Арифметическая прогрессия

СОДЕРЖАНИЕВВЕДЕНИЕ31 ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ: ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ51.1 О числовых последовательностях 51.2 Арифметические прогрессии в древности.72 ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В РАЗЛИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ ЗНАНИЙ102.1 Задачи с практическим содержанием из учебников по алгебре102.2 Последовательности: путешествие в глубь веков152.3 Прогрессии в природе, в разных отраслях науки, в промышленности, в сельском хозяйстве, в банковских расчетах, в исторических задачах17ЗАКЛЮЧЕНИЕ23СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ24ПРИЛОЖЕНИЯ25ВВЕДЕНИЕНа уроках алгебры 9 класса изучается тема: «Арифметическая прогрессия».   Важность этого небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он применяется в заданиях экзамена ОГЭ и ЕГЭ, в задачах банковского содержания. Поэтому нам кажется, важным повторить уже известный из школьного курса материал о прогрессиях и узнать много нового и интересного.  Изучая математику внимательнее, мы замечаем, что рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. А в каких жизненных ситуациях можно применить знания о прогрессиях и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие?  Можно ли увидеть  прогрессию в природе, экономике и других областях жизни человека? Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?  С учетом этого нами была выбрана тема научно-исследовательской работы: «Арифметическая прогрессия в окружающей нас жизни».В своей работе мы подтвердим или опровергнем утверждение того, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.Проблемный вопрос: действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?Объект исследования: последовательности: арифметическая прогрессияПредмет исследования: практическое применение арифметической прогрессии.Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.Задачи исследования:Изучить:наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности – прогрессии;какие ученые внесли большой вклад в развитие практических и теоретических знаний по изучаемой проблеме.Гипотеза исследования: на уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.Методы исследования:Анализ школьных учебников математики, математической справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета.Обобщение найденных фактов в учебниках по биологии и по экологии и медицинских справочниках.Структура исследования:Провести анализ исторического экскурса для установления авторства теории о прогрессиях;Привести примеры применения прогрессий в различных областях знаний.1 ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ: ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ1.1.О числовых последовательностях [2]Числовые последовательности теперь считаются частными случаями функции. Числовая последовательность является функцией натурального аргумента. (Так, например, арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента). Понятие числовой последовательности появилось и развивалось задолго до того, как была разработана теория функций. Вот несколько примеров бесконечной последовательности чисел, известных в древности:1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность натуральных чисел.2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных чисел.1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел.1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел.2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел.1, , , , ,… - последовательность чисел обратных натуральным.Количество членов в каждом из этих рядов бесконечно; Первые пять последовательностей монотонно растут, последняя монотонно убывает. Все перечисленные списки, кроме 5-го места, имеют общий для каждого из них термин, т.е. При условии, что известны правила получения любого количества термов. Общий термин для последовательности медленных чисел неизвестен, но в начале 3 в. до н.э. д. Александрийский ученый Эратосфен продемонстрировал (хотя и весьма утомительный) способ получения его n-члена. Этот метод получил название «Эратосфен».Идея предела последовательности восходит к V—IV вв. до н. э. Прогрессии — частные виды числовых последовательностей — встречаются в памятниках II тысячелетия до н. э.Слово прогрессия латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперёд» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VIвв.), первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать её в одном направлении, например последовательность натуральных чисел, их квадратов и кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестаёт быть общеупотребительным. В XVII веке, например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.Возможно, что древние вавилоняне и другие народы той далёкой эпохи имели некоторые общие приёмы решения задач, которые дошли до нас. Однако об этих приёмах мало что известно.Теоретические сведения связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции.Уже в V в. до н.э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:1+2+3+…+n = ,2+4+6+…+2n = n(n+1),1+3+6+…+(2n+1) = (n+1)2 и др.В «Псаммите» Архимед впервые сопоставляет арифметическую прогрессию1,2,3,4,5,………………..10,102,103,104,105,………….Прогрессии считались продолжением пропорций, поэтому эпитеты арифметики перешли от пропорций к прогрессии.Такой взгляд на прогрессии сохранился и у многих математиков XVII и даже XVIIIв. Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя её пользовались и до него. 12 + 22 +32 + ... + n2 = 1/6n(n+1)(2n+1)Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским учёным. Так, Ариабхатта (Vв.) знал формулы для общего члена, суммы арифметической прогрессии и др., Магавира (IXв) пользовался формулой: 12 + 22 +32 + ... + n2 = 1/6n(n+1)(2n+1). И другими более сложными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. В «Науке о числах» (1484) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и даёт общее правило для суммирования любой бесконечно малой убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII века. [1]1.2 Арифметические прогрессии в древностиВ клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий.Вот одна вавилонская задача, в которой используется арифметическая прогрессия.Задача: «10 братьев, 1 2/3 - мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом - на сколько он выше?»Решение:Итак, 1  мины (мина равна 60 шекелям) серебра требуется разделить между 10 братьями так, чтобы доли братьев составляли арифметическую прогрессию. Требуется найти разность прогрессии, зная, что восьмой брат получает 6 шекелей.Вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни современной символики, ни готовых формул, вынужден придерживаться строго арифметических рассуждений. Идея его решения следующая. Он начинает с нахождения средней арифметической (средней доли), деля 1  мины на 10 и получая  мины, ее умножает затем на два. Итак, удвоенная средняя доля есть  мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет  мины. Отсюда и находится значение одной ступени, т. е. разность прогрессии, от  мины, или +  мины.А вот египетская задача из папируса Ахмеса.Задача: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна  меры».При решении этой и других аналогичных задач египтяне, видимо, пользовались правилом, которое можно записать в современной символике так: .Оно эквивалентно нашей формуле  ∙ n.Происхождение этого правила не установлено: оно может быть эмпирическим.Задачи на арифметические (и геометрические) прогрессии также встречаются в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах», но в нем нет указаний по использованию какой-либо формулы суммирования.Первые прогрессивные проблемы, с которыми мы столкнулись, связаны с требованиями экономической жизни и социальной практики, такими как распределение продуктов, распределение наследства и другие.2 ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В РАЗНЫХ ОБЛАСТЯХ ЗНАНИЙ2.1 Задачи с практическим содержанием из учебников по алгебреЗадача №1«В соревнованиях по стрельбе стрелок получал штрафные баллы за каждый проход в серии из 25 выстрелов: за первый проход - один штрафной балл, за каждый последующий проход - на 0,5 балла больше предыдущего. Сколько раз стрелок попал в цель с 7 штрафными очками?»Решение:Создадим математическую модель задачи. Система штрафных очков представляет собой арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, разница равна 0,5 Сумма первых n членов (количество передач) 7. Найдите количество передач. щОтвет: Число промахов 4, в цель стрелок попал 21 раз.Задача №2«Больной принимает препарат по следующей схеме: в первый день 5 капель, а каждый последующий день - на 5 капель больше, чем раньше. Принимать по 40 капель, принимать по 40 капель в течение 3 дней, затем уменьшить до 5 капель в день и увеличить до 5 капель. Если в каждой содержится 20 мл лекарства (250 капель), сколько флаконов должен купить пациент?» Решение:Составим математическую модель задачи: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 ап=а1+d(n-1), 40=5+5(п-1), п=8, Sп=((a1+aп)n)/2,S8 =(5+40)·8:2=180, 180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.Ответ: 2.Задача №3«Улитка ползает по дереву. В первую минуту он прополз 30 см, а в каждую последующую минуту прополз на 5 см больше, чем раньше. Если предположить, что движение начинается снизу, сколько времени потребуется улитке, чтобы достичь вершины дерева длиной 5,25 м??»Решение:a1 =30, d=5, Sn= 525, n0. Sn= (2a1+ d (n-1))n:2; 525= (2·30+ 5 (n-1))n:2; 1050= (60+ 5 (n-1))n; 1050= 55 n + 5n2; n2 +11 n -210=0, n1=-21, n2=10 (n0). Улика достигнет вершины за 10 дней.Ответ: 10.Задача №4«В первый день восхождения альпинисты преодолели 1400 метров, а на следующий день поднялись на 100 метров меньше, чем раньше. За сколько дней они покоряли высоту 5000 м.?»Решение:Составим математическую модель задачи: 1400, 1300, …, 1400-100(n-1). a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.Sn= (2a1+ d (n-1))n:2;5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2; Условию задачи удовлетворяет10000= (2800-100 n+100) n; n=4 ( при n=25 аn=-1000, но аn0)10000= (2900-100 n) n; Значит, альпинисты покорили100 n2-2900 n+10000=0; высоту за 4 дня.n2-29 n+100=0; n=25, n=4.Ответ: за 4 дня.Задача №5«За изготовление и монтаж нижнего железобетонного кольца скважины уплачено 26 условных единиц а за каждое последующее кольцо по 2 у.е. д) меньше, чем раньше. Кроме того, по завершению было выплачено еще 40 долларов. Средняя стоимость изготовления и установки кольца получилась 22 и 4/9 у.е. е.. Сколько колец установлено?» Решение:а1=26, d=-2. 9n2-41n-360=0,n1=9, , n - целое число.Было изготовлено и установлено 9 колец.Ответ:9Задача №6«При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?»  Решение:1, 2, 3, 4,…,12. Это арифметическая прогрессия, а1=1, d=1,аn=12. Надо найти n.аn=a1+d(n-1); 12=1+1(n-1); n=12. Sn=(a1+an)∙n:2; Sn=(1+12)·12:2; Sn=78.В одной кладке находится 78 бревен.Ответ: 78 бревен.2.2.Последовательности: путешествие в глубь веков.Как Архимед вычислил площадь круга?Сначала Архимед начертил внутри круга шестиугольник, а затем построил с каждой стороны по равностороннему треугольнику — двусторонний треугольник. Постепенно удваивая количество партий, Архимед набрал 24 гонга, 48 гонгов и, наконец, 96 гонгов. Построенные полигоны как бы все больше и больше закрывают площадь круга, постепенно «утомляя» его. Кстати, этот способ нахождения площади круга был написан в современных учебниках геометрии спустя 2200 лет после смерти Архимеда.В ходе своих исследований Архимед нашел сумму бесконечных геометрических прогрессий, делящихся на 1/4, что явилось первым примером образования бесконечных рядов в математике...В “Исчислении песчинок” Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии, устанавливает между ними связь:1, 2, 3, 4, 5, …10, 102, 103, 104, 105, …и указывает на связь между ними, например:103·105=103+5=108,т.е. для умножения двух членов геометрической прогрессии достаточно сложить соответствующие члены арифметической прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10.Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя ею пользовались и до него: Пифагор и последовательностиПифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках, они получали:- последовательность (ап) треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15, ... ;- последовательность (bп) квадратных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ... ;- последовательность (сп) пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22, 35, ...В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры.    Последовательность (bп) квадратных чисел аналогичным способом получается из последовательности нечетных чисел 1, 3, 5, ... , т. е. из арифметической прогрессии, первый член которой равен 1 и разность равна 2:b1= 1, b2 = 1 + 3, bз = 1 + 3 + 5, …, bn = 1 + 3 + 5 + ... + 2п- 1.Следовательно, bn =(1+2n-1):2·n; bn=n2 . Мы пришли к формуле, очевидной для последовательности квадратных чисел.Последовательность Фиббоначи: Задача Фибоначчи: «Кто-то поместил пару кроликов в определенное место, окруженное со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов рождается в год. Одна пара крольчат через месяц рожает другую пару, а крольчиха рождается со второго месяца после рождения.» Решение:Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц- 1+1=2; на 4-й- 2+1=3 пары(так как из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц- 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц- 5+3=8 пар (так как потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д. Чтобы ответить на вопрос задачи, воспользуемся следующей схемой. Кружочек — это пара кроликов. Стрелка, направленная вниз, указывает на эту же пару в следующем месяце; а стрелка, направленная вправо, указывает на появившееся потомство этой пары.Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.,Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n- м месяце через Uk , то u1=1, u2=1, u3=2, u4=3, u5=5, u6=8, u7=13, u8=21 и т. д., причем образование этих чисел регулируется общим законом:un =un-1 + un-2 при всех n 2, ведь число пар кроликов на n-1 м месяце равно числу n-2 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом un-2 пар кроликов, родившихся на n-2 ом месяце (так как лишь эти пары кроликов дают потомство).Суть последовательности Фибоначчи в том, что начиная с третьей цифры каждая последующая цифра получается путем сложения двух предыдущих цифр.Один из вопросов, решаемых Фибоначчи, называется «проблемой поиска наилучшей системы весов для взвешивания на весах» или просто «проблемой весов». В русской историко-математической литературе «проблема веса» называется «проблемой Баше-Менделеева» по имени французского математика XVII века. Баше де Мезиряк, поднявший этот вопрос в своем «Сборнике приятных и занимательных задач» (1612 г.), и известный русский химик Дмитрий Иванович Менделеев, который интересовался этим вопросом, когда был директором Генеральной палаты мер и весов России. «Другой вопрос интересен своей исторической связью и называется проблемой семи старух. Старухи отправляются в Рим, где у каждого мула по 7 мулов, у каждого мула по 7 мешков, в каждом мешке по 7 буханок хлеба, в каждой буханке по 7 ножей, а у каждого ножа по 7 кусков хлеба. Каково общее количество всего вышеперечисленного? Интересно, что исторически эта задача аналогична найденной в папирусе Ринда (Египет), другими словами, через три тысячи лет после египетских школьников решить задачу предложили итальянские школьники.Решение:7, 49, 343, 2401, 16807, 117649 –это геометрическая прогрессия, первый член b1= 7 и знаменатель прогрессии q=7. bn= b1 q n-1. b6= 7 ·76-1= 7 ·75= 76= 117649. Sn =(b1(q n -1))/(q-1); S6 = (7(7 6 -1))/(7-1) = (7(117649 -1))/6=7 ·117648:6=137256.Древняя индийская легендаЦарь древней Индии Шерам пригласил к себе изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы награду хотел бы он получить за изобретение столь мудрой игры. Тогда Сета попросил царя на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4, на четвертую – 8 и т.д., т.е. на каждую клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку. Поначалу царь удивился столь “скромному” запросу изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу. Однако, как выяснилось, казна царя оказалось слишком“ничтожной” для выполнения этой просьбы.S64=264-1=184467440737045516152.3 Прогрессии в природе в разных отраслях науки, в промышленности, в сельском хозяйстве, в банковских расчетах, в исторических задачахВсе организмы размножаются экспоненциальноИнфузория…Летом ресницы делятся надвое и размножаются бесполым путем. Вопрос: Сколько ресниц будет после 15-го флага?Численность вида растет в геометрической прогрессии, если нет ограничений;Кривая роста разных видов без ограничений называется экспоненциальной.бактерииИзвестно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь делится на две и получается четыре бактерии; В результате деления этих четырех получается восемь бактерий и так далее. Результат каждого удвоения называется поколением.Способность бактерий к размножению настолько велика, что они не погибают по разным причинам, а продолжают размножаться, и за три дня общая масса бактериального семени достигает 7500 т. Такая крупная бактерия могла заполнить до 375 железнодорожных вагонов.Назначение«Бактерии попадают в живой организм и делятся на две бактерии в конце 20-й минуты, а в конце следующих 20 минут каждая из них снова делится на две и так далее. Найдите количество бактерий, образованных одной бактерией в конце дня.РешениеВ сутках 1440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q=2, n=72, находим, что S72=272-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1 = 4 722 366 482 869 645 213 695.Интенсивность размножения бактерий используют…В пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.)В фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин)В сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.)В коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятияхМухи…Девятое поколение пары мух заполнит куб со стороной 140 км или нить, опоясавшую Землю 40 миллиардов раз.Мой папа…«За 10 лет семя одуванчика может покрыть площадь, в 15 раз превышающую размер земного шара». К.А. ТимирязевТля…Всего за пять поколений, то есть от 1 до 1,5 летних месяцев, паразит может отложить более 300 миллионов потомков, а за год его потомство может покрыть земную поверхность слоем толщиной почти в 1 метр.Воробьи…Потомство пары воробьев размером с воробья может прожить четыре года и покрыть всю землю за 35 лет.В каких еще процессах проявляются такие закономерности?• Деление ядер урана осуществляется нейронами. Нейтрон, попавший в ядро ​​урана, расщепляет его пополам. Эти два нейтрона испускаются. Затем два нейтрона касаются двух ядер, расщепляя их еще на четыре части, и так далее. представляет собой геометрическую прогрессию.• При экспоненциальном увеличении температуры скорость химической реакции увеличивается экспоненциально.• Строительство многоэтажного дома является примером арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.• Треугольники, нарисованные друг на друге, представляют собой геометрические прогрессии.• Процентные депозиты наличными являются примером геометрической последовательности. Вы можете знать формулы суммы членов геометрической прогрессии и рассчитать сумму по депозиту.• Плавное ускоренное движение — потому что это арифметическая прогрессия. Увеличивает скорость тела на одинаковую величину за каждый временной интервал.Вероятность включения некоторых видов в Красную книгу основана на положении кривой годового урожая. Зубр, тигр и русская ондатра занесены в Красную книгу. Примером вида, не занесенного в Красную книгу, является кролик.Прогресс и банковские расчетыПредставьте, что вы открыли в банке вклад в размере р. т под р% в год в течение всего года. У вас есть две поведенческие стратегии: либо получать проценты по вкладу в конце каждого года хранения вклада, т.е. Получили прибыль, либо пришли в банк один раз - в конце срока вклада. Как заработать в обоих случаях?В первом случае при t = 1 вы получите (а + )р., приt = 2 ваша итоговая сумма составит (а + )р., при t = 3(а + )р. и т. д. Математическая модель ситуации — конечнаяарифметическая прогрессия а, а + , а + ,а + …, а + .Итак, при первой стратегии поведения за t лет вы получите)а(1 + )— это так называемая формула простых процентов Если вы решили прийти в банк только в конце срока хранения вклада, то при t = 1 получаемая сумма составит, как и в первом случае, (а + )р., т. е. а (1 + )р.; сумма вклада увеличится в (1 + )раз.Во столько же раз она увеличится и к концу второго года хранения, и к концу третьего года хранения и т. д.Прогрессии в литературе«…Не мог он ямба от хореяКак мы не бились отличить…». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.Ямб – это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8;…Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечетные слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7;..Примеры.Ямб. «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…», прогрессия 2; 4; 6; 8;…Хорей. «Я пропАл, как звЕрь в загОне»Б.Л.Пастернак, «БУря  мглОю  нЕбо  крОет» А.С. Пушкин, прогрессия 1; 3; 5;7;Это задача из «Сборника старинных занимательных задач по математике» Игнатьева Е.И.Однажды богатый человек заключил договор с человеком, который должен был приносить по 100 тысяч рублей в день в течение месяца, что казалось ему подобающим, и в первый день месяца богач должен был заплатить 1 сом. копеек, во втором - 2 тыйына, в третьем - 4 тыйына, в четвертом - 8 тыйына. В течение 30 дней и т. д. Сколько денег получил богатый человек и сколько отдал? Кто выиграл от этого соглашения?Рассмотрим «человека» и «торговца».“Мужик” заплатил: S30 = 100 000• 30 = 3 000 000 (рублей).“Купец” заплатил: 1; 2; 4;… q=2/1=2.S30 =1• (230 – 1):(2-1)= 2 30 -1= =1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 (коп.) т.е. 10 738 418 руб.23копЗадачи из «Арифметики» Л.Ф.МагницкогоКупец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.Решениеа14=а1+13d,a1=59-13·4=7,S14=(7+59)/2·14=462.Ответ: все чарки весят 462 лата.Волшебное дерево…Волшебное дерево, первоначальная высота которого 1 м, каждый день увеличивает свою высоту в 2 раза. При этом через 36 дней оно “достанет” до Луны. Значит, высота дерева на 36 день – 236м.Если бы его высота в начальный момент времени была 8м, то 8·2n=236; 23·2n =236; 2n =236; n=33.Через 33 дня дерево достало бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была 8 м.ЗадачаДва тела движутся навстречу одно другому из двух мест, находящихся в расстоянии 153 футов. Первое проходит по 10 футов в секунду, а второе в первую секунду прошло 3 фута и в каждую следующую секунду проходит 5-ю футами больше, чем в предыдущую, Через сколько секунд тела  встретятся?Решение:Второе тело пройдет за n секSn=(2a1+d(n-1))∙n:2=(2·3+5 ·(n-1))∙n:2= =(1+5n)∙n:2 (фут), а первое тело - 10n фут,((1+5n)∙n:2+ 10n) фут – расстояние между телами в начальный момент, по условию оно равно 153 футам. (1+5n)∙n:2+ 10n=153. n=6, n=-10,2. Так как n0, то n=6.Значит, тела встретятся через 6 секунд.ЗАКЛЮЧЕНИЕВ ходе этого исследования мы выяснили, что сами прогрессии известны настолько давно, что невозможно сказать, кто их открыл. Как и многие другие математические дисциплины, мы убеждены, что задачи прогресса с древних времен связаны с требованиями экономической жизни: распределение продуктов, распределение наследия и т. д. В развитие теории прогрессии внесли свой вклад ученый Архимед, Пифагор и его ученики, французский математик Леонард Фибоначчи. Мы нашли много задач на арифметические и геометрические прогрессии в старых и современных учебниках по математике. Мы обнаружили, что арифметические прогрессии встречаются в практических задачах чаще, чем геометрические. Анализируя задачи прогресса на практике, мы увидели, что прогресс происходит при решении проблем в медицине, строительстве, банковском деле, дикой природе и других жизненных ситуациях, поэтому нам нужны навыки применения знаний, связанных с прогрессом. .В нашей работе мы подтвердили утверждение о том, что математика — очень древняя наука и что алгебра — часть универсальной культуры, вытекающей из практических потребностей человека.Таким образом, цель проекта — создать картину возникновения понятия прогрессии; узнать интересные факты о прогрессе; Достигнуто применение прогрессии в реальных жизненных ситуациях, проблема решена.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВАксенова М.Д. Энциклопедия для детей Т.11. Математика гл. ред. Аксенова М.Д. – М.: Аванта «+», 1998.Глейзер Г. И. История математики в школе 7 – 8 классы.–М.: Просвещение, 1982.Дорофеев Г.В. , С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; Математика. Алгбра.Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник для общеобразовательных учебных заведений/ под ред. Г.В. Дорофеева. -М.:Дрофа, 2000.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б. Алгебра. 9 класс,Учебник для общеобразовательных учреждений -М.: Просвещение, 2009,Мордкович А.Г., П.В. Семенов , Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений -М.: Мнемозина, 2010.Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика.-М.: Педагогика, 1989http://www.goldenmuseum.com/0206Rabbit_rus.htmlhttp://leon-orr.livejournal.com/1237766.htmlhttp://infourok.ru/urok-s-prezentaciey-po-matematike-na-temu-arifmeticheskaya-i-geometricheskaya-progressiya-448288.htmlhttp://festival.1september.ru/articles/602556/pril3.pptПРИЛОЖЕНИЯ«Приложение1»«Геометрическая прогрессия и геометрия фракталов».ОпределениеФрактал – это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством сходства, иначе говоря, состоящая из нескольких частей, каждая из которых напоминает цельную фигуру.Фрактальные примерыРисунок 1. Рис. 2.Множество Мандельброта - фрактальная форма подвида классического фрактального узора цветной капустыФрактал — геометрическая фигура, бесконечно подобная самой себе, повторяющаяся при уменьшении каждого фрагмента.Фрактал – это набор нецелочисленных измерений, подобных самому себеРазмер фракталовС математической точки зрения размер определяется следующим образом.Для одномерных объектов - увеличение в 2 раза линейных размеров приводит к увеличению размеров (в данном случае длины) в 2 раза, т.е. в 22.Для двухмерных объектов увеличение в 2 раза линейных размеров приводит к увеличению размера (площади) в 4 раза, т.е. в 22.Приведем пример: Дан круг радиуса r, тогда S= π r2.Если увеличить в 2 раза радиус, то: S1 = π(2r2); S1= 4πr2 .Для трехмерных объектов увеличение в 2 раза линейных размеров приводит к увеличению объема в 8 раз, т.е. 23.Если мы возьмем куб, то V=а3, V'=(2а)3=8а; V'/V= 8.Однако природа не всегда подчиняется этим законам. Попробуем рассмотреть размерность фрактальных объектов на простом примере.ПримерПредставьте, что муха хочет сесть на много шерсти. Когда он смотрит вдаль, то видит только одну точку, ее размер равен 0. Когда он подлетает ближе, то сначала видит круг, его размер равен 2, а затем видит объемный шар. Когда муха садится сверху на шарик, она уже не видит шарик, а видит ворсинки, струны, просветы, т.е. объект с размером частиц.Размер объекта (индикатор) указывает на закон роста его внутренностей. Точно так же по мере увеличения размера увеличивается «размер фрактала».Геометрический фрактал «Кривая Коха»Вычислим площадь снежинки Коха (снежинка, полученная кривой Коха)Пусть стороны исходного равностороннего треугольника S0 равны единице.Тогда площадь S0 равна . Площадь  равна+3∙ ∙  ∙  = . Площадь . Площадь Используя формулу для нахождения суммы геометрической прогрессии, получаем ).Геометрический фрактал «Треугольник Серпинского»Рис. 5.Рассчитать площадь треугольника после 10 генераций.Решение:Пусть сторона треугольника равна 32 см.Найдем площадь 10-ого треугольника S10=?Мы знаем формулу для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: b10 = b1∙ q(n-1)q=1/2, значит b10=32∙(1/2)9, b10=1/16.S10=1/2∙ b210∙sinα, =60o, т.к. треугольник равносторонний.S10=1/2∙b210∙ ,S10= см.Ответ: смРассчтиать длину полученного отрезка после 8 генераций (для построения фрактального дерева)Примем длину первоначального отрезка равной 30 см. Зададим угол наклона веток 18o. Рассчитаем длину полученного отрезка после 8 генераций при длине первоначального «ствола» равной 30см. При моделировании данного дерева длина каждого последующего отрезка равна 1/3 длины предыдущего. На 8 шаге имеем: