Методические особенности изучения геометрического материала в курсе математики 5-6 классов

Содержание
Введение…………………………………… ……………………………….3
1 Теоретические основы изучения геометрического материала в курсе математики 5-6 классов……………………………………………………………...7
1.1. Психолого-педагогические особенности изучения геометрического материала на уроках математики в 5-6 классах…………………………………7
1.2. Место геометрического материала в различных учебниках математики 5-6 классов…………………………………………………………….….11
2 Методические аспекты изучения геометрического материала на уроках математики в 5-6 классах…………………………………………………………..19
2.1. Методические рекомендации по формированию топологических представлений при изучении геометрического материала……………….…..19
2.2. Методические рекомендации по формированию пространственных представлений при изучении геометрического материала…………………23
Заключение………………………………………………………………………29
Список источников…………………………………………………….….…….31

Введение
Актуальность исследования. Каждое поколение людей предъявляет свои требования к школе. Если до недавнего времени важнейшей ее задачей было вооружить учащихся знаниями и умениями, то теперь задачи школы иные. На данном этапе в связи с введением ФГОС второго поколения, целью образования становится: общекультурное, личностное и познавательное развитие учащихся, обеспечивающее умение учиться. Выбор методики изучения геометрического материала в обучении математике школьников 5-6 классов не случаен. Геометрия давно и прочно вошла в систему общего образования во всех странах. Исторически геометрия является «матерью» всей сегодняшней математики. Цели и результаты обучения геометрии не ограничиваются рамками предметных знаний, предусмотренных программой, поскольку сам процесс изучения геометрии имеет ничем не заменимое воздействие на общее развитие личности: формирование мыслительных процессов, восприятия, воображения, памяти, внимания.
Несмотря на общепризнанную важность изучения геометрии в школе, кризис в обучении геометрии школьников в настоящее время имеет общемировой характер. Большинство ученых при этом приходит к выводу, что принципиальным тормозом в деле геометрического образования является установившееся за многие годы положение курса геометрии в школе, систематическое изучение которого начинается в 7-м классе. Элементы геометрических знаний, которые ребенок получает до этого, никакой пропедевтической базы фактически не составляют. Изучение геометрического материала в 5-6 классах преследует в основном практические цели, сопровождая курс математики, а с точки зрения геометрии имеет случайный характер. В большинстве программ геометрический материал не представляет целостного, обоснованного курса. Более того, в основном рассматриваются плоскостные фигуры, тогда, как ребенок имеет большой опыт общения с объемными фигурами. И.Ф.Шарыгин отмечает: «Положение геометрии по сравнению с другими школьными предметами в своем роде уникально: ни один предметучащиеся5-6 классов не готовы воспринимать, как наглядную геометрию. В тоже время ни один предмет не начинают изучать в школе с таким запозданием как геометрию.» («О курсе наглядной геометрии в младших классах.»).
Согласно требованиям, предъявляемым к современной школе, обучение в ней должно быть ориентировано на развитие продуктивного, творческого мышления, обеспечивающего возможность самостоятельно приобретать новые знания, применять их в многообразных условиях окружающей действительности. Как показывает практика, для значительной части учащихся геометрия все еще остается наиболее трудным предметом, что вызывает необходимость поиска путей совершенствования методики его преподавания и соответствующей проработки данных вопросов на раннем этапе обучения.
Различные аспекты, связанные с обучением геометрии, рассматривались в исследованиях А.Д. Александрова, Г.Д. Глейзера, В.А. Гусева, Г.И. Саранцева, Н.Ф. Четверухина, А.К. Артемова, JI.H. Ерганжиевой, С.Ю. Дивногорцевой и др. Большое значение для определения содержания обучения геометрическому материалу имеют работы A.M. Пышкало, Ю.М. Колягина, Б.Б. Журавлева, М.И. Зайкина, В.В. Покровского, В.В. Ветрова и др. Проблеме совершенствования профессиональной подготовки будущего учителя математики 5-6 классов, посвятили ряд своих работ Ф.С. Авдеев, Т.К. Авдеева, Н.Б. Истомина, Г.Л. Луканкин, В.А. Оганесян, С.В. Степанова, О.В. Тарасова, Л.Б. Шалева и др.
Таким образом, актуальность исследования определяется необходимостью поиска путей развития продуктивного мышления школьников 5-6 классов в процессе обучения геометрии.
Сказанное выше обуславливает противоречие между:возрастающей потребностью в геометрических знаниях и не рациональным изложением геометрического материала.
В связи с выявленными противоречиями возникла проблема исследования: какова методикаизучения геометрического материала в курсе математики 5-6 классов? Как сделать, чтобы это учение не превратилось в горькую пытку?
Необходимость разрешения проблемы обусловила выбор темы исследования: «Методические особенности изучения геометрического материала в курсе математики 5-6 классов».
Объект исследования - процесс обучения элементам геометрии в 5-6 -х классах.
Предмет исследования- методика обучения элементам геометрии в 5-6 классах.
Цель курсовой работы - изучить особенности и методику обучения элементам геометрии в 5-6 классах, выяснить как начальные сведенья, полученные в курсе математики1-4 классов, влияют на восприятие геометрического материала и показать значимость изучения элементов геометрии в 5-6 классах, для дальнейшего изучения геометрии в старших классах.
Гипотеза исследования: если геометрическую подготовку учащихся 5-6 классов проводить на основе разработки соответствующей методики с подбором системы задач и практических работ, то это позволит повысить уровень и качество обучению геометрии в 5-6 классах.
Исходя из объекта, предмета и цели исследования, а также для проверки гипотезы исследования поставлены следующие задачи:
1. Рассмотреть психолого-педагогические особенности изучения геометрического материала на уроках математики в 5-6 классах.
2. Проанализировать способы изложения геометрического материала в курсе математики различными авторами учебников математики для 5-6 классов
3. Разработать методические рекомендации по формированию геометрических представлений при изучении математики в 5-6 классах.
Теоретическую основу исследования составили:
1) концепция обучения геометрии в школе (А.Д. Александров, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Л.М.Фридман, Г.Фройденталь);
2) положения возрастной педагогической психологии (Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн);
3) теория развития пространственного мышления (И.Я., Каплунович, Н.С. Подходова, А.Я. Цукарь, И.С. Якиманская).
Для решения поставленных задач и проверки исходных положений использовалась система взаимосвязанных и взаимодополняющих методов:
1) теоретические – анализ и синтез методических исследований по вопросам изучения геометрии в математике 5-6 классов, сравнение существующих методов и способов обучения, формализация представлений;
2) эмпирические – изучение психолого-педагогической, учебно-методической и математической литературы по теме исследования; наблюдение за деятельностью учащихся в процессе обучения.
Практическая значимость заключается в разработке методических рекомендаций по формированию геометрических представлений при изучении математики в 5-6 классах, которые могут быть использованы учителями на уроках.
Структура курсовой работы определена ее логикой и последовательностью изложения. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка источников.

1 Теоретические основы изучения геометрического материала в курсе математики 5-6 классов
1.1 Психолого-педагогические особенности изучения геометрического материала на уроках математики в 5-6 классах
Требование учёта возрастных особенностей детей в процессе их обучения и воспитания выдвигали все наиболее известные педагоги прошлого: Я.А. Коменский, Ж.Ж, Руссо, И.Г. Песталоцци, А. Дистервег – все подчёркивали, что обучение и воспитание должно строиться и вестись на основе глубокого знания возрастных и индивидуальных особенностей детей [10, с. 302]. «Всё подлежащее обучению должно быть распределено сообразно ступеням возраста так, чтобы предлагалось для обучения только то, что доступно восприятию в каждом возрасте», - писал великий славянский педагог Я.А. Коменский [11, с. 42]. К.Д. Ушинский указывал не необходимость так строить учебный процесс, чтобы он активно способствовал психическому развитию ребёнка.
Геометрический материал в 5-6 классах распределён по всему курсу математики. Роль геометрии как дисциплины в рамках школьного образования заключается в тренировке мозга ребенка. К тому же геометрия развивает мышление в пространстве, логику, практическое понимание.
В начальной школе ведётся накопление и развитие геометрических представлений у школьников. Это достигается систематическим проведением практических работ. Основную роль на этой ступени обучения играет изготовление учащимися моделей геометрических фигур, вырезание, вычерчивание и т.п.
Таким образом, к 5 классу у учащихся накапливается значительный запас конкретных геометрических знаний и представлений, которые нуждаются в дальнейшем их обобщении и систематизации. Главной задачей 5-6 классов в изучении геометрии является формирование новых навыков, которые учащиеся получают при работе с циркулем, линейкой и т.д. Например, школьники получают наглядное представление об отрезке – умеют выделить концы отрезка, отметить точки на отрезке и подсчитать при этом все образовавшиеся отрезки, учатся измерить длину отрезка, знакомятся с отрезком как носителем величины [7, с. 210].
Важное значение имеет приобретение учащимися рациональных приемов для построения фигур. Данные процессы начинаются в воображении, а затем воплощаются на бумаге в виде геометрических объектов. Образное мышление как раз построено на том, что ребенок манипулирует и экспериментирует на физических объектах, точках, поверхностях.
Младший подростковый возраст (10-12 лет) – это период интенсивного физического, морального и интеллектуального развития. В этом возрасте происходит дальнейшее развитие и совершенствование мыслительной деятельности. Мышление – это одна из фундаментальных и исключительно значимых для человека психологических способностей. В педагогической науке сформулировано принципиальное положение о том, что одна из ведущих целей всякого образования состоит в формировании мышления.
В классической возрастной психологии в определении среднего школьного возраста указывается на значительные сдвиги в физическом развитии, познавательной, эмоциональной и социальной сферах. Действительно, в данный возрастной период происходят бурный рост и развитие всего организма. Наблюдается интенсивное увеличение тела в длину, наращивание мышечной массы. Кардинально перестраиваются сразу три системы - гормональная, кровеносная и костно-мышечная. Гормоны стремительно выбрасываются в кровь, активизируют работу центральной нервной системы, определяя начало полового созревания. Отмечаются морфологические изменения, сопровождающиеся комплексом психологических признаков, в числе которых проявление больших творческих способностей, большей степени самодостаточности, независимости мышления [6].
У детей формируются устойчивые интересы, которые часто сохраняются на всю жизнь. В этот период детям свойственна повышенная активность, стремление к деятельности, происходит уточнение границ и сфер интересов, увлечений. В этот период подростку становится интересно многое, далеко выходящее за рамки его повседневной жизни.
Основные изменения, происходящие с младшими подростками, касаются:
- учебной деятельности, которая приобретает смысл как деятельность по саморазвитию и самосовершенствованию;
- сферы общения с товарищами, которое становится «особой формой жизни подростка» и выступает как деятельность по установлению близких отношений в коллективе;
- взросления как новообразования младшего подросткового периода – специфической формы самосознания, социального по своей природе и проявляющегося в «чувстве взрослости»;
Процесс обучения невозможен без достаточной сформированности такой функции деятельности человека, как внимание. У детей преобладает непроизвольное внимание. Ребенок в большей степени реагирует на яркие, эмоциональные признаки информации, чем на ее содержание, он обращает внимание на то, что ему непосредственно интересно. В ходе учебной деятельности ребенок учится направлять и устойчиво сохранять внимание на нужных, а не просто внешне привлекательных предметах [5].
Развитие отдельных психических процессов происходит на протяжении всего младшего школьного возраста. К семи годам у ребенка отмечаются достаточно развитый процесс восприятия (наблюдается высокая острота зрения и слуха, ориентирование на различные формы и цвета), но восприятие младшего школьника в учебной деятельности сводится лишь к узнаванию и называнию формы и цвета.
В процессе становления в младшем школьном возрасте находится память. Память приобретает ярко выраженный познавательный характер. Ребенок начинает осознавать особую, мнемоническую задачу. Он отделяет эту задачу от всякой другой. Такая задача в дошкольном возрасте либо вовсе не выделяется, либо выделяется с большим трудом. В младшем школьном возрасте идет интенсивное формирование приемов запоминания. От наиболее примитивных приемов (повторение, внимательное длительное рассмотрение материала) в более старшем возрасте ребенок переходит к группировке, осмыслению связей разных частей материала.
Специфика учебной деятельности помогает развить у детей такую важную психическую способность, как воображение. Большинство сведений, сообщаемых школьникам учителем иучебником, имеет форму словесных описаний, картин и схем. Школьники каждый раз должны воссоздавать себе образ действительности (поведение героев рассказа, события прошлого, ландшафты и т. д.). В процессе школьных занятий развивается воссоздающее (репродуктивное) воображение, и уже воссоздающее воображение перерабатывает образы действительности. Дети изменяют сюжетную линию рассказов, представляют события во времени, изображают ряд объектов в обобщенном, сжатом виде (этому во многом способствует формирование приемов смыслового запоминания). Постепенное совершенствование воссоздающего, или репродуктивного, воображения в младшем школьном возрасте создает условия для развития у школьников творческого (продуктивного) воображения [9, с. 130].
Протекание школьной жизни учеников 5-6 класса осложняется еще и неоправданными требованиями, которые начинают предъявлять подросткам учителя, привыкшие работать в старших классах. Это, мягко говоря, недопустимо по меньшей мере по трем причинам:1. Содержание учебных курсов основной школы выстраивается системно, что предполагает хорошо развитое теоретическое мышление подростков. Однако такое мышление находится в этом возрасте лишь на начальном этапе своего развития, до сих пор ученик работал лишь с отдельными единичными понятиями, лишь с некоторыми понятийными связями.
2. Высокая планка требований в основной школе к самостоятельности,ответственности и инициативности школьников, особенно в ситуациях свободного выбора индивидуальных учебных траекторий, порой не учитывает возрастные особенности младших школьников и угрожает эмоциональному благополучию большей части обучающихся.
3. Сообщество взрослых ожидает от подростков способности понимать других людей и сосуществовать с ними на принципах равноправия и терпимости.
Все эти психологические особенности младших подростков объективны, и они быстро пройдут и не окажут отрицательного влияния на учебу, если педагоги найдут целесообразными применение щадящих методов и форм взаимодействия.
В организации процесса обучения важно уделять внимание адаптации учащихся при переходе к кабинетной системе обучения. При построении учебного процесса рекомендуется учитывать индивидуальные особенности познавательной деятельности обучающихся, но большое внимание уделять игре, созданию ситуации успеха[2].
1.2. Место геометрического материала в различных учебниках математики 5-6 классов
Как показали исследования психологов, возраст детей от 7-12 лет наиболее благоприятен для формирования геометрических представлений. Детям этого возраста присуще яркость восприятия, наглядная образная память, большой интерес к окружающему миру, богатое воображение, способность легко усваивать материал и др.
Уроки труда, рисования, математики содержат определённую систему предметов, методов и средств, создающих в уме школьника многообразную категорию пространственных представлений и отношений. Всё это определяет содержание пропедевтической работы учителя по развитию геометрических представлений учащихся начальных классов.
Программа по математики начальных классов уделяет особое внимание развитию конструктивных навыков учащихся, которые будут эффективны лишь при целенаправленном и систематическом их формировании на протяжении всех лет обучения в школе. При правильной постановке преемственности в их развитии, при строгом учёте психологических возрастных особенностей учащихся.
В настоящее время используются педагогами основные линии учебников в преподавании математики 5-6 классов: линия Н.Я. Виленкина, линия И. И. Зубаревой и А. Г. Мордкович, линия Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, линия Е.А. Бунимовича. Эти УМК рекомендованы Министерством образования и науки РФ и включены в Федеральный перечень.Все учебники соответствуют Федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования [12].
Например, программа пропедевтического курса “Геометрия 5” (авторы: Евелина Л.Н., Клековкин Г.А., Кучерук Т.В., Мягких Г.Д.), которая предполагает выделение геометрии как самостоятельной учебной дисциплины, начиная с 5-го класса, на преподавание которой, как правило, отводится 2 часа в неделю [13].
Программа в учебнике Виленкина Н.Я., Жохова В.И., Чеснокова А.С. и др. (Математика. 5 класс.) позволяет вести разноуровневое обучение, обеспечивает качественную подготовку школьников к изучению систематического курса алгебры и геометрии (в том числе стереометрии) в старших классах, а также смежных дисциплин: физики, химии, географии и др. Учебник обеспечивает преемственность с курсом математики в начальной школе.В учебнике имеются задания-исследования в каждом параграфе, как алгебраические, так и геометрические [14].
В учебнике все упражнения построены по принципу от простого к сложному. Все задания в каждом пункте учебника разбиты на три большие группы:
1-я группа – для работы в классе;
2-я группа – для работы дома;
3-я группа – задания для повторения ранее изученного материала.
Для учащихся со средним уровнем математической подготовки число упражнений в учебнике несколько избыточно. Это содействует тому, чтобы дать учителю возможность, опираясь на особенности конкретного класса, выбрать более легкие или, наоборот, более сложные задания, уделять большее внимание тому или иному виду задач, т.е. для успешного усвоения материала нет необходимости провешивать с детьми все задачи учебника.
Пункт первого параграфа «Отрезок. Длина отрезка. Треугольник» позволяет ученикам систематизировать и актуализировать свои знания, полученные в 1-4 классе. А именно чертить отрезки, измерять отрезки, показывать и распознавать элементы треугольника, сравнивать отрезки с помощью измерительного инструмента, находить расстояние между точками. В процессе изучения этого пункта учебника, школьники вспоминают единицы измерения длины. Знакомятся с элементами треугольника, а также знакомиться с группой многоугольников.
В четвертом пункте «Шкалы и координаты» ученики знакомятся с понятиями координатного луча, единичного отрезка, координатой точки.
В восемнадцатом пункте четвертого параграфа учебника «Площадь. Формула площади прямоугольника» главной задачей является актуализация знаний учащихся уже имеющихся знаний из 1-4 классов о площади.
В пункте «Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда» учащиеся знакомятся с понятием объема фигуры. Учатся находить объем прямоугольного параллелепипеда и куба. Некоторые задания данного пункта направленны на развитие умения выводить новые формулы для нахождения высоты, длины, ширины, основываясь на формулу объема прямоугольного параллелепипеда.
На основании выше изложенного можно сделать вывод о том, что геометрический материал в учебнике:[Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 2013.] является наглядно – образным. Многие понятия даются только на ознакомительном уровне [14].
В учебнике Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, С.Б. Суворовой объяснительные тексты в учебнике изложены интересно, понятно, хорошим литературным языком. Авторы часто обращаются к ученику, позволяя ему самому принимать решение о выборе способа действия; прибегают к образным сравнениям. Геометрические построения, как и весь математический материал, представлены в новых рубриках в заданиях по видам деятельности («Наблюдаем», «Ищем информацию», «Анализируем и рассуждаем», «Исследуем» (см. таблица 1), «Верно или неверно»).
Учебно-методический комплект Математика 6 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. - М.: Дрофа, 2000 также способствует формированию математического мышления школьников [15].Материал учебника содержит учебный (объяснительный) текст, в нем выделяются все необходимые понятия и термины, разбираются способы решения задач. Имеются также исторические факты, повышающие привлекательность материала, и разделы «Для тех, кому интересно». Система упражнений по каждому пункту разделена на две группы. Упражнения первой группы, как и в учебнике 5 класса, направлены на формирование и отработку умений на уровне обязательной подготовки, а упражнения второй группы - на развитие более высокого уровня сложности. Диапазон сложности самых первых заданий (из группы А) и последних заданий (из группы Б) всегда значителен.
Геометрический материал учебника дается в следующих главах:
Глава 2. Прямые и окружности.
Глава 4. Симметрия.
Глава 6. Фигуры на плоскости и в пространстве.
«Прямые и окружности» данная глава знакомит учащихся со всеми случаями взаимного расположения на плоскости двух прямых, прямой и окружности, двух окружностей. Главной целью главы является создание у учеников зрительного образа основных конфигураций, связанных с взаимным расположением прямых и окружностей.
В главе «Симметрия» рассматриваются осевая, центральная и зеркальная симметрии. В отдельный пункт выделен вопрос о применении симметрии к решению некоторых геометрических задач, где рассматривается традиционная для занимательной математики задача о пауке и мухе. Цель главы - сформировать представление о симметрии в окружающем мире; познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве; расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанными с симметрией; также показать возможности использования симметрии при решении различных задач и построениях.
Методические особенности учебника заключаются в том, что выдвигается приоритет развития в обучении, меняются акценты в преподавании, явно выдвигается задача формирования интеллектуальной восприимчивости, гибкости и независимости мышления.
Введение новых понятий позволяет создать у учащихся запас содержательных представлений, служащих основой для последующей формализации, способствует пониманию, даёт возможность учащимся самостоятельно открывать новые знания. Широко используется диалог и обращение к ученику, опора на опыт учащихся, привлечение современных сюжетов при изложении теоретического материала и в задачах. Содержатся интересные для учащихся формы заданий: задания с выбором ответа, задачи-исследования, задания нестандартной формы, нестандартная форма вопроса. Учебники ориентированы как на сильного ученика, так и на слабого, так как задания по всем темам варьированы по степени трудности.
Таким образом, обучение по комплекту Математика 6 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. - М.: Дрофа, 2000 продолжает, так же, как и в комплекте 5 класса, организовываться как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений у учащихся, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого учащимися усваиваются важнейшие свойства геометрических фигур, как плоских, так и пространственных [15].
Учебник Зубарева И.И., Мордковича А.Г. за 5 класс отличителен облегченной структурой содержания, а также высоким уровнем наглядности учебного материала.
Структура учебника дает возможность максимально облегчить учителю подготовку к уроку: упражнения с помощью системы обозначений дифференцированы по трудности в четырех уровнях; в каждом параграфе сформулированы контрольные задания, исходя из того, что должны знать и уметь обучающиеся для достижения ими уровня стандарта математического образования; в конце учебника представлен раздел «Домашние контрольные работы», который поможет педагогу сориентировать учеников на необходимый им уровень трудности.
Теоретический материал учебника ориентирован на проблемный подход в обучении, на организацию поисково- эвристической и коммуникативной деятельности школьников. Цветные иллюстрации (рисунки и схемы) обеспечивают высокий уровень наглядности учебного материала. Его можно применять для преподавания математики детям, обучающимся в начальной школе по любой из действующих программ. Данный УМК имеет программу, учебники, самостоятельные работы, тесты, рабочие тетради и тетради для контрольных работ, блицопросы. Есть методическое пособие для учителя. Отличительными особенностями учебников являются: реализация проблемного подхода в обучении, высокий уровень наглядности, дифференциация заданий по четырём уровням сложности. Учебники и по содержанию, и по стилю выстроены так, чтобы обеспечить обучающимся достаточно мягкий и безболезненный переход к систематическому изучению алгебры и геометрии в 7 классе [20].
В.А. Гусев в своей программе реализует идею фузионизма. Отличительной чертой данной программы является параллельное изучение планиметрии и стереометрии - плоские фигуры и их свойства чаще всего изучаются не сами по себе, а как части пространственных геометрических фигур. Курс геометрии в 5-6 классах направлен на всестороннее индивидуальное развитие учащихся с учетом их способностей и возможностей. В процессе изучения геометрии целенаправленно реализуется формирование умственного развития учащихся через отработку конкретных приемов мыслительной деятельности: прежде всего синтеза и анализа, затем абстрагирования, сравнения, обобщения и аналогии. Логика выступает как средство подтверждения наглядности и практической значимости. Наглядность в изложении курса является приоритетной.
Автор предлагает множество геометрических задач на развитие пространственного воображения, задач творческого и творческо-поискового, исследовательского характера, что должно способствовать развитию геометрического мышления учащихся [19].
Богатый теоретический и задачный материал по каждой теме курса позволяет формировать у учащихся не только интуитивно-геометрические представления, но и учит серьезному теоретическому обоснованию решений.
В результате анализа учебных пособий по математике для 5-6 классов мы сделали вывод, что все они содержат задания, позволяющие формировать исследовательские умения и навыки, включающие в себя умение видеть проблемы, задавать вопросы, выдвигать гипотезы, давать определение понятиям, проводить наблюдения и эксперименты, делать выводы и умозаключения, классифицировать и структурировать материал, работать с текстом, доказывать и защищать свои идеи.
По новым стандартам изучения элементов геометрии в 5-6 классах отводится большее количество часов, соответственно, вводиться больше новых понятий, это позволяет углубить и расширить начальные геометрические знания учеников.Самым важным в обучении элементов геометрии в 5-6 классах является знакомство учащихся с основными геометрическими понятиями и формирование прочных навыков для выполнения геометрических построений с помощью геометрических инструментов (линейки, угольника, циркуля, транспортира).

2 Методические аспекты изучения геометрического материала на уроках математики в 5-6 классах
2.1 Методические рекомендации по формированию топологических представлений при изучении геометрического материала
Одним из важных методических принципов изучения геометрического материала, является связь его с другими предметами: с информатикой, изобразительным искусством, трудом, окружающим миром. Энгельс писал о том, что в математике содержатся аспекты науки о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Обе эти стороны математики должны быть тесно связанны между собой, взаимно дополнять и обеспечивать друг друга [1, с. 129].
Знакомство с величинами и единицами их измерения имеет не только практическое значение: оно предоставляет большие возможности для формирования умения видеть проблему и находить пути ее решения, тем самым способствуя развитию познавательных способностей учащихся.
Большое значение при ознакомлении с величиной имеет использование знаний, умений и навыков, приобретаемых учащимися в связи с изучением фигур и операций над фигурами (деление фигур на части, составление фигур из других). И наоборот, использование представлений о величине, ее свойствах и измерении в процессе формирования понятия "фигура" [12].
Так, например, на основе представлений о площадь фигуры дети знакомятся с важнейшим свойством, которое состоит в том, что площадь фигуры, составленной из нескольких частей, равна сумме площадей этих частей.
В 5 классе геометрические представления начинают развиваться с практических опытов по созданию отрезков. С практической точки зрения вводится понятие отрезка, как линии, которая соединяет две точки, эти точки называются концами отрезка. С помощью рисунка вводится понятие лежать между. ЭТО ЧАСТЬ ПРЯМОЙ!!!
Сообщается, что отрезки можно сравнивать с помощью измерения и вводятся единицы измерения длины отрезков, которые детям уже известны, фактически идет повторение.
24288759525
Рис.1. Отрезок
2524125568960На основе рисунка вводится не только понятие треугольника и его составляющих частей, но понятие многоугольника, по количеству вершин.
Рис.2. Многоугольник
Понятие плоскости вводится интуитивно, на основе жизненных примеров: поверхность стола, школьной доски, оконного стекла. Сообщается, что плоскость не имеет края, она безгранично простирается во всех направления. На основе уже известного понятия отрезка вводится новое понятие- прямая: если отрезок продолжить в обе стороны, то получится прямая. В КАКОМ ЖЕ УЧЕБНИКЕ ТЫ НАШЕЛ ТАКИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ????
Сообщается, что прямая не имеет концов, неограниченно продолжается в обе стороны. Сообщается аксиома: через две точки проходит единственная прямая.
Вводится понятие пересечения двух прямых на примере, по рисунку.
Понятие луча вводится на примере по рисунку. Точка О делит прямую на две части, каждую их которых называют лучом. Точка О называется началом лучей. Объясняется как обозначать лучи. По рисунку вводится понятие дополнительных лучей.
18434049525
Рис.3. Прямая и луч
Далее переходим к обучению того, что такое площадь. Сначала на конкретной фигуре вводится понятие квадратного сантиметра и вычисляется ее площадь. Затем вводится понятие для площади произвольной фигуры. Затем приведена словесная формулировка для нахождения площади, а потом уже составляется формула. Весь этот материал известен школьника из начальной школы.
Вводится понятие равных фигур, те, которые можно совместить наложением. Вводятся некоторые свойства площадей (без доказательств). После знакомства с понятием прямоугольника на его основе вводится понятие квадрата, как прямоугольника, у которого все стороны равны. Затем, вводится формула площади квадрата, после чего объясняется название квадрат числа.
Практическая работа для развития топологических представлений.
Цель: научить детей строить фигуры нужной площади, уметь изменять площадь прямоугольника.
Задача: Фермер решил увеличить участок земли, план которого изображён на рисунке, в два раза, сохранив при этом его прямоугольную форму. Покажите на чертеже различные варианты решения этой задачи. В каком случае затраты на дополнительную ограду будут наименьшими.
Заштрихуйте квадрат, площадь которого равна 1 см². Начертите два различных прямоугольника площадью 6 см².
Начертите квадрат, площадь которого равна площади данного прямоугольника.
Ответ: _________________
Нарисуйте фигуру той же площади, что и фигура А, но другой формы.
Дан четырёхугольник АВСД. АВ=5см, ВС=3см, АД=8см, СД=4см.
Найти S этого четырёхугольника.
Вывод: дети должны увидеть, что площадь фигуры можно изменять, меняя длины сторон прямоугольника. Существуют различные варианты изменения площади. Ученик будет уметь строить четырёхугольники, научится вычислять их площадь.
Со стандартными единицами измерения и с тем, в чем измеряется площадь ученики уже знакомы. На основе знаний об единицах измерения длин отрезков объясняется как переводить одни квадратные единицы в другие.
Площади полей уже известными единицами измерения неудобно измерять. Аналогично вводятся новые единицы измерения: гектар и ар.
На основе примеров из жизни: спичечный коробок, деревянный брусок, кирпич - вводится понятие прямоугольного параллелепипеда. Затем вводятся элементы прямоугольного параллелепипеда: грани, ребра, вершины и их количество.
Сообщается, что длину, ширину и высоту параллелепипеда называют его измерениями. После этого вводится понятие куба, как прямоугольного параллелепипеда, у которого все измерения равны.
Для формирования топологических представлений учащихся необходимо решать большое количество задач различного плана. Школьники будут владеть навыками построения, и в дальнейшем, при изучении курса геометрии в старших классах, ученикам легче будет усваивать новый материал.
2.2. Методические рекомендации по формированию пространственных представлений при изучении геометрического материала
Пространственные представления — представления, в которых находят отражение пространственные отношения предметов (величина, форма, месторасположение, движение). Уровень обобщенности и схематизации пространственного образа зависит как от самих предметов, как и от задач деятельности, которая реализуется индивидом и в которой используются общественно выработанные средства пространственного анализа (рисунки, схемы, карты) [22, с. 34].
В последние годы в среде учёных-методистов, математиков интерес к проблеме развития пространственных представлений вырос до такой степени, что ставятся вопросы о кардинальном пересмотре школьного курса геометрии, о введении курса наглядной геометрии в начальной школе, о параллельном изучении курсов планиметрии и стереометрии, о пропедевтическом курсе стереометрии.
Являясь разновидностью образного представление, пространственное представлениесохраняет все его основные черты, и тем самым отличается от словесно-дискурсивных форм мышления. Это различие мы видим, прежде всего, в том, что пространственное представлениеоперирует образами: в процессе этого оперирования происходит их воссоздание, перестройка, видоизменение в требуемом направлении. Образы здесь являются и исходным материалом, и основой оперативной единицей, и результатом мыслительного процесса [21, с. 51].
Произвольное оперирование образами особенно отчетливо наблюдается в школьном возрасте, когда происходит интенсивное психическое развитие овладение соответствующими средствами интеллектуальной деятельности, обеспечивающими создание образов, их преобразование, произвольное изменение системы отсчета, использование разнотипной наглядной основы. Развитие пространственных представлений осуществляется в этом возрасте под решающим воздействием тех школьных предметов, которые наиболее "ответственны" в его развитии, так как без этого не может быть эффективного усвоения научных знаний.
Овладение знаниями о пространстве предполагает: умение выделять и различать пространственные признаки, правильно их называть и включать адекватные словесные обозначения в экспрессивную речь, ориентироваться в пространственных отношениях при выполнении различных операций, связанных с активными действиями [19, с. 39].
В значительной степени развитию пространственного воображения способствует составление простейших задач, связанных с введением проекционного чертежа. В середине прошлого века таким задачам в процессе обучения геометрии уделялось внимание, создавались специальные системы заданий, предполагающие использование проекционного чертежа.
Основой формирования пространственного воображения является практическая работа ученика с пространственными объектами: изменение их положения, разделение на части, соединение нескольких объектов в один. А.Я. Цукарь пишет: «Внешние действия с геометрическими телами необходимы для того, чтобы человек мог затем производить с ними мысленные внутренние действия» [24, с. 90]. Автором разработана оригинальная система уроков развития воображения, выделены типы упражнений, лежащих в основе развития пространственного воображения: упражнения на умение читать, выполнять изображения и упражнения на оперирование пространственными образами.
Эти типы, в свою очередь, подразделяются на виды:
- поиск изображения из нескольких данных для предъявленного объекта
- нахождение объекта, соответствующего данному изображению, из некоторого набора;
- завершение изображения известной фигуры по ее фрагментам;
- идентификация различных изображений одного и того же пространственного объекта;
- узнавание фигуры по ее проекциям;
- определение взаимного расположения нескольких фигур по их изображению;
- оценивание формы и размеров фигуры;
- построение проекций заданной фигуры;
Система упражнений, направленная на развитие математических способностей, среди которых представлена серия заданий на развитие пространственных представлений и пространственного воображения предлагается и в работе Н.Р. Гайбуллаева и И.М. Дырченко[18, с. 57].
- упражнения, воспитывающие правильное (критичное) отношение к чертежу;
- геометрические иллюзии;
- упражнения на переосмысление чертежа;
- упражнения на пересоставление фигур;
- упражнения на перенос умственных навыков в новые условия;
- задачи на построение, решаемые с помощью только прямого угла, одной линейки, одного циркуля;
- задачи, решаемые на местности;
- задачи, связанные с изготовлением моделей;
- упражнения с куском бумаги и т.д.
Упражнения на развитие пространственныхпредставлений можно условно поделить на:
- задания на развитие пространственного мышления;
- задания на развитие умения увидеть по чертежу на плоскости объемное тело;
- первичные навыки развертывания поверхности геометрических тел;
1. Указать число кубиков, из которых состоит фигура:
20097757620
Рис. 4. Задание на определение числа кубиков
2. Сколько граней у неотточенного шестигранного карандаша?
Куб находится на рабочем столе. Сколько граней можно покрасить не переворачивая?
3. Сколько разных красок понадобится, если противоположные грани куба раскрасить одним цветом, а соседние разными?
4. Заштрихуйте грань, противоположную данной
00
Рис.5. Задание с штриховкой граней
При зрительном восприятии изображения трехмерного объекта на плоской поверхности опираемся на те представления, которые уже сформированы. Но если их нет или они неверны, то у ребенка может создаться образ, не адекватный изучаемому объекту. Поэтому для создания у ученика верного представления о форме предмета следует организовать работу с моделями фигур, включающую в процесс познания кинестетические ощущения ребенка.
Задача 1. Создание модели: возьмите кусок веревки или шнурка длиной примерно 40см. Измерять длину шнурка не обязательно, постарайтесь на глаз определить нужную длину. Завяжите узел, как показано на рисунке 1А, далее завяжите бантик так, как вы это делаете, завязывая шнурки на ботинках (рис. 1Б). После чего соедините свободные концы веревки скотчем (рис. 1В).
40957510795
Задание. Попробуйте развязать получившийся узел, не разрывая концов, удалось ли вам это? Зарисуйте ваш узел после «развязывания». Измерьте длину веревки измерительным инструментом, насколько точно вам удалось определить длину веревки «на глаз»?
После попыток развязывания учащиеся приходят к выводу, что полностью развязать данный узел не удалось, но после «развязывания» бантик стал иметь вид одинарного узла (рис. 1Г), при этом нам не пришлось разрывать концы узла и завязывать вновь.
Выводы: в реальной жизни мы, приложив некоторые усилия для развязывания, можем развязать полностью узел любой сложности, но для этого концы узла должны быть свободны. Узел с соединенными концами не всегда можно развязать полностью, однако в результате процесса развязывания можно прийти к более простому виду узла. При изображении узла после развязывания (рис. 1Г) на бумаге, необходимо обратить внимание на то, что веревки на модели узла не пересекаются, как тогда можно назвать интуитивно их расположение? Веревки скрещиваются.
Использование вышеперечисленных современных образовательных технологий позволяет повысить эффективность учебного процесса, помогают достигать лучшего результата в обучении математике, повышают познавательный интерес к предмету.
Задача учителя состоит в организации учебной деятельности таким образом, чтобы полученные обучающимися знания на уроке были результатом их собственных поисков. Но эти поиски необходимо организовать, при этом управлять обучающимися, развивать их познавательную активность. Системная работа по использованию современных педагогических технологий в образовательном процессе приводит к тому, что успеваемость по математике составляет 100%. Обучающиеся принимают активное участие в предметных неделях, участвуют в олимпиадах, научно-практических конференциях по предмету.
Заключение
В ходе выполнения курсовой работы нами были поставлены задачи, необходимые для достижения цели данного исследования.
1) При рассмотрении психолого-педагогических особенностей изучении геометрии мы определили, что важным аспектом в рассмотрении данного вопроса является активное развитие мышления в возрасте 10-12 лет. Результаты психологических исследований свидетельствуют о том, что возраст детей от7 до 12 лет наиболее благоприятен для изучения геометрических основ. Психологические особенности в этом возрасте характерны ярким восприятием, наглядно-образной памятью, познавательным любопытством, воображением. Имея определенный багаж математических знаний с начальной школы ученики 5-6 классов способны легко воспринимать изучаемый материал, что облегчает усвоение новоприобретенных навыков.
С точки зрения педагогики следует указать на такие аспекты преподавания, как лабораторные и практические работы: изготовление геометрических фигур, их вычерчивание, вырезание, получение прямого угла перегибанием бумаги, упражнения на формирование навыков работы с наиболее употребляемыми чертёжными инструментами (линейка, угольник, циркуль). Большое внимание уделяется приёму сопоставления и противопоставления фигур. Геометрия, как дисциплины, нацелена именно на практическое применение, и именно поэтому постоянная практика позволит ученикам освоить азы пространственных и топологических представлений в геометрии учебного курса 5-6 классов.
2) Учебный курс 5-6 классов нацелен на развитие уже имеющихся представлений, полученных учениками еще на этапе начальной школы. В данной работы мы проанализировали учебные курсы, изложенные в линии Н.Я. Виленкина, линии И. И. Зубаревой и А. Г. Мордкович, линии Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, линии Е.А. Бунимовича. Новые стандарты изучения геометрии позволяют осваивать больше понятий данной дисциплины, так как количество часов увеличено. Важная цель, преследуемая на данном образовательном этапе – это формирование прочных навыков геометрических построений и совершенствование овладения инструментами (линейкой, циркулем, транспортиром).
Геометрическая линия наиболее полно представлена в УМК Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. Подробно рассматриваются многие темы. Особенно такие, как: «Линии», «Треугольник», «Симметрия». Изучение происходит не только на ознакомительном уровне. Изучаются свойства фигур. Остальные учебные пособия также имеют положительные стороны, при анализе каждого можно усмотреть тенденцию легкой подачи материала для упрощения восприятия информации. Это также облегчает работу преподавателю.
3) При разработке методических рекомендаций мы уделили внимание развитию топологических представлений. Особое место занимает понимание того, что такое топология, и как ее аспекты проще всего преподнести в рамках обучающей программы. Данная область изучения требует погружения и определения понятий. Для формирования топологических представлений учащихся необходимо решать большое количество задач различного плана. Школьники будут владеть навыками построения, и в дальнейшем, при изучении курса геометрии в старших классах, ученикам легче будет усваивать новый материал.
Методические рекомендации также относились и к развитию пространственных представлений. Данная область изучения характерна своей абстрактностью и образной структурой. Задания на развитие этих представлений характерны развитием непосредственно пространственного мышления, умения видеть объемные фигуры на плоскостях, а также приобретения навыков по развертыванию поверхности геометрических тел. Такие упражнения, как определение числа кубов, количества граней, дорисовки фигур, нахождения фигур среди множества фигур, и т.д., способствуют понимаю того, как отличать и определять фигуры в пространстве. В целях создания верного представления о форме предмета следует организовать работу с моделями фигур, включающую в процесс познания кинестетические ощущения ребенка.

Список источников
1. Вернер А.Л., Рыжик В.И. О структуре курса геометрии основной школы / 2. А.Л. Вернер, В.И. Рыжик // Математика в школе. – 2004. - № 7. - С. 78-79.
2. Психологические особенности подготовки 10-12 лет. [электронный ресурс] URL:http://www.kirov.spb.ru/sc/ppms/images/docs/infomaciya_dlya_ou/psychological_characteristics_of_adolescents_10_12_years.pdf (09.06.2021)
3. Тарасова О.В. Методические особенности преподавания геометрии в начальной и средней школе в свете исторического развития. 2018 [электронный ресурс] URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metodicheskie-osobennosti-prepodavaniya-geometrii-v-nachalnoy-i-sredney-shkole-v-svete-istoricheskogo-razvitiya (07.06.2021)
4. Мехтиев М.Г., Исмаилова З.Н. О некоторых аспектах обучения геометрии. 2012. [электронный ресурс] URL: https://cyberleninka.ru/article/n/o-nekotoryh-aspektah-obucheniya-geometrii (09.06.2021)
5. Боженкова Л.И. Интеллектуальное воспитание учащихся общеобразовательной школы при обучении геометрии: теория и практика. - М., Калуга: КПГУ, 2007. 281 с.
6. Бадамаева Б.Б. Возрастные особенности современных школьников 10-12 лет. 2012. Образование и наука. [электронный ресурс] URL: https://cyberleninka.ru/article/n/vozrastnye-osobennosti-sovremennyh-shkolnikov-10-12-let (09.06.2021)
7. Эльконин Д. Б. Психическое развитие в детских возрастах / под ред. Д. И. Фельдштейна. Москва; Воронеж: Ин-т практ. психологии; Модэк, 1995. 416 с.
8. Гаджимурадов М.А., Магомедов Х.М. О пропедевтике геометрии в общеобразовательной школе. 2017. Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Психолого-педагогические науки. С. 28-36.
9. Л.С. Выготский «Проблемы изучения и умственного развития в школьном возрасте». 1991 г.
10. Дистервег А. Избранные педагогические сочинения. — М.: Учпедгиз, 1956. 374 с.
11. Коменский Я.А. К63 Избранные педагогические сочинения: Том 1 / Я. А. Коменский – М.: Книга. ... Избранные педагогические сочинения: В 2-х т. Т. 1.—М.: Педагогика, 1982. —656 с.
12. Математика [Текст]: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чеснокови др. – М.: Мнемозина, 2007.
13. Клековкин Г. А., Евелина Л. Н. Геометрия, 5—6 класс : программа экспериментального пропедевтического курса. — М. : Русское слово, 2005. — 47 с.
14. 5 класс : учеб, для учащихся общеобразо-ват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 31-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2013.
15. Математика. 6 класс [Текст]: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. - М.: Дрофа, 2000.
16. Пиаже, Ж. Роль действий в формировании мышления // Вопросы психо-логии. -1965. - №5 - 32 с.
17. Мишин В.И. Методика преподавания математики в средней школе / Блох А.Я. Гусев В.А., Дорофеев Г.В. М, 1987. С. 416.
18. Гайбуллаев Н.Р., Дырченко И.И. «Развитие математических способностей учащихся» — книга автора Гайбуллаев Н.Р., Дырченко И.И., 244 с.
19. Методика обучения геометрии [Текст]: учебное пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчишина и др.; под ред. В.А.Гусева. – М.: Академия, 2004.
20. 5 класс : учеб, для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. — 14-е изд., испр. и доп. — М. : Мнемозина, 2013.
21. Верченко, С.Б. Развитие пространственных представлений учащихся при изучении геометрического материала в 4-5 классах средней школы: Дисс. на соискание степени канд. пед. наук: 13.00.02. [Текст] / С.Б. Верченко.- Защищена 15.03.83; - Утв. 20.12.82.М., 1983. - 215 с.: ил. - Библиогр.: С. 209-215.
22. Якиманская, И.С. Развитие пространственного мышления школьников [Текст] / И.С. Якиманская. - М.: Педагогика, 1980. - 240 с.
23.Педагогика / Н. С. Подходова ; Российский гос. пед. ун-т им. А. И. Герцена. - Санкт-Петербург : Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2006.
24. Уроки развития воображения : Учеб. пособие / А. Я. Цукарь. - Новосибирск :РИФплюс, 1997. - 166 с.
НЕ МЕНЕЕ 35!