Применение метода наименьших квадратов при возможности линеаризации функций

Введение
Аппроксимация — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимация использует значения некоторой, вообще говоря, неизвестной функции, заданные в ряде точек, чтобы не только предсказать (вычислить) значения функции между ними, но и предложить закон (уравнение), объясняющий данные значения.
Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В математическом анализе широко применяется аппроксимация с помощью рядов Тейлора или Фурье. В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломаными. 
Мы рассмотрим один из методов аппроксимации - метод наименьших квадратов (МНК) для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке различного рода измерений.     
На рисунке 1 изображены портреты великих математиков, много сделавших для создания теории решения экстремальных задач и, в частности, МНК. Аналитическое методы основаны на классических результатах математического анализа, численные чаще всего требуют использования вычислительной техники, причем всегда наиболее мощной, самой современной, с самыми изощренными методами программирования. Метод наименьших квадратов ошибок измерений связан исторически с именем великого математика К. Гаусса.
 

Рис. 1 – Великие математики – основоположники экстремальных задач

Реальный источник исходной таблицы значений функции математика, как правило, не интересует. Это может быть заранее вычисленная сложная функция (например, функция распределения нормальной случайной величины) и повторять эти вычисления для еще одного значения неудобно. В этом случае замена сложной функции более простой, пусть даже с определенной – контролируемой! – ошибкой представляется весьма удобной процедурой. Источником значений в исходной таблице могут быть наблюдения или натурные эксперименты, подчас весьма дорогостоящие или уникальные – повторить их не представляется возможным. Иногда функция задана графически: «снять» с нее точки несложно, а предложить аналитическую функцию, описывающую данную функцию, сложно и помочь здесь может решение задачи аппроксимации.
Получение такой аналитической зависимости открывает исследователю широкие перспективы. Например, очень полезна задача экстраполяции: попытка «заглянуть в будущее», то есть вычислить значение функции в точках вне исходного промежутка. Экстраполяция — это способ предсказания поведения процесса в будущем, используя известные данные из прошлого. Другими словами, с помощью экстраполяции обобщают известные данные из прошлого и делают вывод об изменении этих данных в будущем. Можно также аналитически найти важные точки функции: экстремумы, корни, перегибы.
Приведем пример из физики звезд, чтобы пояснить, для чего нужен подобный аппроксимационный подход. В 1911 году двумя учеными Герцшпрунгером и Расселом была построена диаграмма рассеяния звезд видимой части Вселенной, названная впоследствии их именами. Диаграмма (см. рис. 2) связывает абсолютную звездную величину каждой звезды с ее спектральным классом. 

Рис. 2 – Диаграмма рассеяния звезд

Конечно, каждый может увидеть, что на этой диаграмме звезды располагаются не случайным образом, а отлично укладываются на некоторую кривую, названную Главной последовательностью. Формулу этой кривой с помощью аппроксимации получить несложно, но для того, чтобы объяснить такое расположение звезд физикам понадобилось несколько десятилетий. 

Для изучения и исследования данного метода были поставлены следующие задачи:
            1.    Изучить теоретические основы метода
            2.    Создать алгоритм метода
            3.    Реализовать программу на языке Visual Basic for Applications (VBA) (язык макросов, встроенный в Excel).

Список использованных источников
    1.    Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенный дифференциальные уравнения): Учеб. Пособие для вузов / В.М. Вержбицкий. – 2-е изд., испр. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2005. – 400 с..: ил. 
    2.    Герасимова, М. М. Математическое моделирование : учебное пособие / М. М. Герасимова. — Красноярск : СибГУ им. академика М. Ф. Решетнёва, 2019. — 92 с. — Текст : электронный // Лань : электронно- библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/147467 (дата обращения: 07.04.2022). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
    3.    Ильин, М. Е. Аппроксимация и интерполяция. Методы и приложения : учебное пособие / М. Е. Ильин. — Рязань : РГРТУ, 2010. — 56 с. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/168042 (дата обращения: 07.04.2022). - Режим доступа: для авториз. пользователей.
    4.    Хемминг Р. В. Численные методы (для научных работников и инженеров). М: Наука, 1972. 400 с.
    5.    Алексеев Е.Р. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple - Москва : НТ Пресс, 2006 - 496 с.