Частичная проблема собственных значений (нахождение минимального и максимального собственного значения)

Содержание

Введение……………………………………………………………

Глава I. Теоретические основы «степенного метода»

§1. Основные понятия, определения и теоремы

§2. Описание «степенного метода»

§3. Нахождение максимального по модулю собственного значения

§4. Нахождение минимального по модулю собственного значения

Глава II. Программная реализация «степенного метода»

§1. Описание макроса, реализующего степенной метод

§2. Пример для матрицы размерности 3⤬3

§3. Пример для матрицы размерности 4⤬4

Заключение.

Выводы и значение проведенного исследования

Использованная литература

Приложение

Введение

.Задача нахождения собственных чисел и собственных векторов матриц (спектральный анализ) признается наиболее сложной задачей вычислительной линейной алгебры. В ряде задач механики, физики, химии, техники, биологии требуется получение всех собственных значений некоторых матриц, а иногда и всех собственных векторов. В такой постановке задачу называют полной проблемой собственных значений.На практике часто определению подлежат не все собственные значения и собственные векторы, а лишь небольшая их часть. Например, существенный интерес во многих приложениях представляют максимальное или минимальное по модулю собственное значение. Такие задачи являются примерами частичных проблем собственных значений. Приведем более конкретный пример: для задачи оценивания погрешностей при решении линейных систем уравнений важнейшую роль играет «число обусловленности» матрицы системы:μA=A∙A-1где ∙ - произвольная матричная норма. Число обусловленности будет определено наилучшим (минимальным) образом, если использовать спектральную норму A2, которая для «нормальных» матриц (а в приложениях только такие и встречаются) «почти» совпадает со спектральным радиусом матрицы A (то есть с числом ρA=max⁡{λi}, где λi – собственные значения матрицы A. В этом случае можно принять μA=λmaxλminто есть необходимо определить только максимальное и минимальной по модулю собственное значение матрицы A.Алгоритмов нахождения собственных значений предложено немало. Среди первых по времени упомянем метод вращения Карла Густава Якоба Якоби (1846 г.). Нас же будет интересовать так называемый «степенной метод» или метод степенных итераций - итерационный алгоритм поиска собственного значения с максимальной абсолютной величиной и одного из соответствующих собственных векторов для произвольной матрицы, который был предложен в 1929 году Рихардом фон Мизесом. Портреты этих выдающихся математиков представлены на рисунке.Еще один пример: факторный анализ в статистике, педагогике или психологии. Здесь матрица A – действительная и симметричная все ее элементы неотрицательны, ее собственные значения также неотрицательны. Собственные значения все различны (или их можно таковыми сделать малым «шевелением» элементов матрицы). Исследователя интересует только наибольшее собственное значение – оно определяет, насколько преобладает некоторый фактор. Собственный вектор, соответствующий этому собственному значению, так и называется - главный фактор.

Использованная литература.

[1] Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров : учеб. пособие / А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н. В. Копченова. — 2-е изд., доп. —М. : Изд-во МЭИ, 2003. — 596 с.

[2] Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П.Демидович, И.А.Марон. —М. : Наука, 1966. — 664 с.

[3] Меркулова Н.Н. Методы приближенных вычислений : в 2 ч. : учеб. пособие / Н.Н.Меркулова, М.Д.Михайлов. — Томск : Томск. гос. ун-т, 2005. — Ч. 1. — 257 с.

[4] Меркулова Н.Н. Методы приближенных вычислений : в 2 ч. : учеб. пособие / Н.Н. Меркулова, М.Д. Михайлов. — Томск : ТМЛ-Пресс, 2007. — Ч. 2. — 240 с.

[5] Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М.Кобельков. —М. : Наука, 2001. — 630 с.

[6] Формалеев В.Ф. Численные методы / В.Ф.Формалеев, Д. Л. Ревизников. М. : Физмалит, 2004. — 398 с

[7] Мицель А.А. Практикум по численным методам : учеб. пособие / А.А.Мицель. — Томск : Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2004. — 196 с.

[8] Мицель А.А. Вычислительные методы : учеб. пособие / А.А.Мицель. — Томск : В-Спектр, 2010. — 264 с.

[9] Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989 – 655 с.