Анализ устойчивости заданной линейной САУ при использовании корневых и частотных критериев с помощью программных продуктов MATHCAD и MATLAB.

ВВЕДЕНИЕ

Общим для всех процессов управления, где бы они ни протекали,
является прием (получение), хранение, преобразование информации и
выработка (организация) на ее основе управления. Осознание этой общности
послужило предпосылкой к возникновению в конце сороковых годов XX
века научного направления, названного его основателем Н. Винером
кибернетикой. Хотя управление человеческим коллективом, экономикой, с
одной стороны, и техническими объектами – с другой, имеет много общего,
но коренные различия, которые существуют между этими объектами, делают
необходимым их раздельное рассмотрение.
В теории (автоматического) управления рассматриваются методы
исследования и построения систем управления в технике [1].
Устойчивость является одним из основных требований к системам
автоматического управления (САУ). Поэтому важно уметь определять
(исследовать) и соответствующим выбором структуры и параметров системы
управления обеспечивать ее устойчивость.
В курсовой работе предлагается провести анализ устойчивости
заданной линейной САУ при использовании корневых и частотных
критериев с помощью программных продуктов MATHCAD и MATLAB.

1 ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

На рисунке 1 приведена Структурная схема САУ

Рисунок 1 – Структурная схема САУ

Передаточные функции звеньев приведены в таблице 1

Таблица 1 – Передаточные функции звеньев
№ п/п sW1 sW2 sW3
5

s
K2

1sT
K
1
1
 1sTsTT
K
6
2
65
4


Коэффициенты усиления: 1K =10; 2K =5; 3K =4; 4K =2; 5K =0,5.
Постоянные времени (с): 1T =0.5; 2T =0.25; 3T =0.1; 4T =0.5; 5T =5; 6T
=0,1.
Требуется:
1. Найти передаточную функцию W(s)=А(s)/В(s) САУ в виде
отношения полиномов числителя и знаменателя.
2. Исследовать устойчивость замкнутой САУ в среде пакета Mathcad:
а) по корням характеристического уравнения В(s)=0 и А(s)+В(s)=0 на
комплексной плоскости;

б) частотным методом Михайлова;
в) частотным методом Найквиста на комплексной плоскости
(построение годографа АЧФХ).
3. Исследовать САУ в среде пакета MATLAB+Simulink:
а) по корням характеристического уравнения В(s)=0 и А(s)+В(s)=0 на
комплексной плоскости;
б) методами Найквиста:
- на комплексной плоскости (построение годографа),
в) по переходной характеристике,
г) по импульсной характеристике,
д) по динамической характеристике моделирования в среде Simulink.
4. Разработать скрипт m-программы анализа устойчивости САУ.
5. Сравнить результаты расчетов п.2 и п.3, провести анализ и сделать
выводы.

6

2 НАХОЖДЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Определим передаточную функцию разомкнутой системы и полиномы
её числителя и знаменателя:




.
ss6.0s55.0s25.0
60s10s25

1s6.0s55.0s25.0
12s2s5

s
5

1s1.0s5.0
2

1s5.0
10
s
5
1s1.0s1.05
2

1s5.0
10
s
5

1sTsTT
K

1sT
K
s
K
sWsWsW
sB
sA
sW

234
2

23
2
22
6
2
65
4

1
12

321












































(1)

60s10s25sA2 , (2)

ss6.0s55.0s25.0sB234 . (3)

Определим передаточную функцию замкнутой системы и полиномы её
числителя и знаменателя:







.
60s11s6.25s55.0s25.0

60s10s25

ss6.0s55.0s25.0
60s10s25

1
ss6.0s55.0s25.0
60s10s25

sW1
sW

sBsA
sA

sФ

234
2

234
2
234
2

pc
pc




















(4)

60s10s25sA2 , (5)

60s11s6.25s55.0s25.0sBsA234 . (6)
3 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ САУ В СРЕДЕ ПАКЕТА

MATHCAD

Определим устойчивость разомкнутой системы по корням
характеристического уравнения:

Рисунок 2 – Корни характеристического уравнения разомкнутой

системы на комплексной плоскости

Формулировка критерия: система устойчива тогда и только тогда,
когда все корни характеристического уравнения имеют отрицательные
вещественные чести (находятся слева от мнимой оси на комплексной
плоскости).
Как видно три корня имеют отрицательные вещественные части и один
корень равен нулю, следовательно, разомкнутая система является нейтрально
устойчивой.
Определим устойчивость замкнутой системы по корням
характеристического уравнения:

Рисунок 3 – Корни характеристического уравнения замкнутой системы

на комплексной плоскости

Как видно все корни имеют отрицательные вещественные части,
следовательно, замкнутая система является устойчивой.
Определим устойчивость замкнутой системы с помощью частотного
критерия Михайлова.
Выполнив замену is в полиноме (6), и выделив вещественную и
мнимую части, построим кривую Михайлова (рисунок 4)

Рисунок 4 – Кривая Михайлова

Формулировка критерия Михайлова: для устойчивости системы
необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении
частоты от нуля до бесконечности повернулся против часовой стрелки,
начиная с вещественной оси, на число квадрантов равное порядку
характеристического уравнения, последовательно проходя эти квадранты.
Судя по рисунку 4, кривая Михайлова начинается на положительной
оси абсцисс, последовательно проходит четыре квадранта и в четвертом
квадранте устремляется в бесконечность, поэтому замкнутая система
является устойчивой.
Определим устойчивость замкнутой системы с помощью частотного
критерия Найквиста.
Выполнив замену is в передаточной функции разомкнутой
системы (1), и выделив вещественную и мнимую части, построим годограф
АЧФХ (рисунок 5 и 6)

10

Рисунок 5 – Годограф АЧФХ

Рисунок 6 – Годограф АЧФХ вблизи точки (-1; j0)

Формулировка критерия Найквиста для случая, когда разомкнутая
система является нейтрально устойчивой: для устойчивости системы в
замкнутом состоянии АФЧХ разомкнутой системы, дополненный дугой
бесконечно большого радиуса, должна не охватывать точку (-1, j0).
Судя по рисункам 5 и 6, годограф АФЧХ разомкнутой системы,
дополненный дугой бесконечно большого радиуса, не охватывает точку
(-1,j0), поэтому замкнутая система является устойчивой.
4 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ САУ В СРЕДЕ ПАКЕТА

MATLAB+Simulink

m-cкрипт программы для анализа устойчивости САУ приведен в
ПРИЛОЖЕНИИ А.
Определим устойчивость разомкнутой системы по корням
характеристического уравнения:
W =
25 s^2 + 10 s + 60
---------------------------------
0.25 s^4 + 0.55 s^3 + 0.6 s^2 + s
Continuous-time transfer function.
ans =
0.0000 + 0.0000i
-2.0000 + 0.0000i
-0.1000 + 1.4107i
-0.1000 - 1.4107i

Рисунок 7 – Корни характеристического уравнения разомкнутой

системы на комплексной плоскости
Как видно три корня имеют отрицательные вещественные части и один
корень равен нулю, следовательно, разомкнутая система является нейтрально
устойчивой.
Определим устойчивость замкнутой системы по корням
характеристического уравнения:
F =
25 s^2 + 10 s + 60
------------------------------------------
0.25 s^4 + 0.55 s^3 + 25.6 s^2 + 11 s + 60
Continuous-time transfer function.
ans =
-0.9003 + 9.9223i
-0.9003 - 9.9223i
-0.1997 + 1.5421i
-0.1997 - 1.5421i

Рисунок 8 – Корни характеристического уравнения замкнутой системы

на комплексной плоскости

Как видно все корни имеют отрицательные вещественные части,
следовательно, замкнутая система является устойчивой.
Определим устойчивость замкнутой системы с помощью частотного
критерия Найквиста. Годограф АЧФХ разомкнутой системы приведен на
рисунке 9 и 10

Рисунок 9 – Годограф АЧФХ

Рисунок 10 – Годограф АЧФХ вблизи точки (-1; j0)
Судя по рисункам 9 и 10, годограф АФЧХ разомкнутой системы,
дополненный дугой бесконечно большого радиуса, не охватывает точку
(-1,j0), поэтому замкнутая система является устойчивой.
Переходная и импульсная характеристики замкнутой САУ приведены
на рисунках 11 и 12 соответственно

Рисунок 11 – Переходная характеристика замкнутой САУ

Рисунок 12 – Импульсная характеристика замкнутой САУ

15
Судя по рисункам 11 и 12 переходная и импульсная характеристики
замкнутой САУ являются затухающими (имеют установившееся значение),
следовательно, замкнутая система является устойчивой.
Выполним моделирование в среде Simulink. Схема моделирования
приведена на рисунке 13

Рисунок 13 – Схема моделирования САУ в среде Simulink

Переходная характеристика замкнутой САУ приведена на рисунке 14

Рисунок 14 – Переходная характеристика замкнутой САУ в среде

Simulink
Судя по рисунку 14 переходная характеристика замкнутой САУ в среде
Simulink является затухающей (имеет установившееся значение),
следовательно, замкнутая система является устойчивой.
Сведём полученные результаты в таблицу 2

Таблица 2 – Результаты исследований
Программа Полюса Устойчивость

Mathcad

Разомкнутой системы:

Замкнутой системы:

Разомкнутая система:
нейтрально устойчива.
Замкнутая система:
устойчива

Matlab

Разомкнутой системы:
0.0000 + 0.0000i
-2.0000 + 0.0000i
-0.1000 + 1.4107i
-0.1000 - 1.4107i
Замкнутой системы:
-0.9003 + 9.9223i
-0.9003 - 9.9223i
-0.1997 + 1.5421i
-0.1997 - 1.5421i

Разомкнутая система:
нейтрально устойчива.
Замкнутая система:
устойчива.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По заданной схеме найдены передаточные функции разомкнутой и
замкнутой систем.
Исследована устойчивость замкнутой САУ в среде пакета Mathcad по
корням характеристического уравнения, по частотному методу Михайлова;
по частотному методу Найквиста. Установлено, что разомкнутая система
является нейтрально устойчивой, а замкнутая система – устойчивой.
Разработан скрипт m-программы анализа устойчивости САУ
(ПРИЛОЖЕНИЕ А).
Исследована устойчивость замкнутой САУ в среде пакета
MATLAB+Simulink по корням характеристического уравнения, по
частотному методу Найквиста; по переходной характеристике; по
импульсной характеристике; по динамической характеристике
моделирования в среде Simulink. Установлено, что разомкнутая система
является нейтрально устойчивой, а замкнутая система – устойчивой.
Результаты анализа устойчивости сведены в таблицу 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные
системы. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 288 с.
2. Иващенко Н.Н. «Автоматическое регулирование». – М. :
Машиностроение,1973. – 607 с.
3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. «Теория систем автоматического
управления» – СПб : Профессия, 2003, 458 с.
4. В.Я. Ротач Теория автоматического управления, Учебник для
студентов вузов. 5-е издание, переработанное и дополненное. М. : МЭИ,
2008, 396 с.
5. Попов Е.П. «Теория систем автоматического управления» – М :
Высшая школа, 1989, 324 с.
6. Топчеев Ю.И. «Атлас для проектирования систем автоматического
регулирования» – М. : Машиностроение, 1989, 248 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А m-скрипт анализа устойчивости САУ

%Передаточная функция разомкнутой системы
W=tf([25 10 60],[0.25 0.55 0.6 1 0])
%Полюса разомкнутой системы
pole(W)
%Полюса и нули разомкнутой системы на комплексной
плоскости
pzmap(W)
%Передаточная функция замкнутой системы
F=feedback(W,1,-1)
figure
%Полюса замкнутой системы
pole(F)
%Полюса и нули замкнутой системы на комплексной
плоскости
pzmap(F)
figure
%Годограф АФЧХ разомкнутой системы
nyquist(W)
figure
%Переходная характеристика замкнутой системы
step(F)
grid on
figure
%Импульсная характеристика замкнутой системы
impulse(F)
grid on