Составление системы 3-го порядка из типовых звеньев

 АВТОМАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА, ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ, КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕДАЧИ, УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ. Цель работы – записать передаточные функции замкнутой и разомкнутой систем, для заданной динамической системы определить временные и частотные характеристики, найти полюса и нули системы, определить устойчивость системы.СодержаниеВведение41. Составление системы 3-го порядка из типовых звеньев52. Составление для заданной системы дифференциального уравнения и передаточной функции. Синтез данных аналитических выражений для ее АЧХ и ФЧХ63. Построение переходной, импульсной, АЧХ и ФЧХ характеристик в MATLAB64. Нахождение нулей и полюсов системы75. Определение устойчивости системы по критериям Найквиста, Гурвица, Михайлова75.1 Определение устойчивости по критерию Найквиста85.2 Определение устойчивости по критерию Гурвица85.3 Определение устойчивости по критерию Михайлова96. Разработка Simulink-модели заданной системы управления107. Определение оптимальных параметров настройки ПИД-регулятора128. Заключение149. Список использованных источников1510. Приложение А16ВведениеВ нашу жизнь прочно вошли автоматические системы управления. Данные системы могут использоваться в различных областях жизни и деятельности человека. Виды их соответствуют основным классификационным признакам. В данной курсовой работе мы проектируем автоматическую систему, состоящую из последовательно соединенных звеньев, строим ее основные характеристики, решаем вопрос об устойчивости данной системы.1. Составление системы 3-го порядка из типовых звеньевПередаточная функция системы имеет вид:W0=Ki=13(Tip+1),Ti=T/i, где i=1, 2, 3Т=60, К=7.Тогда получим:W0p=760p+130p+120p+1Мы составили автоматическую систему 3-го порядка.Рисунок 1 – Система 3-го порядка2 Составление для заданной системы дифференциального уравнения и передаточной функции. Синтез данных аналитических выражений для ее АЧХ и ФЧХ Получим передаточную функцию для разомкнутой системы: Wразp=W0p=760p+130p+120p+1=736000p3+3600p2+110p+1Запишем передаточную функцию замкнутой системы:Wзp=Wраз(p)1+Wразp =736000p3+3600p2+110p+11+736000p3+3600p2+110p+1 =736000p3+3600p2+110p+8Посчитаем значение коэффициентов:a0=36000 a1=3600 a2=110 a3=8Составим дифференциальное уравнение для заданной системы: Синтезируем выражения для АЧХ и ФЧХ: Для АЧХ: K(jω)= 760jω+130jω+120jω+1Aω=73600ω2+1900ω2+1400ω2+1Для ФЧХ: φω=-arctg60ω-arctg30ω-arctg20ω3 Построение переходной, импульсной, АЧХ и ФЧХ характеристик в MATLABПостроенные характеристики приведены в приложении А 4 Нахождение нулей и полюсов системы Рассмотрим передаточную функцию для замкнутой системы: Wзp =736000p3+3600p2+110p+8Так как числитель данной функции является целым числом, это значит, что нулей у данной функции нет. Найдем полюса в данной системе, для этого найдем корни характеристического уравнения, т.е. знаменателя передаточной функции:36000p3+3600p2+110p+8=0Корни данного уравнения: p1=-0.0929 p2,3=-0.0036±0.0488jОтобразим вычисленные полюса на комплексной плоскости, изображенной на рисунке 2: Рисунок 2 – Корни на комплексной плоскости5 Определение устойчивости системы по критериям Найквиста, Гурвица, Михайлова 5.1 Устойчивость по критерию Найквиста Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ не охватывала точку с координатами {-1, j0}. Условия границы устойчивости по критерию Найквиста: При K=Kmax вектор Wjωгр=-1+j0Wjωгр=KMAX36000(jωгр)3+3600(jωгр)2+110(jωгр)+1=-1+j0Выразим отсюда Kmax: KMAX= -36000jωгр3+3600jωгр2+110jωгр+1KMAX= --36000jωгр3-3600ωгр2+110jωгр+1KMAX=36000jωгр3+3600ωгр2-110jωгр-1Сгруппируем члены с мнимой частью: KMAX=3600ωгр2-1+j36000ωгр3-110ωгр (1)Рассмотрим отдельно мнимую часть, которая равна 0: 36000ωгр3-110ωгр=0В результате преобразования, получим: ωгр2=11036000=0.0031Подставим в выражение (1) , получим: KMAX=3600∙0.0031-1=10Заданный коэффициент передачи меньше максимального, значит, данная система устойчива. 5.2 Устойчивость по критерию Гурвица Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица. Необходимые условия границы устойчивости: Составим определитель Гурвица: a1a30a0a200a1a3=360010360001100036001Рассмотрим условие (3):a3max =KMAX+1=3600∙11036000=11KMAX=11-1=10Найденный коэффициент передачи больше заданного, значит, система устойчива. 5.3 Устойчивость по критерию Михайлова Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ∞ начинался на вещественной оси в точке К и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не обращаясь в нуль и стремясь к ∞ в n-м квадранте. Условием границы устойчивости является обращение в нуль годографа Михайлова при некотором значении частоты. Заменим p jw: Сгруппируем слагаемые с вещественной и мнимой составляющими: Из выражения (5) выразим : ωгр2=11036000=0.0031Найдем значение а3max a3max =a1ωгр2=3600∙0.0031=11.16KMAX=11-1=10.16Найденный коэффициент передачи больше заданного, значит, система устойчива. Итак, мы оценили устойчивость данной системы по трем критериям, по каждому из критериев данная система устойчива.6. Разработка Simulink-модели заданной системы управления Для создания новой Simulink-модели необходимо в окне Matlab на панели управления нажать File ->New-> Model. Используя Library Browser. На рисунке 3 представлена Simulink-модель замкнутой системы управления. На вход подается единичное ступенчатое воздействие, на выход вешается осциллограф. Рисунок 3 – Simulink-модель системыРеакция системы на единичное ступенчатое воздействие представлена на рисунке 4. Рисунок 4 – Переходная функция системы управления7. Определение оптимальных параметров настройки ПИД-регулятораК структурной схеме на рисунке 3 добавим ПИД-регулятор. На рисунке 5 представлена система управления с ПИД регулятором, который имеет следующую передаточную функцию Рисунок 5 – Smulink-модель с ПИД-регуляторомДля настройки регулятора необходимо нажать кнопку «Tune…». Появится окно с улучшенной переходной характеристикой, представленной на рисунке 6. Рисунок 6 – Полученная переходная характеристикаС помощью ПИД-регулятора убрали статическую ошибку, время переходного процесса уменьшилось до 190 сек. Перерегулирование составляет 5,3%. ЗаключениеВ результате выполнения курсовой работы была составлена система 3-го порядка (n=3) из типовых звеньев, записано для заданной системы дифференциальное уравнение и передаточную функцию, синтезировано аналитические выражения для ее АЧХ и ФЧХ. С использованием программного средства Matlab построены переходная, АЧХ и ФЧХ характеристики. Найдены и записаны нули и полюса системы и отображены на координатной плоскости. Оценена устойчивость системы с использованием критериев Гурвица, Найквиста и Михайлова. Была произведена разработка Simulink-модели заданной системы управления и определены оптимальных параметров настройки ПИД-регулятора. Список использованных источников1. Бессекерский В.А.,Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования / - Бессекерский В.А.,Попов Е.П. – М.: Наука, 1975 2. Пупков К.А., Егупов Н.Д., Баркин А.И. и др. Методы классической и современной теории автоматического управления. В 5 томах. Том 1. Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления. - М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004 г. – 656 с. 3. Семенов, А.Д. Основы теории управления и идентификации в технических системах. Книга 1. Гриф УМО АМ / А.Д. Семенов, М.А. Щербаков Пенза: Изд-во ПГУ, 2012. – 125 с.Приложение А(обязательное)Построение переходной, импульсной АЧХ и ФЧХ характеристик в среде программирования MATLABТекст программы на языке программирования MATLAB: W = idtf(7, [36000 3600 110 8]);figure(1);step(W);grid on;figure(2);impulse(W);grid on;Построение переходной и импульсной характеристик Построенные характеристики: Рисунок А.1 Переходная характеристикаРисунок А.2 Импульсная характеристикаПостроение логарифмических и амплитудно-фазовых частотных характеристик W = idtf(7, [36000 3600 110 1]);figure(3);bode(W);grid on;figure(4);nyquist(W);grid on;Рисунок А.3 Логарифмические характеристикиРисунок А.4 Амплитудная фазово-частотная характеристикаW2 = feedback(W, 1);figure(5);nyquist(W2);grid on;Рисунок А.5 Годограф Найквиста замкнутой системы