Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике

Введение
Теория вероятностей и математическая статистика — относительно молодые разделы современной математики, имеющие огромное прикладное значение почти во всех сферах деятельности человека.
Теория вероятностей — это строгая математическая дисциплина, занимающаяся поиском закономерностей случайных событий и изучающая их. Математическая статистика — это прикладная отрасль математики. Она занимается сбором исходной информации и обработкой ее в соответствии с законами теории вероятностей.
Объектом исследования теории вероятностей и математической статистики является случайное событие (явление) — такое, которое в результате испытания может произойти или не произойти. К числу случайных событий можно отнести появление дождя, который может идти или не идти, рождение ребенка мужского или женского пола, появление в данной местности какого-либо инфекционного заболевания, извержение вулкана, поражение мишени стрелком, количество повторений какой-либо буквы на печатной странице и т.д. и т.п. Во всех этих случаях под испытаниями мы понимаем те условия или обстоятельства, при которых рассматривается появление случайного события.
В течение долгого времени в науке исследовались детерминированные события. Это такого рода события, которые обязательно появляются в результате соблюдения определенных условий. Вероятностные события, таким образом, более широкий класс событий, которые в результате исходных условий, происходят или нет. Интерес к исследованию таких событий появился сравнительно недавно.
Эмпирическим, т.е. опытным путем было установлено, что появление в определенных испытаниях случайного события или его непоявление невозможно предвосхитить только тогда, когда проводится малое число испытаний. Если увеличить число испытаний, возможность появления случайного события можно предусмотреть.
В математической статистике есть много методов, нашедших широкое применение на практике. Их реализация апробирована многочисленными работами не только научного, но и практического характера. 
После проведения контрольных наблюдений исследователь получает фактический материал, представляющий собой, как правило, большой объем числовых данных. Массив этих чисел труднообозрим, и сделать какие-то конкретные выводы непосредственно по ним невозможно. Здесь используются методы статистики, позволяющие провести классификацию первичных данных, представить их в наиболее наглядной форме и получить некоторые обобщающие показатели, которые дают возможность сравнивать между собой различные данные и делать определенные выводы.
В качестве обобщающих числовых показателей используются средние значения и характеристики варьирования (рассеивания) экспериментальных данных. Получив эти показатели для контрольной и экспериментальной групп, исследователь видит, что они различаются. Но возникает вопрос: насколько достоверны эти различия? Можно ли объяснить это различие действием предложенных нововведений или это различие – случайность, обусловленная малым объемом фактических данных и сильной вариативностью испытуемых? Здесь нужны методы проверки статистических гипотез.
Эти вопросы не исчерпывают круг задач, решаемых при конкретных исследованиях с использованием методов математической статистики. Конечно, большинство подобных задач решаются методами корреляционного и регрессионного анализа. Но вопрос о достоверности полученных результатов, все равно остается открытым…
Уточним: под случайным событием (возникновением специфического набора обстоятельств) подразумевается такое событие, которое в конкретном опыте может произойти или не произойти;
под случайной величиной – переменная, способная принимать любое значение из области определения, и с которой связано распределение вероятностей;
под вероятностью – действительное число в интервале от 0 до 1, относящееся к случайному событию и отражающее меру возможности его наступления или степень соответствующей уверенности.
Среди случайных событий выделяют:
а) практически достоверные, вероятность которых весьма близка к единице;
б) практически невозможные, если их вероятность близка к нулю;
в) независимые, когда появление одного из событий не изменяет вероятности возникновения других;
г) противоположные, если одно из них обязательно произойдет в каких-либо конкретных условиях; д) совместные и несовместные, когда для первых возможно одновременное появление в каких-либо конкретных условиях, а для вторых это невозможно. Что касается случайных величин, то их принято делить на дискретные (способные принимать только отдельные значения) и непрерывные – с любыми значениями из конечного или бесконечного интервала.
Парадоксы – истины, противоречащие здравому смыслу
В теории вероятностей и математической статистике существует несколько задач, решение которых, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Такие задачи называют парадоксами.
Теория вероятностей и математическая статистика представляет собой область математики, необычайно богатую парадоксами – истинами, настолько противоречащими здравому смыслу, что поверить в них трудно даже после того, как правильность их подтверждена доказательством. Парадоксы в теории вероятностей – различного рода парадоксы, возникающие в теории вероятностей из-за несовершенства аксиоматики, в частности, из-за определения вероятности через вероятность, неопределённости понятия «равновероятные события» и иных пробелов в основаниях данного раздела математики. 
В теории вероятности и математической статистике парадоксы бывают двух типов:
первый – когда существует строгое решение в рамках аксиоматики, просто оно неочевидно, и условия задачи таковы, что ведут интуитивное понимание условий в ошибочном ключе, примерами таких парадоксов являются – Санкт-Петербургский парадокс, Парадокс закона больших чисел Бернулли, Парадокс дней рождения;
второй тип – парадоксы, которые основываются на неоднозначной интерпретации аксиоматики теории вероятности, её недоопределённости, которую отмечал еще Пуанкаре, их и можно назвать истинными парадоксами.
Примеры истинных парадоксов: Проблема Монти-Холла, Парадокс двух конвертов, Парадокс Хемпеля, Парадокс Бертрана. Ценность обоих типов парадоксов в том, что они помогают лучше понять суть теории, область её ограничения, глубже понять основания теории, и иногда исследование парадоксов вело к созданию отдельных разделов математики.
Теперь рассмотрим наиболее известные и интересные парадоксы.
Парадокс Монти Холла – одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Задача формулируется как описание игры, основанной на американском телешоу, и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространенная формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году, звучит следующим образом: представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями – козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где – козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться следующей стратегии: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу. Наиболее популярной является задача с дополнительным условием – участнику игры заранее известны следующие правила: автомобиль равновероятно размещен за любой из 3 дверей; ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой и предложить игроку изменить выбор, но только не дверь, которую выбрал игрок; если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.
Парадокс девочки и мальчика также известен в теории вероятностей, как «Парадокс второго ребенка», «Дети мистера Смита». Впервые задача была сформулирована в 1959-ом году, когда Мартин Гарднер (Martin Gardner) опубликовал один из самых ранних вариантов этого парадокса и сформулировал её следующим образом:
У мистера Джонса двое детей. При этом старший ребёнок – девочка. Какова вероятность того, что оба ребёнка девочки?
У мистера Смита двое детей. При этом хотя бы один ребёнок – мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка мальчики?
У мистера Джонса двое детей. При этом старший ребёнок – девочка. Какова вероятность того, что оба ребёнка девочки? Выберем случайную семью, соответствующую условиям первого вопроса. Тогда существуют 4 равновероятных исхода.
И только 2 из возможных исходов удовлетворяют критерию, указанному в вопросе. (Это варианты ДД, ДМ). Из-за того, что оба исхода из нового множества элементарных исходов {ДД, ДМ} равновероятны, и только один из исходов содержит 2-х девочек – ДД. Таким образом, вероятность того, что оба ребёнка девочки равна 1/2.
У мистера Смита двое детей. При этом хотя бы один из детей – мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка мальчики? Второй вопрос похож на первый, однако вместо утверждения о том, что старший ребёнок мальчик, в вопросе говорится о том, что хотя бы один из детей мальчик. В ответ на критику со стороны читателей Гарднер соглашается, что из-за "невозможности детально описать процедуру рандомизации" его изначальная формулировка имеет 2 способа интерпретации метода отбора семьи:
1.Из всех семей с двумя детьми, где хотя бы один мальчик, выбрана произвольная семья. В этом случае ответ 1/3.
2.Из всех семей с двумя детьми, один ребёнок выбирается случайным образом, и пол этого ребёнка задан. В этом случае ответ 1/2.
Прекрасным примером служит парадокс с днями рождения. Выберем наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое или большее число из них родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть может, в разные годы)? Интуитивно чувствуется, что вероятность такого события должна быть очень мала. На самом же деле она оказывается равной 27/50, то есть чуть выше 50%!
Вероятность того, что дни рождения любых двух людей не совпадают, очевидно, равна 364/365. Вероятность несовпадения дня рождения третьего человека с днем рождения любых двух других членов отобранной группы составляет 363/365. Для четвертого человека вероятность того, что его день рождения отличается от дней рождения любых трех людей, равна 362/365 и т.д. Дойдя до двадцать четвертого участника эксперимента, мы увидим, что вероятность несовпадения его дня рождения с днями рождения остальных двадцати трех участников равна 342/365. Таким образом, мы получаем набор из 23 дробей. Перемножив их, мы найдем вероятность того, что все 24 дня рождения различны. Сократив числитель и знаменатель произведения двадцати четырех дробей, мы получим дробь 23/50. Иначе говоря, заключая пари на то, что среди 24, по крайней мере, двое родились в один и тот же день, вы будете выигрывать в 27 и проигрывать в 23 случаях из 50.
Санкт-Петербургский парадокс получил известность после публикации Даниилом Бернулли в заметках Академии наук Санкт-Петербурга в 1738 году, однако впервые парадокс упоминается двоюродным братом Даниила – Николаем Бернулли в 1713 году в письме к математику Монмору. Иногда, ошибочно, парадокс приписывают Эйлеру. Суть парадокса: игроком бросается правильная монета до момента выпадения решки, игрок при выпадении получает 2r рублей, где r – это номер бросания, при котором выпала решка, – при каждом последующем бросании потенциальный выигрыш увеличивается вдвое. Сколько необходимо выплатить игроку за участие в игре с такими условиями, чтобы его средний выигрыш перекрыл выплату за игру. Ответ парадоксален, – математическое ожидание банковских выплат бесконечное. Выигрыш может выпасть при любом из r бросаний, тогда математическое ожидание равняется:
mx=2r=½*2+1/4*4+1/8*8...=1+1+1...,
где mx – математическое ожидание выигрыша, r – число бросаний.
Этот бесконечный ряд расходится, то есть имеет бесконечную сумму.
Парадокс двух конвертов – известный парадокс, демонстрирующий как особенности субъективного восприятия теории вероятностей, так и границы её применимости. В облике двух конвертов этот парадокс предстал в конце 1980-х годов, хотя в различных формулировках известен математикам с первой половины XX века. Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. В чужом конверте равновероятно может находиться 2X или X/2. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет (2X+X/2)/2=(5/4)X, т.е. больше, чем сейчас. Значит – обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?
Парадокс дней рождения. В группе, состоящей из 23 или более человек, вероятность совпадения дней рождения (число и месяц) хотя бы у двух людей превышает 50%. Например, если классе 23 ученика или более, то более вероятно то, что у кого-то из одноклассников дни рождения придутся на один день, чем то, что у каждого будет свой неповторимый день рождения.Для 60 и более человек вероятность такого совпадения превышает 99 %, хотя 100 % она достигает, согласно принципу Дирихле, только тогда, когда в группе не менее 367 человек (ровно на 1 больше, чем число дней в високосном году; с учётом високосных лет).
Такое утверждение может показаться неочевидным, так как вероятность совпадения дней рождения двух человек с любым днём в году (1/365 = 0.27 %), умноженная на число человек в группе (23), даёт лишь (1/365)×23 = 6.3 %. Это рассуждение неверно, так как число возможных пар (( 23 × 22 )/2 = 253) значительно превышает число человек в группе (253 > 23). Таким образом, утверждение не является парадоксом в строгом научном смысле: логического противоречия в нём нет, а парадокс заключается лишь в различиях между интуитивным восприятием ситуации человеком и результатами математического расчёта.
Заключение
Как и любая другая область науки, теория вероятностей и математическая статистика отражает множество противоречий окружающего нас мира. В связи с этим в истории встречается множество различных парадоксов – истинных высказываний, для которых характерны неожиданность, непривычность, оригинальность, противоречивость себе, исходным посылкам, общепринятому, традиционному взгляду или здравому смыслу по содержанию и/или по форме.
По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела, где было бы столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей. Разрешение же различных парадоксов, связанных со случайностью, способствовало возникновению и развитию теории вероятностей и её приложений. Величайшие открытия порой были результатом разрешения величайших парадоксов. Эти открытия, в свою очередь, становились источниками новых парадоксов. Из всех методов обучения метод, основанный на познании нового через парадоксы (метод Сократа), является фундаментальным, т.к. процесс научного познания сам опирается на парадоксы. Следовательно, анализ и пошаговый разбор парадоксов теории вероятностей и математической статистики ведет к более глубокому пониманию предмета и лучшему осознанию сути дела.
Список использованной литературы:
Зайцев В. Ф. Математические модели в точных и гуманитарных нау- ках. – СПб.: ООО “Книжный Дом”, 2006. – 112 с.
Лубова, Т.Н. Многомерные статистические методы [Электронный ресурс]: учебное пособие / Т.Н. Лубова ; М-во сел. хоз-ва РФ, Башкирский ГАУ. – Уфа : Изд-во БГАУ, 2015. – 64 с.
Лубова, Т.Н. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] : учебное пособие / Т. Н. Лубова ; М-во сел. хоз-ва РФ, Башкирский ГАУ. – Уфа : Изд-во БашГАУ, 2015. – 163 с.
Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике: Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 240 с.