Семь задач тысячелетия

Каждому из нас приходилось что-либо слышать о знаменитых задачах тысячелетия - Millennium Prize Problems, о семи наиболее важных математических проблемах, решение которых до сих пор не найдено в течение многих десятилетий. И буквально каждого россиянина распирает гордость за нашего гениального соотечественника Григория Перельмана, сумевшего подобрать ключик к решению знаменитой гипотезы Пуанкаре. Пожалуй, только в этом и заключается вся наша информированность по данному вопросу.
Считается, что простому обывателю достаточно сложно понять суть этих математических задач из-за их чрезвычайной сложности. Однако попытаемся развеять этот миф и объяснить на пальцах: в чем же заключается суть этих математических проблем.
Каждый из нас, находясь в большой компании, обязательно сталкивался с проблемой Кука – проблемой поиска конкретного человека среди большого количества людей. Стоит отметить, что существует два варианта решения этой проблемы:
1. один из присутствующих знает нашего друга и сразу укажет место его нахождения;
2. никто из гостей его не знает, поэтому придется обойти все помещения для его поиска.
Напрашивается вывод, что иногда решение какой-либо поставленной задачи занимает больше времени, чем проведение проверки верности этого решения.
Вот американский учёный в области теории вычислительных систем Стивен Кук и выразил с помощью математического языка данную проблему, которая с 1971 года считается важнейшей из задач теории алгоритмов, информатики и логики: может ли процесс проверки правильности решения какой-либо задачи, независимо от алгоритма осуществления проверки, длиться дольше, чем время решения этой задачи?Таких задач довольно много, но основной вопрос заключается в следующем: все ли легко и быстро проверяемые задачи можно также легко и быстро решить? В настоящий момент для множества задач не найдено быстрого алгоритма решения, вероятность существования такого алгоритма ставится под сомнение.
Проблема Кука — одна из нерешенных проблем логики и информатики, имеющая значение для различных областей знаний, ее решение коренным образом изменит основы криптографии, используемой для хранения и передачи информации.
Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера, сформулированная в 1960 году, связана с уравнениями эллиптических кривых от нескольких переменных и нахождением множеств их рациональных решений.
Все мы знаем алгебраическое уравнение вида x2 + y2 = z2 , так вот Евклидом было описано уравнение этого вида и его решение, а для более сложных уравнений поиск решений затруднителен.
Нахождения множества именно рациональный решений эллиптических кривых и является предметом гипотезы Берча-Свиннертон-Дайера.
Применение гипотезы Берча-Свиннертон-Дайера сразу не видно, но ее доказательство могло бы доставить математикам новые методы и подходы к поиску рациональных точек алгебраических многообразий.
Гипотеза Римана основана на определении закономерности распределения целых простых чисел — которые нельзя выразить произведением двух целых чисел (например: 2, 3, 5, 7, 11, 13).
Немецкий математик   HYPERLINK "https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD,_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%85%D0%B0%D1%80%D0%B4" \o "Риман, Бернхард" Бернхард Риман еще в 1859 году сделал предположение о свойствах последовательности простых чисел. Например, для 4 существует два простых числа, для 10 - 4 простых числа, таким образом, гипотеза Римана  устанавливает свойства данной функции распределения.
Следует отметить, что доказательство данной гипотезы приведет к революционному изменению наших знаний в области теории чисел, шифрования и прорыву в области безопасности Интернета.
Гипотеза Ходжа основана на понятии инварианта. Допустим, существует два объекта и необходимо выяснить их равенство. Сделать это возможно, если установить некоторые свойства этих объектов. В случае не идентичности рассматриваемых свойств, объекты не являются равными.
Например, при проверке совпадения двух текстов можно сравнить их объемы. В случае их несовпадения — тексты не являются идентичными. Аналогично и в алгебраической геометрии простейших инвариант — размерность или связность искомого множества.
Однако, обратное утверждение неверно, т.е. из равенства двух инвариантов нельзя сделать заключение о равенстве исходных объектов. Гипотеза Ходжа 1941 года и является утверждением о том, что избранный набор инвариантов будет однозначно задавать исходный объект.
В реальности существуют множество простых и сложных геометрических объектов, и чем сложнее объект, тем более трудоемко его изучение. Учеными используется следующий подход: вместо изучаемого объекта использовать его простые  «кирпичики» с уже известными свойствами, которые склеиваются между собой как конструктор и образуют подобие исходного объекта. Таким образом, владея свойствами «кирпичиков» можно получить доступ к свойствам самого объекта.
Непосредственное применение гипотезы Ходжа возможно в различных областях математики, например, в алгебраической теории чисел.
Следующую задачу – Уравнения Навье – Стокса можно проиллюстрировать таким примером: если плыть по озеру на лодке, то неизбежно вокруг нее возникнут волны, аналогично и для воздушного пространства – возникнут турбулентные потоки.  Так вот уравнение Навье-Стокса 1822 года как раз описывает процессы движения вязкой жидкости и является центральной задачей всей гидродинамики.
В настоящий момент решения этих уравнений найдены лишь для частных случаев, часть которых решена в аналитическом виде, а часть с помощью численного моделирования.
Применений системы уравнений Навье-Стокса возможно в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач, например, «проблема Динамо» - описание течений в мантии Земли, описание движения воздушных масс атмосферы для прогнозирования погоды. В любом случает, решение этих уравнений позволит кардинально изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов. 
Уравнения Янга – Миллса  относятся к квантовой физике и сформулированы с целью описания мира элементарных частиц вокруг нас. Выдающиеся физики Янг и Миллс в 1954 году установили определенную математическую связь между физикой элементарных частиц и геометрией и вывели уравнения. Таким образом, они отыскали путь, ведущий к синтезу теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий.
Благодаря теорий Янга — Миллса в 1970-х годах были созданы две базовые теории стандартной модели в физике элементарных частиц:
1. квантовая хромодинамика - теория сильных взаимодействий;
2. теория электрослабых взаимодействий.
Что удивительно - в лабораторных условиях были открыты частицы, описываемые уравнениями Янга – Миллса, хотя ранее уравнения рассматривались как математический изыск, не имеющий отношения к реальности. Таким образом, экспериментально была доказана правильность этих математических расчетов, но доказать верность уравнений с помощью математических расчетов ученые пока не могут, как и предсказать  массы элементарных частиц. Тем не менее, большинство физиков приняли правильность теории Янга - Миллса.
Ну и наконец — Проблема Пуанкаре, которая относится к топологии многообразий — особым образом устроенных пространств, имеющих разную размерность.
Простейший пример двухмерных многообразий — поверхности трехмерных тел: поверхности сферы-шара или поверхности тора-бублика.
Если деформировать воздушный шар каким-либо образом (путем скручивания, изгибания, сдувания-надувания), то он будет изменять свою форму в широких пределах, но никогда не превратиться в бублик. И наоборот: бублик-тор не превратится в шар-сферу без нарушения непрерывности его поверхности. С точки зрения топологии сфера-шар негомеоморфна тору-бублику, т.е. эти поверхности невозможно отобразить одну на другую, т.е. они различны по топологическим свойствам. Поверхность воздушного шарика несмотря на деформацию гомеоморфна сфере, а поверхность спасательного круга - гомеоморфна тору. Короче говоря, любая замкнутая двумерная поверхность без сквозных отверстий гомеоморфна сфере (обладает топологическими свойствами двухмерной сферы).
Проблема Пуанкаре утверждает то же самое для трехмерных многообразий (для двухмерных многообразий, таких как сфера, это положение было доказано еще в 19 веке). Одним из важнейших свойств двухмерной сферы является то, что любая лежащая на сфере может быть стянута в одну точку, не покидая при этом поверхности. Например, для тора это свойство не соблюдается: петля, проходящая через его отверстие, стянется в точку либо при разломе тора, либо при разрыве самой петли.
В 1904 году французский математик Анри Пуанкаре высказал предположение: что если петля на замкнутой трехмерной поверхности может стягиваться в точку, то она гомеоморфна трехмерной сфере.
Подобная задача для размерностей 5 и выше была решена в 1960 году Стивеном Смэйлом, Джоном Стэллингсом и Эндрю Уоллесом, но их подходы к решению неприменимы к четырехмерным многообразиям.
Для четырехмерных многообразий проблема Пуанкаре была доказана Майклом Фридманом в 1981 году.
Для трехмерных многообразий (самый сложный случай) решение предложил наш соотечественник – математик Григорий Перельман. 
Частный случай гипотезы Пуанкаре можно сформулировать так: любое трехмерное многообразие без края (наша Вселенная) подобно трехмерной сфере, в то время как общий случай переводит это утверждение на объекты любой мерности. Для философского контекста особенно важно отметить, что теорема Пуанкаре-Перельмана содержит идею о том, что две структуры пространства возможны в глобальной Вселенной.
Практическое применение доказательства гипотезы Пуанкаре пока представить сложно, возможно — это более глубокое понимание законов Вселенной, ведь наиболее популярная астрофизическая теория считает Вселенную односвязным трехмерным пространством.
В заключении хотелось бы отметить, что математика является тем механизмом, с помощью которого можно описать наш мир, и в частности - многие наблюдаемые вещи. История не раз подтверждала тот факт, что творения математика переживают столетия лишь тогда, когда он работает без практических применений, для удовлетворения собственного любопытства. Ведь ориентированные на практику исследования очень редко приносят глубокие, фундаментальные результаты. Кто знает, возможно, любая из проблем тысячелетия станет основой теории, которая в очередной раз изменит мир!