияПри наличии в прямой связи регулятора с передаточной функцией GR(s) (рисунок 6б) передаточная функция всей системы в целом: Q1s=GsGRs1+GsGRs (3)Передаточная функция регулятора GR(s) зависит от его типа. В случае пропорционально-интегрально-дифференциального (ПИД) регулятора: GRs=c0+c1s+c2s (4)где коэффициенты c0, c1 и c2 подбираются исходя из требований к качеству управления (заданных значений времени регулирования, перерегулирования и т.д.). Описание передаточной функции системы с ПИД-регулятором в прямой связи (рисунок 8б) показано на рисунке 11. Коэффициенты регулирования задаются как параметры функции; конкретные значения этих коэффициентов будут определены далее.Рисунок 11 – Передаточная функция системы с ПИД-регулятором в прямой связиДля определения коэффициентов регулятора используем частотные характеристики исходной системы (рисунок 1). При подаче на вход такой системы синусоидального сигнала с единичной амплитудой на ее выходе (по окончании переходного процесса) будет зафиксирован такой же периодический сигнал, но с амплитудой A и смещением по фазе (запаздыванием) φ относительно входа. Амплитуда и смещение по фазе на выходе системы зависят как от ее переходной функции G(s), так и от частоты входного сигнала ω: Aω=Giω, φω=argGiω (6) Основным параметром настройки регулятора является k1, на его основе определяются c0–c2. Для вычисления k1 подбирается частота входных колебаний ω0, при которой φ(ω0)= –π, и далее:k1=1Aω0 (7)Коэффициенты ПИД-регулятора (приближенные): c0=0.6k1; c1=0.192k1ω0; c2=0.171k1ω0 (8)Вычисление коэффициентов регулятора показано на рисунке 12. Рисунок 12 – Вычисление коэффициентов ПИД-регулятораАнализ переходного процесса Построение графика переходного процесса для системы (рисунок 8б) показано на рисунке 13. Продолжительность переходного процесса Tout подобрана индивидуально для рассматриваемой системы, характеризуемой кривой разгона на рисунке 2.Рисунок 13 – Переходной процесс в системе с ПИД-регулятором в прямой связиОценка качества регулирования производится с помощью функции Quality(), показанной на рисунке 14. Функция имеет 5 параметров: Y – массив значений выходного сигнала по отдельным точкам (моментам времени); Y0 – установившийся выход системы до момента изменения входного сигнала (начала регулирования); tall – продолжительность переходного процесса, для которого был вычислен массив Y;top и bottom – границы, при попадании выходного сигнала внутрь которых переходной процесс считается завершенным; в рассматриваемом примере top и bottom ограничивали отклонение не более 5% от Δx – установившегося изменения выхода.Рисунок 14 – Определение показателей качества регулирования для выходного сигнала.Функция Quality() возвращает массив из 5 элементов – показателей качества регулирования: первые 2 элемента – максимальное и минимальное значения выходного сигнала на стадии регулирования (протекания переходного процесса); на рисунке 14 вычислены ymax=38.8 и ymin=29.7, что соответствует графику на рисунке 13;третий параметр – перерегулирование (превышение ymax над установившимся значением выхода, выраженное в процентах);четвертый параметр – время первого согласования (в рассматриваемом примере выходной сигнал первый раз попал в зону заданного пятипроцентного отклонения от своего окончательного значения через 230.4 с); пятый параметр – время регулирования (в примере 846.1 с), после этого времени процесс регулирования можно считать завершенным, поскольку выходной сигнал уже не выйдет за пределы пятипроцентной зоны. Когда регулятор с передаточной функцией GR(s) расположен в обратной связи (рисунок 8в), передаточная функция всей системы в целом:Q2s=Gs1+GsGRs (9)Реакция этой системы на ступенчатый входной сигнал показана на рисунке 15. Можно видеть, что регулятор в обратной связи устраняет влияние изменившегося входа (в примере это изменение Δx=7) и способен вернуть выход к его первоначальному значению. По этой причине регуляторы в обратной связи часто используют для противодействия нежелательным (случайным) изменениям входного сигналаРисунок 15 – Переходной процесс в системе с ПИД-регулятором в обратной связиАнализируя показатели качества регулирования (вычисленные с помощью функции Quality() на рисунке 15) можно видеть намного большее значение перерегулирования, чем в случае размещения регулятора в прямой связи. Несколько возросло также и время установления (1294 с). Очевидно, что время согласования для данной системы (рисунок 8в и рисунок 15) физического смысла не имеет, поскольку начальное и конечное значения выхода (в примере 30 единиц) совпадают.Расчет настроек регулятора методом расширенных частотных характеристик Важной характеристикой системы управления является коэффициент затухания ψ, от значения которого зависят основные показатели качества регулирования – перерегулирование и время установления. По мере приближения ψ к 1 показатели качества улучшаются, но одновременно растет вероятность потери устойчивости системы. С коэффициентом затухания функционально связан показатель колебательности системы m: m=ln1-ψ2π (10 ) Для определения параметров регулятора используются зависимости амплитуды A, фазы φ и смещения γ от частоты входного сигнала ω и показателя колебательности m: A =|W1 mω)| φ= arg⁡(W1 mω) ( 11 )γ=φω, m+ arctan⁡(m) π С учетом (11) можно вычислить параметры регулятора, обеспечивающего заданный коэффициент затухания при определенной частоте входного сигнала.Зависимости для вычисления параметров регулятора в среде Mathcad показаны на рисунке 16.Параметр Tdif (постоянная времени дифференцирования) принимается в интервале (0,1–0,9)τ; уточнение значения Tdif, при котором достигаются наилучшие показатели качества управления, показано далее.Рисунок 16 – Параметры регулятораДля определения рабочей частоты ω0, которая является отправной точкой поиска параметров регулятора, строим линии равной колебательности системы (рисунок 15). В показанном на рисунке 17 примере построено 3 линии для значений Tdif равных 0.1τ, 0.5τ и 0.9τ. Каждой точке всех трех графиков соответствует определенное значение частоты ω в интервале от 0 до 2/a1 (a1 – постоянная времени в уравнении передаточной функции основной системы (1), ее вычисление было показано на рисунке 4); максимумы всех графиков, независимо от значения Tdif, совпадают. Для определения частоты ω01, которая соответствует точке максимума, на рисунке 17 показано заполнение вспомогательного массива V значениями ω (первый столбец с индексом 0) и параметра c1 (второй столбец с индексом 1). Далее выполняется сортировка V по возрастанию значений во втором столбце (функция csort()) и обратная сортировка (функция reverse()). В результате максимальное значение c1 (и соответствующая частота ω01) будут располагаться в первой строке массива, откуда и извлекается ω01.Рисунок 17 – Определение рабочей частоты основного устройстваПараметры регулятора, определенные на основе рабочей частоты ω01, обычно не обеспечивают наилучшие из возможных показателей качества управления. На рисунке 18 показано построение графика переходного процесса; видно, что и перерегулирование (10.3%), и время установления (2208 с) значительно больше, чем при определении параметров методом незатухающих колебаний (рисунки 13, 14). В то же время частота ω02, соответствующая оптимальным показателям качества, располагается в непосредственной близости от ω01, и для ее определения обычно достаточно рассмотреть диапазон 0.7–1.7ω01.Рисунок 18 – Переходной процесс при параметрах регулирования, определенных по рабочей частоте ω01Для нахождения частоты ω02, обеспечивающей наилучшие настройки регулятора и, соответственно, наилучшие показатели качества управления, целесообразно воспользоваться функцией Param(), показанной на рисунке 19. Эта функция позволяет определять показатели качества управления для определенного диапазона частот, после чего возможно выбрать наилучшие показатели и определить соответствующую им частоту ω02. Функция имеет следующие параметры:Y – изображение выходного сигнала, для которого анализируется качество управления. Ранее в рассматриваемом примере были сформированы Y1 – для регулятора в прямой связи согласно рисунку 13, и Y2 – регулятор в обратной связи (рисунок 15). Функция с изображением выходного сигнала должна иметь вид Y(c0, c1, c2, s), т.е. использовать настройки регулятора c0–c2 в качестве своих параметров.Tdif – постоянная времени дифференцирования. Поскольку заранее неизвестно, при каком значении этого параметра будут обеспечены наилучшие показатели качества управления, необходимо рассматривать не менее трех значений в диапазоне от 0.1τh до 0.9τh. Tout – ожидаемое время переходного процесса, принимаемое с некоторым запасом. ω – частота, в непосредственной близости от которой расположена оптимальная частота ω02. В качестве такого начального значения используется ω01, определение которой показано на рисунке 17.m – колебательность системы, определяемая по зависимости (10) (рисунок 16).y0 – начальный уровень выходного сигнала (для рассматриваемой системы, согласно рисунку 2б, y0=30).y1 и y2 – границы для установившегося значения выходного сигнала (верхняя и нижняя соответственно). Для рассматриваемой системы эти границы, при допустимых отклонениях δ=±5%, заданы на рисунке 18.Рисунок 19 – Вспомогательная функция Param() для анализа зависимости качества управления от частоты ωФункция Param() возвращает массив, в котором определены показатели качества управления для каждой рассмотренной частоты (на рисунке 19 можно видеть, что анализируется диапазон частот от 0.7ω до 1.7ω). Каждая строка итогового массива состоит из 5 показателей качества (в порядке, определяемом функцией Quality() – рисунок 14); шестым элементом каждой строки является значение частоты, соответствующей этим показателям качества. На рисунке 20 для трех значений Tdif показано построение графиков для времени установления (верхний) и перерегулирования (нижний). Частота на горизонтальной оси обозначена в долях ω01 (т.е. значению 1 соответствует частота 1∙ω01, значению 1.5 – частота 1.5∙ω01 и т.д.). Можно видеть, что параметры регулирования, определенные по частоте ω01 (рисунок 18) явно не обеспечивают наилучших показателей управления при любых величинах Tdif. С точки зрения времени установления его наилучшее значение достигается при Tdif=0.5τh (самая нижняя точка из всех трех зависимостей, расположенная примерно на частоте 1.25∙ω01). На этой частоте перерегулирование (нижний график) становится практически нулевым. Таким образом, для рассмотренной системы оптимальная частота примерно на 25% превышает рабочую (ω02=1.25ω01).Рисунок 20 – Поиск оптимальной частоты ω02График переходного процесса и показатели качества, определенные для оптимальной частоты ω02, показаны на рисунке 21; по сравнению с параметрами регулирования на основе рабочей частоты ω01 (рисунок 18) можно видеть существенное улучшение всех показателей качества управления. Аналогичное сравнение переходных процессов для рабочей и оптимальной частот необходимо выполнить для системы с регулятором в обратной связи (рисунок 8в). При этом рабочая частота не изменяется (соответствует максимуму на рисунке 17), а оптимальная частота ω02os должна быть определена с помощью графиков, построенных функцией Param() для передаточной функции Q2 (рисунок 15). На рисунках 22 и 23 показаны результирующие графики переходного процесса и показатели качества (все предшествующие вычисления не приводятся, поскольку аналогичны приведенным на рисунках 18, 20 и 21).Рисунок 21 – Переходный процесс для системы на рисунке 8б при оптимальных параметрах регулятораРисунок 22 – Переходный процесс для системы на рисунке 8в при параметрах регулятора, определенных по рабочей частоте ω01Рисунок 23 – Переходный процесс для системы на рисунке 8в при оптимальных параметрах регулятораОценка устойчивости системы с помощью критерия Найквиста Рассмотрим систему, в которой основное устройство характеризуется кривой разгона, приведенной на рисунке 2, но не имеет запаздывания; передаточная функция такого устройства: G0s=kha3s3+a2s2+a1s+1 (12)где коэффициенты a1-a3 были определены ранее (рисунок 4), а сама передаточная функция G0(s) была определена на рисунке 10. Сравнивая (1) и (12) можно видеть, что запаздывание выходного сигнала определяется наличием сомножителя ehs в передаточной функции. На рисунке 10 можно видеть, что при наличии обратной связи система без запаздывания оказалась менее устойчива. Для системы с единичной обратной связью и наличием регулятора в прямой связи (рисунок 8б) передаточная функция всей системы в целом: Q3s=GRsG0s1+GRsG0s (13)Поскольку передаточная функция основного устройства изменилась, необходимо заново подобрать параметры регулятора. При этом, поскольку запаздывание отсутствует, параметр c2=0, т.е. регулятор в рассматриваемой системе будет пропорционально-интегральным, даже если ранее применялся ПИД-регулятор. Описание передаточной функции для системы без запаздывания и определение зависимостей для параметров c0 и c1 показано на рисунке 24. На рисунке 25 показано определение рабочей частоты, а на рисунке 26 – подбор оптимальной частоты и определение параметров регулятора.Рисунок 24 – Зависимости параметров регулятора от передаточной функции устройстваРисунок 25 – Определение рабочей частоты для системы без запаздыванияПреобразовываем выражение для передаточной функции системы без запаздывания (с учетом того, что используется ПИ-регулятор):Q3s=GRsG0s1+GRsG0s=Ls1+LsLs=GRsG0s=ka3s3 a2s2 a1s 1∙c0+c1s=kc0s+c1a3s4 a2s3 a1s2 s 14Находим полюса функции L(s), т.е. корни ее знаменателя (характеристического полинома) qs=a3s4 a2s3 a1s2 s; вычисления в среде Mathcad показаны на рисунке 27. Для вычисления корней полинома используется функция polyroots(), в которой аргументом является вектор коэффициентов q(s), расположенных в порядке возрастания степеней s, от s0 до s4. Анализируя расположение найденных корней (полюсов функции L(s)) на комплексной плоскости, можно видеть, что корней в правой полуплоскости нет. Это значит, что если граница области конформного отображения мнимой оси Im, выполненного на основе преобразования L(s), ни одного раза не охватывает точку (-1;j0), то система с передаточной функцией Q3(s) будет устойчивой. В противном случае, если данная граница хотя бы один раз охватывает указанную точку, рассматриваемая система неустойчива. Данное правило называется геометрическим критерием устойчивости Найквиста.Построение графика конформного отображения L(s) для оси Im показано на рисунке 28. В выражение для L(s) включен множитель K – коэффициент усиления системы; при проверке устойчивости принимается K=1. При построении отображения оси Im нельзя использовать точки, совпадающие с полюсами L(s) (в рассматриваемом примере это точка начала координат – рисунок 27). Поэтому, чтобы исключить данную точку из конформного отображения, построение графика производится отдельно по каждой из двух половин оси Im. Нижняя половина оси (на участке -∞j; -δj] ) моделируется в Mathcad переменной w1, верхняя половина ( δj; +∞j;] ) – переменной w2. Переменные start и delta определяют точность и объем вычислений.Рисунок 26 – Определение параметров регулятора для системы без запаздыванияРисунок 27 – Полюса функции L(s) для системы без запаздыванияПри анализе границы конформного отображения оси Im необходимо иметь в виду, что крайние точки обоих ветвей графика (уходящие, в предельном случае, в бесконечность) соединены между собой. Эта часть границы на рисунке 28 не может быть показана, но ее наличие (в правой полуплоскости, куда уходят обе ветви) подразумевается. Таким образом, на рисунке 28 видно, что построенная граница не охватывает точку (-1;j0), и значит, по критерию Найквиста, система устойчива.Рисунок 28 – Проверка устойчивости системы с помощью критерия НайквистаИспользование усиления (увеличение коэффициента K в функции L(s)) приводит к возрастанию выходного сигнала, но при чрезмерно больших значениях K может произойти потеря устойчивости системы. Предельно допустимая величина усиления (при которой система оказывается на границе устойчивости) называется запасом устойчивости по модулю; для его определения может быть использован критерий Найквиста. На рисунке 29 видно, что при K=-0.052 линия конформного отображения проходит через точку (-1;j0), что означает нахождение системы на границе устойчивости. При дальнейшем увеличении K, очевидно, данная точка окажется внутри границы (граница охватит точку), и система станет неустойчивой. Таким образом, для рассматриваемой системы запас устойчивости по модулю составляет 3.7 (или 370%).Рисунок 29 – Определение запаса устойчивости по модулю с помощью критерия НайквистаПроверим, действительно ли при K=-0.052 выходной сигнал системы перестает стремиться к какому-либо конечному значению (что и означает потерю устойчивости системой). На рисунке 30 показан выходной сигнал системы с передаточной функцией Q3(s) при различных значениях коэффициента усиления. Хорошо видно, как с увеличением K растет колебательный характер сигнала и уменьшается скорость его затухания. При K=-0.052 сигнал становится гармоническим, незатухающим, и имеет постоянную амплитуду. При K>-0.052 выходной сигнал со временем будет неограниченно возрастать.Рисунок 30 – Выходной сигнал системы с обратной связью при различных значениях коэффициента усиленияПомимо избыточного усиления, потеря устойчивости системы также может быть вызвана рассогласованием фаз входных и выходных сигналов; предельно возможное смещение по фазе выходного сигнала (относительно входа) называется запасом устойчивости по фазе. Рассогласование фазы входа и выхода на угол γ соответствует умножению аргумента s в передаточной функции системы на величину eγi (γ – в радианах). На рисунке 31 показаны результаты подбора значения смещения γ (в градусах), при котором граница конформного отображения проходит через точку (-1;j0), что свидетельствует о достижении системой границы устойчивости; при дальнейшем увеличении γ устойчивость будет потеряна (граница охватит данную точку). Можно сделать вывод, что для рассматриваемой системы запас устойчивости по фазе (запаздыванию) составляет 0.45°.Рисунок 31 – Определение запаса устойчивости по фазе с помощью критерия НайквистаВыводыВ результате выполнения курсовой работы были определены коэффициенты передаточной функции, переходная характеристика которой была задана таблично. Также были определены параметры регулятора методами незатухающих колебаний и расширенных частотных характеристик. Была проведена оценка устойчивости системы с помощью критерия Найквиста – полученная система является устойчивой, запас по фазе составил 0.45°.