анализ линейной сар

1. Записать передаточные функции элементов системы регулирования и составить ее структурную схему.
2. Определить передаточные функции разомкнутой системы, замкнутой системы по объекту управления, замкнутой системы по ошибке. Найти их характеристические полиномы.
3. Оценить устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Рауса -Гурвица.
4. Оценить устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Михайлова. Построить годограф Михайлова.
5. Оценить устойчивость системы с помощью критерия Найквиста. Построить годограф Найквиста.
6. Рассчитать и построить логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики разомкнутой системы автоматического регулирования. Определить по ним устойчивость системы.
В случае устойчивости найти запасы устойчивости системы, в случае неустойчивости системы найти запасы устойчивости после того, как система станет устойчивой.
7. Определить коэффициент передачи системы и найти критический коэффициент усиления. Если система оказалась неустойчива, то изменить kру, так, чтобы общий коэффициент передачи системы был меньше критического в два раза. Построить АФЧХ и АЧХ замкнутой системы, определить частотные показатели качества.
8. Найти полюса и нули замкнутой системы, изобразить их расположение на комплексной плоскости, найти корневые показатели качества. Оценить устойчивость по корням характеристического уравнения.
9. Рассчитать и построить переходную характеристику системы, получить прямые показатели качества (установившееся значение, время первого максимума, перерегулирование, степень затухания, время переходного процесса). Получить и построить функцию веса.
10. Сделать выводы по проделанной работе.
Руководитель работы ___________/ ________________________________/
(Подпись) (ФИО)
Студент / Левинцева Виктория Сергеевна/

СОДЕРЖАНИЕ
TOC \o "1-3" \h \z \u ВВЕДЕНИЕ PAGEREF _Toc75121603 \h 61. Структурная схема и передаточные функции элементов PAGEREF _Toc75121604 \h 72. Передаточные функции системы PAGEREF _Toc75121605 \h 83. Оценка устойчивости замкнутой системы с помощью критерия Рауса-Гурвица PAGEREF _Toc75121606 \h 114. Оценка устойчивости замкнутой системы с помощью критерия Михайлова PAGEREF _Toc75121607 \h 125. Оценка устойчивости системы с помощью критерия Найквиста PAGEREF _Toc75121608 \h 146. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики разомкнутой системы PAGEREF _Toc75121609 \h 167. АФЧХ и АЧХ замкнутой системы, частотные показатели качества PAGEREF _Toc75121610 \h 188. Полюса и нули замкнутой системы, корневые показатели качества. PAGEREF _Toc75121611 \h 219. Переходная характеристика системы, прямые показатели качества, функция веса PAGEREF _Toc75121612 \h 23ЗАКЛЮЧЕНИЕ PAGEREF _Toc75121613 \h 25СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ PAGEREF _Toc75121614 \h 26ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Получение передаточных функций PAGEREF _Toc75121615 \h 27Приложение 2. Построение кривой Михайлова PAGEREF _Toc75121616 \h 28Приложение 3. Построение годографа Найквиста PAGEREF _Toc75121617 \h 29Приложение 4. Построение логарифмических характеристик PAGEREF _Toc75121618 \h 30
ВВЕДЕНИЕСистемы автоматического регулирования (САР) применяются для регулирования отдельных параметров (температура, давление, уровень, расход и т.д.) в объекте управления. В современных системах автоматического управления (САУ) системы автоматического регулирования являются подсистемами САУ и их применяют для регулирования различных параметров при управлении объектом или процессом. Принцип действия всякой системы автоматического регулирования (САР) заключается в том, чтобы обнаруживать отклонения регулируемых величин, характеризующих работу объекта или протекание процесса от требуемого режима и при этом воздействовать на объект или процесс так, чтобы устранять эти отклонения..
Целью курсовой работы является анализ линейной непрерывной системы автоматического управления (САУ).
Основными задачами курсовой работы являются:
составление математической модели в форме структурной схемы;
исследование системы на устойчивость необходимыми критериями;
построение переходных процессов для анализа качества процесса регулирования системы;
оценка точности процесса регулирования.
Структурная схема и передаточные функции элементовПо заданным дифференциальным уравнениям запишем передаточный функции элементов схемы.
Регулирующее устройство
T2dUру(t)dt+Uруt=kру∙T1dε(t)dt+kру∙ε(t)T2pUру(t)+Uруt=kру∙T1pε(t)+kру∙ε(t)T2p+1Uруt=kру∙T1p+kру∙ε(t)Wруp=Uруtε(t)=kруT1p+1T2p+1Датчик
TocdYос(t)dt+Yосt=kос∙Yt.TосpYосt+Yосt=kос∙Yt.Tосp+1Yосt=kос∙Yt.Wосp=YосtY(t)=kосTосp+1.Объект управления
T3d2 y(t)dt2+dy(t)dt=kо∙Uруt.T3p2yt+pyt=kо∙Uруt.T3p2+pyt=kо∙Uруt.Wоp=y(t)Uру(t)=kоT3p2+p.Составим структурную схему:

Рис. 1. Структурная схема.
Передаточные функции системыЗапишем передаточную функцию разомкнутой системы.
Wразp=WруpWоpWосp=kруT1p+1T2p+1∙kоT3p2+p∙kосTосp+1=kруkоkосT1p+1pT2p+1T3p+1Tосp+1.Раскроем скобки
Wразp=kруkоkосT1p+kруkоkосT2T3Tосp4+T2Tос+T3Tос+T2T3p3+T2+T3+Tосp2+p.Подставим заданные числовые значения
Wразp=32.4p+720.0000279p4+0.00965p3+0.213p2+p.Характеристический полином разомкнутой системы
0.0000279p4+0.00965p3+0.213p2+pЗапишем передаточную функцию замкнутой системы по управлению.
Wyp=WруpWоp1+WруpWоpWосp=kруkоT1p+1pT2p+1T3p+11+kруkоkосT1p+1pT2p+1T3p+1Tосp+1=kруkоT1p+1Tосp+1pT2p+1T3p+1Tосp+1+kруkоkосT1p+1Раскроем скобки
Wyp=kруkоT1Tосp2+kруkоT1+Tосp+kруkоT2T3Tосp4+T2Tос+T3Tос+T2T3p3+T2+T3+Tосp2+kруkоkосT1+1p+kруkоkосПодставим заданные числовые значения
Wyp=0.0502p2+16.31p+360.0000279p4+0.00965p3+0.213p2+33.4p+72Характеристический полином замкнутой системы
0.0000279p4+0.00965p3+0.213p2+33.4p+72Запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке.
Wεp=11+WруpWоpWосp=11+kруkоkосT1p+1pT2p+1T3p+1Tосp+1=pT2p+1T3p+1Tосp+1pT2p+1T3p+1Tосp+1+kруkоkосT1p+1Раскроем скобки
Wεp=T2T3Tосp4+T2Tос+T3Tос+T2T3p3+T2+T3+Tосp2+pT2T3Tосp4+T2Tос+T3Tос+T2T3p3+T2+T3+Tосp2+kруkоkосT1+1p+kруkоkосПодставим заданные числовые значения
Wεp=0.0000279p4+0.00965p3+0.213p2+p0.0000279p4+0.00965p3+0.213p2+33.4p+72Проверим правильность полученных результатов с помощью Матлаб. Для этого выполним следующие команды.
%передаточные функции звеньев САУ
Wru=tf([4.05 9],[0.06 1]);
Wo=tf([4],[0.15 1 0]);
Wos=tf([2],[0.0031 1]);
%ПФ разомкнутой системы
%последовательное соединение
Wraz=series(Wru, series(Wo, Wos))
%ПФ замкнутой системы по управлению
Wy=feedback(series(Wru, Wo), Wos)
%ПФ замкнутой системы по ошибке
We=feedback(1, series(Wru, series(Wo, Wos)))
Результат выполнения
Wraz =
32.4 s + 72
--------------------------------------------
2.79e-05 s^4 + 0.009651 s^3 + 0.2131 s^2 + s
Continuous-time transfer function.
Wy =
0.05022 s^2 + 16.31 s + 36
------------------------------------------------------
2.79e-05 s^4 + 0.009651 s^3 + 0.2131 s^2 + 33.4 s + 72
Continuous-time transfer function.
We =
2.79e-05 s^4 + 0.009651 s^3 + 0.2131 s^2 + s
------------------------------------------------------
2.79e-05 s^4 + 0.009651 s^3 + 0.2131 s^2 + 33.4 s + 72
Continuous-time transfer function.
Результаты совпали.
3. Оценка устойчивости замкнутой системы с помощью критерия Рауса-ГурвицаДля оценки устойчивости замкнутой системы с помощью критерия Гурвица воспользуемся характеристическим полиномом замкнутой системы
Dp=a0p4+a1p3+a2p2+a3p+a4=0.0000279p4+0.00965p3+0.213p2+33.4p+72=0Необходимое условие устойчивости – все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля – выполняется.
Составим матрицу Гурвица.
a1a300a0a2a400a1a300a0a2a4=0.0096533.4000.00002790.21372000.0096533.4000.00002790.21372Для того, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы Гурвица были положительны при условии a0>0.
∆1=a1=0.00965>0;∆2=a1a3a0a2=0.0096533.40.00002790.213=0.00112>0;∆3=a1a30a0a2a40a1a3=0.0096533.400.00002790.2137200.0096533.4=0.0309>0;∆4=a1a300a0a2a400a1a300a0a2a4=0.0096533.4000.00002790.21372000.0096533.4000.00002790.21372=2.22>0.Все главные диагональные миноры матрицы Гурвица положительны, достаточное условие выполняется.
Таким образом, замкнутая система устойчива.
4. Оценка устойчивости замкнутой системы с помощью критерия МихайловаПреобразуем характеристическое уравнение системы в комплексное, заменив p на комплексную переменную j
Djω=0.0000279jω4+0.00965jω3+0.213jω2+33.4jω+72=Pω+jQωгде Pω=0.0000279ω4-0.213ω2+72 - вещественная функция Михайлова;
Qω=-0.00965ω3+33.4ω - мнимая функция Михайлова.
Изменяя значение частоты от нуля до строим на комплексной плоскости кривую Михайлова как график функции Qω=fPω. Для построения кривой Михайлова составим программу в системе MATLAB (рисунок 2):
%Построение кривой Михайлова
w=0:0.1:100;
p=0.0000279* w.^4-0.213*w.^2+72;
q=33.4*w-0.00965*w.^3;
plot(p,q), grid
xlabel('P')
ylabel('Q')

Рис. 2. Кривая Михайлова
Согласно критерию Михайлова САР устойчива, т.к. кривая Михайлова при изменении от нуля до , начинаясь на вещественной положительной полуоси, обходит против часовой стрелки последовательно четыре квадранта координатной плоскости.
5. Оценка устойчивости системы с помощью критерия НайквистаДля оценки устойчивости по критерию Найквиста используем передаточную функцию разомкнутой системы.
Wразp=32.4p+720.0000279p4+0.00965p3+0.213p2+p.Построим АФЧХ разомкнутой системы (рисунок 3):
%передаточные функции звеньев САУ
Wru=tf([4.05 9],[0.06 1]);
Wo=tf([4],[0.15 1 0]);
Wos=tf([2],[0.0031 1]);
%ПФ разомкнутой системы
%последовательное соединение
Wraz=series(Wru, series(Wo, Wos));
nyquist(Wraz)

Рис. 3. АФЧХ разомкнутой системы.
В соответствии с критерием Найквиста замкнутая система устойчива, так как АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1;j0).
6. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики разомкнутой системыДля построения ЛЧХ используем передаточную функцию разомкнутой системы.
Wразp=32.4p+720.0000279p4+0.00965p3+0.213p2+p.Построим АФЧХ разомкнутой системы (рисунок 4):
%передаточные функции звеньев САУ
Wru=tf([4.05 9],[0.06 1]);
Wo=tf([4],[0.15 1 0]);
Wos=tf([2],[0.0031 1]);
%ПФ разомкнутой системы
%последовательное соединение
Wraz=series(Wru, series(Wo, Wos));
bode(Wraz)

Рис. 4. Логарифмические частотные характеристики.
Замкнутая система устойчива, так как ЛАЧХ пресекает отметку 0 дБ «раньше», чем ЛФЧХ пересекает отметку -180.
Запас по амплитуде составляет L = 6,1 дБ, запас по фазе  = 10,1.
7. АФЧХ и АЧХ замкнутой системы, частотные показатели качестваОпределим коэффициент передачи системы по ПФ разомкнутой системы
Wразp=kруkоkосT1p+1pT2p+1T3p+1Tосp+1=KрсT1p+1pT2p+1T3p+1Tосp+1.Kрс=kруkоkос=72.и найдем критический коэффициент усиления из запаса устойчивости по амплитуде, определенного в п.6.
Kкрс=Kрс∙10∆L20=72∙106.120=145.3.Построим АФЧХ замкнутой системы (рисунок 5):
%передаточные функции звеньев САУ
Wru=tf([4.05 9],[0.06 1]);
Wo=tf([4],[0.15 1 0]);
Wos=tf([2],[0.0031 1]);
%ПФ замкнутой системы по управлению
Wy=feedback(series(Wru, Wo), Wos)
nyquist(Wy)

Рис. 5. АФЧХ замкнутой системы.
Построим АЧХ замкнутой системы (рисунок 6):
%передаточные функции звеньев САУ
Wru=tf([4.05 9],[0.06 1]);
Wo=tf([4],[0.15 1 0]);
Wos=tf([2],[0.0031 1]);
%ПФ замкнутой системы по управлению
Wy=feedback(series(Wru, Wo), Wos)
bode(Wy)

Рис. 6. АЧХ замкнутой системы.
Найдем частотные показатели:
1) полоса пропускания – диапазон частот, в котором АЧХ больше или равна единице – от 42.9 рад/с до 71,9 рад/с.
2) резонансная частота – частота, соответствующая максимуму АЧХ замкнутой системы, эта частота характеризует частоту колебаний в переходном процессе – 59,1 рад/с.
3) показатель колебательности М – отношение максимального значения АЧХ замкнутой системы к начальному значению. M=2.93/0.5=5.86.
8. Полюса и нули замкнутой системы, корневые показатели качества.Определим нули и полюса замкнутой системы.
Wru=tf([4.05 9],[0.06 1]);
Wo=tf([4],[0.15 1 0]);
Wos=tf([2],[0.0031 1]);
%ПФ замкнутой системы по управлению
Wy=feedback(series(Wru, Wo), Wos);
[p,z]=pzmap(Wy)
pzmap(Wy)
p =
1.0e+02 *
-3.3371 + 0.0000i
-0.0501 + 0.5931i
-0.0501 - 0.5931i
-0.0218 + 0.0000i
z =
-322.5806
-2.2222

Рис. 7. Распределение нулей и полюсов.
Определим корневые показатели качества.
Степень устойчивости – расстояние от мнимой оси до ближайшего корня. η=2,18.
Степень колебательности – отношение мнимой части ближайшего комплексного корня к вещественной.
μ=59.35.01=11.84.9. Переходная характеристика системы, прямые показатели качества, функция весаПостроим переходную характеристику (рисунок 8):
Wru=tf([4.05 9],[0.06 1]);
Wo=tf([4],[0.15 1 0]);
Wos=tf([2],[0.0031 1]);
%ПФ замкнутой системы по управлению
Wy=feedback(series(Wru, Wo), Wos);
step(Wy)

Рис. 8. Переходная характеристика.
Прямые показатели качества.
установившееся значение – 0,5.
время первого максимума – 0,0528 с.
перерегулирование – 73,8%.
степень затухания ψ=1-0,715/0,869=0,177.
время переходного процесса – 0,545 с.
Построим импульсную характеристику (рисунок 9):
Wru=tf([4.05 9],[0.06 1]);
Wo=tf([4],[0.15 1 0]);
Wos=tf([2],[0.0031 1]);
%ПФ замкнутой системы по управлению
Wy=feedback(series(Wru, Wo), Wos);
impulse(Wy)

Рис. 9. Импульсная характеристика.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе проделанной работы заданная система автоматического управления была исследована на устойчивость. Построены частотные и временные характеристики, определены косвенные и прямые показатели качества регулирования.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫБесекерский В.А., Попов Е.И. Теория систем автоматического управления / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – Изд. 4-е, перераб. и доп. – СПб.: Изд-во «Профессия», 2003. – 752 с.
Макаров И. М., Менский Б. М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал). — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение, 1982. — 504 c.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Получение передаточных функций%передаточные функции звеньев САУ
Wru=tf([4.05 9],[0.06 1]);
Wo=tf([4],[0.15 1 0]);
Wos=tf([2],[0.0031 1]);
%ПФ разомкнутой системы
%последовательное соединение
Wraz=series(Wru, series(Wo, Wos))
%ПФ замкнутой системы по управлению
Wy=feedback(series(Wru, Wo), Wos)
%ПФ замкнутой системы по ошибке
We=feedback(1, series(Wru, series(Wo, Wos)))
Приложение 2. Построение кривой Михайлова%Построение кривой Михайлова
w=0:0.1:100;
p=0.0000279* w.^4-0.213*w.^2+72;
q=33.4*w-0.00965*w.^3;
plot(p,q), grid
xlabel('P')
ylabel('Q')
Приложение 3. Построение годографа Найквиста%передаточные функции звеньев САУ
Wru=tf([4.05 9],[0.06 1]);
Wo=tf([4],[0.15 1 0]);
Wos=tf([2],[0.0031 1]);
%ПФ разомкнутой системы
%последовательное соединение
Wraz=series(Wru, series(Wo, Wos));
nyquist(Wraz)
Приложение 4. Построение логарифмических характеристик%передаточные функции звеньев САУ
Wru=tf([4.05 9],[0.06 1]);
Wo=tf([4],[0.15 1 0]);
Wos=tf([2],[0.0031 1]);
%ПФ разомкнутой системы
%последовательное соединение
Wraz=series(Wru, series(Wo, Wos));
bode(Wraz)