Сложности и пути их преодоления при изучении уравнений на уроках математики в начальной школе

ОглавлениеВведение…………………………………………………………………………...3Глава 1. Теоретические основы обучения решению уравнений в начальной школе51.1 Понятие уравнение и его место в курсе математики начальной школы51.2 Виды уравнений и процесс их решения10Выводы по первой главе18Глава 2. Методические приемы обучения младших школьников решению уравнений192.1 Особенности решения уравнений в 3-м классе192.2 Сложности и пути их преодоления при изучении уравнений на уроках математики в начальной школе22Вывод по второй главе28Заключение30Библиографический список32Приложения35ВведениеВ последнее время в математическом образовании начальной школы заметно возросла роль таких технологий обучения, которые не только обеспечивают качественное усвоение предметных знаний, но и позволяют полноценно реализовать развивающий потенциал математического содержания. А это предполагает оптимизацию методических основ обучения содержательным единицам учебного материала, в частности, решению текстовых математических задач, традиционно занимающих одно из центральных мест в системе математического развития школьников. Большую роль в осознании связи между обратными действиями в математике играет знакомство учеников с уравнениями и способами их решения, что способствует более глубокому и осознанному овладению арифметическими действиями, формированию вычислительных навыков, а в дальнейшему изучению таких разделов алгебры, как «Решение уравнений» и «Функциональная зависимость», как важнейших тем курса математики в средней школе [4, с. 8].Решение уравнений младшими школьниками активизирует их мыслительную деятельность, закладывает основы математического мышления школьников, а также способствует развитию алгоритмического мышления. В результате решения уравнений обогащаются и закрепляются теоретические знания ребёнка, совершенствуются его вычислительные навыки.Актуальность темы курсовой работы. В концепции ФГОС подчеркивается, что обучение осуществляет свою ведущую роль в умственном развитии, прежде всего через содержание, которое, определяет методы, формы организации учащихся, а также другие стороны учебного процесса. Учитель начальных классов первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это сделает, зависит и отношение ребенка к данной науке в дальнейшем. В связи с этим необходимым, является поиск эффективных путей формирования понятия уравнения в начальной школе, что определило выбор темы исследования. Степень научной разработанности темы курсовой работы. Проблемные вопросы изучения решения уравнений в младших классах рассмотрены в работах таких исследователей как Саидова Н. Р., Саранцева Г.И. , Гусева В.А., Н.Б. Истомина, М.И. Моро, А.К. Артемов, М.А. Бантовой, А.В. Белошистой, М.В. Богдановичем, Н.Б. Истоминой, М.И. Моро, А.М. Пышкало, С.Е. Царевой.Объектом исследования в курсовой работе – уроки математики в начальной школе.Предметом - обучение младших школьников возможностей решения уравнений. Целью в курсовой работе является теоретическое изучение и практическое рассмотрение сложностей и путей их преодоления при изучении уравнений на уроках математики в начальной школе.На основании цели, в курсовой поставлены следующие задачи: Рассмотреть понятие уравнение и его место в курсе математики начальной школы;Рассмотреть виды уравнений и процесс их решения;Рассмотреть особенности решения уравнений в 3-м классе;Рассмотреть сложности и пути их преодоления при изучении уравнений на уроках математики в начальной школе. Для решения задач были использованы следующие методы исследования: анализ методической литературы; анализ школьных программ и учебников; анализ опыта работы учителей математики.Структура работы включает в себя введение, две главы, заключение и список использованной литературы. Глава 1. Теоретические основы обучения решению уравнений в начальной школеПонятие уравнение и его место в курсе математики начальной школыВ настоящее время сложно представить школьный курс математики без понятия уравнение. Большинство задач сводятся к решению и применению различных видов уравнений. При этом уравнения, являются одним из средств моделирования явлений из окружающего нас мира и знакомство с ними, а также они являются существенной частью математического образования.Понятие уравнение относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и строгое, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным курсом математики.В словаре по педагогике под редакцией В.А. Мижерикова, дается следующее определение понятию уравнения – это два выражения, которые соединены знаком равенства и в них входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными [16, с. 56].Е.А. Крапивина, говорит о том, что уравнение, представляет собой равенство, содержащее в себе неизвестное число, значение которого нужно найти [15, с. 15].И.А. Моргунова, указывает на то, что понятие уравнение, является равенством, которое выполняется только при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, которые входят в состав уравнения, могут быть неравноправными: одни могут принимать все свои допустимые значения, а другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными данного уравнения (как правило, их обозначают последними буквами латинского алфавита x, y, z, u, v, w) [18, с. 23].Рассмотрев множество определений понятия уравнение можно сделать вывод, что уравнение – это вид равенства с неизвестной величиной, которая чаще всего обозначается латинской буквой. При этом числовое значение данной буквы, позволяющее получить верное равенство, называется корнем уравнения.В школьном курсе математики термин «уравнение» называют «выражение» или «предложение с переменной» [15, с. 18].Можно выделить основные признаки понятия уравнение [4, с. 8]:является равенством;содержит букву, значение которой неизвестно и его надо найтиПонятие «решить уравнение», является центральным.Решение уравнения представляет собой преобразование исходного уравнения к более простому уравнению, способ решения которого уже известен.Решить уравнение – значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет.Например, установим, является ли уравнением с одним неизвестным равенство х+0=х. Если требуется найти это неизвестное число, то рассматриваемое утверждение является уравнением. Если же рассматривать это равенство, как буквенную запись правила: при сложении любого числа с нулем получается то же самое число, то утверждение не является уравнением.У уравнения х+0=х сколько угодно решений: любое число х является его решением. У уравнения a+3=4+a нет решений, а у уравнения a+3=4 одно решение: a=1В определении понятия уравнение используется один из двух терминов: «переменная» или «неизвестное». Переменная — это величина, характеризующаяся множеством значений, которое она может принимать.И.А. Моргунова, говорит о том, что уравнения имеют важное теоретическое значение, а также служат в практических целях. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений [18, с. 47].По мнению А.В. Самойловой, знакомить учащихся в начальной школе с понятием уравнения надо как можно раньше и в процессе их решения осуществлять работу по усвоению детьми правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий [18, с. 8].Математические понятия, в свою очередь, являются важнейшей неотъемлемой частью науки и учебного предмета математики. В начальном курсе математики учитель старается знакомить младших школьников с большинством понятий наглядно, путём созерцания конкретных примеров или практического оперирования ими, опираясь при этом на жизненный опыт учащихся.В.А. Далингер, считает, что внимание должно быть направлено на умение определять понятия, а не на их заучивание. Следует правильно донести до учащихся, что научные понятия изменчивы: определение понятия – это лишь один из начальных этапов его формирования, а затем происходит процесс, который представляет собой развитие понятий, который характеризуется как постепенное уточнение и усвоение содержания и объёма понятия, его связей и отношений с другими понятиями [10, с. 48].Как отмечает Г.Г. Кочеткова, формирование понятия, является длительным и сложным процессом, которому следует уделять достаточное внимание в образовательном процессе. Важным этапом при формировании понятий, является усвоение его существенных признаков. Словесное определение понятия должно быть итогом работы по усвоению существенных признаков. Следует отметить, что бывает так, когда даётся словесное определение понятия, и оно сразу же используется в дальнейшей работе. Преувеличение роли при словесном определении, является одной из причин пробелов в знаниях учащихся [14, с. 18].Совершенно иного мнения придерживается П. Я. Гальперин, который считает, что формирование понятия не следует растягивать во времени, что это можно осуществить в один приём, когда содержание нового понятия усваивается одновременно, в полном объеме и правильном соотношении признаков, сразу применяется на всем диапазоне намеченного обобщения [7, с. 35].Развитие математических понятий происходит от простого к сложному, или от конкретного к обобщенному. Развитие понятий может происходить поэтапно, при этом на новом уровне обобщения, углубляющем или расширяющем содержание развиваемого понятия.В процессе усвоения научных знаний младшие школьники сталкиваются с разными видами понятий. Формирование понятия уравнения в начальной школе подготавливает младших школьников к более успешному изучению математики в дальнейшем.Из истории математики известно, что большая часть задач математического характера была связана с вычислениями. В V-VI вв. до н. э. на практике возникали задачи, в которых значение величины задавалось некоторыми условиями, как мы бы сказали сейчас, составления уравнения или системы уравнений. Далее стали формироваться алгебраические уравнения, например вавилонские вычислители, умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени [4, с.5]. В итоге был создан метод решения текстовых задач, который послужил в дальнейшем основой для выделения математического компонента и его независимого изучения. На рубеже XVI-XVII вв. алгебра, является частью математики, обладающая своим предметом, методом и областями приложения. Развитие математики как науки, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании её методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. По мнению А.В. Самойловой, такая линия развития математики как науки упрочила положение уравнения как одного из основных математических понятий, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и применения [18, с.47]: 1) уравнение, является средством для решения текстовых задач; 2) уравнение как формула, служит в математике объектом изучения; 3) уравнение, являющееся формулой. В словаре по педагогике под редакцией В.А. Мижерикова [16, с.18], дается следующее определение понятию уравнения – это два выражения, которые соединены знаком равенства и в них входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными. На практике и в научных задачах, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношения, которым оно удовлетворяет. А.В. Белошистая, в своих работах, пишет о том, что «Равенство, которое содержит в себе неизвестное число, следовательно, которое надо найти – называется уравнением» [3, с. 20]. Понятие уравнение, по мнению Н.Б. Истоминой [11, с.56], можно разделить на две большие группы, такие как алгебраические и трансцендентные. Алгебраические уравнения подразумевают под собой, такие уравнения, в которых для нахождения корня уравнения используются только алгебраические действия, а также возведение в степень и извлечение натурального корня. Трансцендентные в свою очередь, являются уравнения, в которых для нахождения корня используются неалгебраические функции.Н.Б. Истомина [11, с.89] разделяет алгебраические уравнения на следующие виды: целые; дробные; иррациональные. Заметим также, что дробные и иррациональные уравнения можно свести к решению целых уравнений. Трансцендентные уравнения она подразделяет следующим образом: показательные; логарифмические; тригонометрические; смешанные. Рассмотрев множество определений понятия уравнения можно сделать вывод, что уравнение – это вид равенства с неизвестной величиной, которая чаще всего обозначается латинской буквой. При этом числовое значение данной буквы, позволяющее получить верное равенство, называется корнем уравнения. Можно выделить основные признаки понятия уравнение (рис. 1.1): Рис. 1.1 Основные признаки понятия уравнениеИными словами, равенство является уравнением, когда подчиняется указанным правилам записи – содержит букву, значение которой нужно найти. Понятие «решить уравнение», является наиболее встречаемой задачей. Решение уравнения представляет собой преобразование исходного уравнения к более простому уравнению, с которым уже знакомы и можно решить. Несколько уравнений с одной переменной образуют совокупность или систему уравнений. Решением системы уравнений является пересечение множеств корней уравнений, составляющих данную систему.1.2 Виды уравнений и процесс их решенияОдной из особенностей модернизации содержания начального математического образования в настоящее время является его алгебраизация, то есть включение в учебный курс математики начальных классов вопросов, касающихся таких понятий, как числовые и буквенные выражения, числовые и буквенные равенства и неравенства, уравнения и др. Многие методисты отмечают, что раннее знакомство с языком алгебры позволяет не только обобщить знания младших школьников в целом о понятии числа и действий над числами, но и способствует формированию и развитию основных приемов логического мышления (в частности, обобщения и абстрагирования), а также позволяет заложить прочную теоретическую базу для успешного усвоения учащимися алгебраического материала в систематическом курсе алгебры средней школы [10, с. 26].Другими словами, на начальном этапе обучения математике происходит пропедевтика основных понятий алгебраической содержательной линии школьного курса математики, в частности, такого понятия как уравнение. Ввиду важности вопросов, связанных с понятием уравнения и формированием умения решать уравнения, изучение этого материала в современной методике математики организовано в отдельную содержательно - методическую линию - линию уравнений и неравенств.Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, их видов, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики. При этом выделяют три основных направления в изучении линии уравнений, которые отражают роль и значение данной темы в школьном курсе математики (рис. 1.2). [6, с. 16].Рис. 1.2 Три основных направления в изучении линии уравненийЛиния уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей - приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем [2, с. 21]. Существуют следующие виды уравнений (рис. 1.3): Рис. 1.3 Виды уравненийЛинейное уравнениеЛинейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax=b, где a и b — числа, x — переменная.Корнем линейного уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.Например, корень уравнения 5x=40 равен 8, так как при x=8 это уравнение превращается в верное числовое равенство:5*8=4040=40При a≠0 линейное уравнение имеет единственное решение.Чтобы найти x, обе части уравнения нужно разделить на число, стоящее перед иксом:ax=bПри a=0, b≠0 линейное уравнение0x=bНе имеет решенийПри любом значении x левая часть уравнения равна нулю, а правая — отлична от нуля. То есть нет ни одного значения x, при котором уравнение обратилось бы в верное числовое равенство [8, с. 18].При a=0, b=0 линейное уравнение0x=0имеет бесконечное множество решений.При любом значении x левая часть уравнения 0x=0 обращается в нуль, в правой части также стоит нуль. Значит, любое число является корнем этого уравнения, то есть, при любом значении x это уравнение обращается в верное числовое равенство.Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.Раскроем скобки:5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒свободные члены:5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.Приведем подобные члены: 0х = 0.Ответ: х - любое число.Квадратное уравнениеКвадратное уравнение — уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.Числа a, b, c называются коэффициентами квадратного уравнения.a называется первым коэффициентом;b называется вторым коэффициентом;c свободным членом.Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида, первый коэффициент которого равен единице (a=1).Если в квадратном уравнении коэффициенты b и c не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение . Если один из коэффициентов b или c равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например,  .НеполнымРешите уравнение:D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16.D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:Рациональное уравнениеРациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения.Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают. Если в дроби нет деления на переменную (то есть на x, y и т.д.) тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением, вот примеры: =13- 4 (2y-3)=y-9Дробно рациональное уравнение - рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.Уравнение: 3. Является дробным, так как тут есть деление на переменную x, а это говорит о том, что уравнение не целое.Биквадратные уравненияБиквадратным уравнением — называется уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0.Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки . Новое квадратное уравнение относительно переменной Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения   и  . Решая эти два уравнения (  и  ) относительно переменной  , мы получаем корни данного биквадратного уравнения.Порядок действий при решении биквадратных уравнений [10, с. 26].▪ Ввести новую переменную ▪ Подставить данную переменную в исходное уравнение▪ Решить квадратное уравнение относительно новой переменнойПосле нахождения корней подставить их в нашу переменную и найти исходные корни биквадратного уравнения.Кубическое уравнениеКубическое уравнение – алгебраическое уравнение третьей степени, общий вид которого следующий: 1. Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень .Пример.Решением уравнения   является  =-2.2. Кубическое уравнения вида в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую частьПримерРешить уравнение Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители:Кубические уравнения вида  , в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.Для этого можно использовать следующие утверждения:Если сумма  , то корнем уравнения является число 1.Если  , то корнем уравнения является число -1.Пусть  -целые числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень.  , то для него будет выполнено:  делится нацело на  ;  делится нацело на  .Пример.У уравнения  сумма коэффициентов равна7+3-1-9=0, значит  является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения. Выводы по первой главеРассмотрев теоретические основы обучения решению уравнений в начальной школе, можно сделать следующие выводы: Уравнение – это вид равенства с неизвестной величиной, которая чаще всего обозначается латинской буквой. При этом числовое значение данной буквы, позволяющее получить верное равенство, называется корнем уравнения.Решение уравнения представляет собой преобразование исходного уравнения к более простому уравнению, с которым уже знакомы и можно решить. Несколько уравнений с одной переменной образуют совокупность или систему уравнений. Решением системы уравнений является пересечение множеств корней уравнений, составляющих данную систему.Существуют следующие виды уравнений:Линейное уравнение;Квадратное уравнение;Рациональное уравнение;Биквадратные уравнения;Кубическое уравнение.Глава 2. Методические приемы обучения младших школьников решению уравнений2.1 Особенности решения уравнений в 3-м классеАнализ программ начального обучения, изучение опыта учителей школ показывают, что в методике обучения решению уравнений выделяются три этапа: подготовительный этап к решению уравнений (упражнения, направленные на усвоение состава чисел, примеры с «окошками», например, □ + 3 = 7); знакомство учащихся с уравнениями видов х+2=5, 4+х=7, х-3=1, решаемыми способом подбора; решение уравнений на основе знания зависимости между компонентами и результатом действий [4, с. 6]. При этом следует преимущественный характер двух способов решения уравнений. Учитель должен знать, что уровень сложности уравнений и способы их решений зависят не столько от материала учебника, дающего только усредненную ориентировку, сколько от самого учителя, от его знаний в области математики. И в связи с этим целесообразно было бы не ограничиться известными способами решения уравнений, но и рассмотреть по мере возможности другие способы, такие как: Решение уравнений с помощью отрезка натурального ряда чисел (например: х+4=13). Когда перед каждым учеником на парте отрезок натурального ряда от 1 до 19, где школьники находят в данном ряду число 13. Учитель отмечает, что число 13 получено после того, как к какому-то числу прибавили 4. Значит, число 13 больше неизвестного числа на 4, а неизвестное число меньше числа 13 на 4. Как же найти неизвестное число? (Если уменьшим 13 на 4, то найдем неизвестное число). Дети, двигаясь влево от числа 13 по отрезку натурального ряда шаг за шагом, уменьшая по одному, получают число 9. По рисунку видно, что, если 13 уменьшить на 4 получается 9, значит х=9. Записывают, как найдено неизвестное число: х = 13-4; х = 9. Решение уравнения методом подбора (например: х+5=8), когда ученики, решая задание, получают такие ответы 1, 2, 4, 3, где учитель предлагает написать вместо х в уравнение эти числа. 1+5 ≠8. Необходимо сравнить числа 6 и 8. 6≠8. Получилось равенство? (Нет). 6 х=9 - 5=4 9 - 5=4. Решение уравнения (связь сложения и вычитания) (например: 23+х=37), где над компонентами записывается сокращенно их названия. сл. сл. с. 23+ х = 37 (школьники решают х=37-23, х=14). В равенстве х=37-23 подставляем значение х. Получаем запись: 14=37-23 или, переставляя левую и правую части. ум. выч. раз. 37 - 23 = 14. Над числами записываем названия компонентов вычитания [5, с. 145]. Сравниваем равенства: 23+14=37 и 37- 23=14. В обоих равенствах одни и те же числа, 37, 23, 14. Внимательно рассматриваем, как меняются названия компонентов при выполнении каждого из действий: 23 - слагаемое, а во втором - вычитаемое, 14 - слагаемое, а во втором - разность, 37 - сумма, а во втором - уменьшаемое. Получается на доске такая запись. ум. выч. раз. сум. сл. сл. 37 - 23 = 14 Над числом 37 написано и сумма и уменьшаемое. При сложении число 37 - сумма. Докажите? (Потому что 37 больше числа 14 и больше 23, а если сложить 23 и14, получится 37. А при вычитании число 37 не может быть вычитаемым, так как число 37 больше и числа 14, и числа 23). Уравнения вида 8•6+х=8•7 могут быть решены учащимися таким способом: 48+х=56; х=56-48; х=8. Учитель может предложить, чтобы школьники подумали: как можно получить значение х иначе, другим способом. (Умножение здесь не нужно. Следует внимательно рассмотреть само уравнение, тогда станет ясно, каково соотношение левой и правой частей уравнения: умножается одно и то же число 8 в обеих частях равенства, но в левой части оно умножается на 6, а в правой – на 7. Следовательно, для того чтобы получить выражение 8·7, надо к выражению 8·6 прибавить одну восьмерку. Значит, значение х может быть только 8). Решение уравнения разными способами.Например: 1. (а+14)-6=12 2. (а+14)-6=12 а+14= 12+6 а+(14-6)=12 а+14=18 а+8=12 а=18-14 а=12-8 а=4 а=4. В первом случае решение опирается только на взаимосвязь между компонентами действий, а во втором на первом этапе решения используется один из способов вычитания числа из суммы и только затем взаимосвязь между компонентами действий. Решение уравнения, используя отрезки (например: х+4=9). х=9-4; х=5. Здесь четко видно, что какое действие должно быть применено для нахождения неизвестного. Уравнение х•2+6=16можно решить и так: х2 +6 х 16 :2 -6 16-6=10 10:2=5 х=5. Рисунок показывает ход решения. Решение уравнения (разность как дополнение). Например: 8+х=12. Учитель ставит вопрос: какая часть из этого рисунка является уменьшаемым? Далее выделяется часть рисунка, являющаяся вычитаемым. Ученик записывает цифрами и знаками решение уравнения х=12-8; х=4. Составьте и решите уравнения:Предоставьте всевозможные равенства из чисел: Решите уравнение:Решение уравнений, используя зависимость между компонентами и результатами арифметических действий. Для их решения необходимо знать шесть правил нахождения неизвестного: слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя. Рассмотрение уравнений с разных сторон, их решение различными способами оказываются существенными в формировании и закреплении вычислительных навыков, положительно скажется на освоении учащихся соответствующих знаний в средних классах [10, с. 26].Виды упражнений, направленные на обучение младших школьников решению уравнений в учебниках математики представлены в приложении 1. 2.2. Сложности и пути их преодоления при изучении уравнений на уроках математики в начальной школеБольшую трудность для младшего школьного возраста представляет умение решать уравнения. Изучение уравнений в начальной школе носит пропедевтический характер. Поэтому очень важно подготовить детей в начальной школе к более глубокому изучению уравнений в старших классах. В начальной школе в процессе работы над уравнением закрепляются правила о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника с его площадью, формируются вычислительные навыки и понимание связи между компонентами действий, закрепляется порядок действий и формируется умения решать текстовые задачи, идет работа над развитием правильной математической речи. На уроках закрепления уравнения позволяют разнообразить виды заданий.Изучение уравнений начинается с подготовительного этапа уже в 1 классе, когда дети, действуя с предметами, решают такие «задачи»:left0Затем учащиеся переходят к действиям над числами и выполняют задания, связанные с нахождением неизвестного числа в «окошке», например:left0Дети находят число либо подбором, либо на основе знаний состава числа. На данном этапе учителю необходимо включать в устные упражнения следующие задания:- Сколько надо вычесть из 3, чтобы получилось 2?- Сколько надо прибавить к 2, чтобы получилось 4?На втором этапе учащиеся знакомятся с понятиями «уравнение» и «корень уравнения». На протяжении нескольких уроков дети учатся решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым. Названия компонентов арифметических действий были введены в речевую практику учащихся и использовались для чтения равенств и выражений, пока правило нахождения неизвестного компонента в уравнениях не заучивается. Уравнения решаются на основе взаимосвязи между частью и целым. При изучении данной темы дети должны научиться находить в уравнениях компоненты, соответствующие целому (сумма, уменьшаемое), и компоненты, соответствующие его частям (слагаемое, уменьшаемое, разность). При решении уравнений детям нужно будет вспомнить лишь два известных правила [10, с. 26]:Целое равно сумме частей.Чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть.Эту работу облегчает графическое обозначение части ______ и целого , а также понимание того, что целое – это большее число.Для того чтобы облегчить работу над формированием навыка решения уравнений, можно проводить в классе следующую работу.Составление и решение уравнений по схеме.left09Х 72. Составление и решение уравнений с помощью модели числа.- Решите уравнение:Х + D : : = DDD : :Х = DD- Замените модели числами:Х + 14 = 34Х = 203. Уравнения с буквами.- Как из волка получить вола?ВОЛК – Х = ВОЛХ = ВОЛК – ВОЛХ = К4. Составление и решение уравнений с помощью числового луча.left0+Х5. Выполни проверку и найди ошибку.Х + 8 = 16Х= 16 + 8Х = 24Дети решают: 24 + 8 = 1632 ≠ 166.Составиьуравнения с числами Х, 4, 10 и реши их.Дети решают:Х + 4 = 10; 10 – Х = 4; Х – 10 = 4 и т.п.7. Из данных уравнений реши те, где Х находится сложением.Х +16 = 20; Х -18 = 30; 29 – Х = 198. Рассмотри решение уравнения и вставь соответствующий знак.Х ? 12 = 23Х = 23 – 12К концу изучения темы дети учатся комментировать уравнения через компоненты действий. Работа строится следующим образом:1) читаю уравнение;2) нахожу известные и неизвестные компоненты (части и целое);3) применяю правило (по нахождению части или целого);4) нахожу, чему равен Х;5) комментирую через компоненты действий.Следующий этап – решение уравнений вида: а ∙ Х = в; а : Х = в; Х : а = в.Уравнения этого вида решаются на основе взаимосвязи между площадью прямоугольника и его сторонами. Поэтому изменяется и графическое обозначение компонентов уравнения:площадь прямоугольника, а _____ - его стороны. Здесь важно понять то, что обучение решению и комментированию уравнений ведется по определенной схеме:1 этап: Решение с одновременным комментированием правил нахождения площади и его сторон. Например, Х : 2 = 5 ( Х – площадь прямоугольника, 2 и 5 – его стороны).Х = 2 ∙ 5 (чтобы найти площадь прямоугольника, надо перемножить его стороны)Х = 102 этап: Решение уравнений с комментированием(через площадь прямоугольника и его стороны).Комментирование через компоненты действий после решения уравнения.Для отработки навыков решения уравнений на умножение и деление можно использовать следующие упражнения.1. Выполни проверку и найди ошибку.Х : 2 = 4Х = 4 : 2Х = 2Дети решают: 2 : 2 = 41 ≠ 42. Проанализируй решение уравнения и найди ошибку.Х ∙ 3 = 9Х = 3 ∙ 9Х = 27Ошибки: 1) 9 – это площадь, на целое, ее надо обозначить прямоугольником;2) Х – это сторона, надо площадь разделить на другую сторону.3. Составь уравнения с числами 3, Х, 12 и реши их.Дети составляют: 12 : Х = 3; 3 ∙ Х = 12 и т.п.4. Изданных уравнений реши те, которые решаются делением.Х ∙ 2 = 6; Х : 4 = 16; 12 : Х = 45. Рассмотри решение уравнений и вставь соответствующий знак в запись уравнения.Х ? 6 = 24Х = 24 : 66. Составь и реши уравнение:- Какое число надо умножить на пять, чтобы получилось 25?7. Реши:Х ∙ 3 = 15; Х : 4 = 5; 16 : Х = 2- Какое уравнение лишнее? Объясни свой выбор.Дети объясняют:- первое уравнение – Х равен нечетному числу;- второе уравнение – Х находим умножением;- третье уравнение – неизвестен второй компонент и т.п.Последний этап при работе с уравнениями в начальной школе – знакомство учащихся с составными уравнениями. Решение таких уравнений строится на качественном анализе выражения, стоящего в левой части уравнения: какие действия указаны в выражении, какое действие выполняется последним, как читается запись этого выражения, какому компоненту этого действия принадлежит неизвестное число и т.п. К этому времени учащиеся должны твердо овладеть следующими умениями:решение простых уравнений,анализ решений уравнений по компонентам действий,чтение записи выражений в два – три действия,порядок выполнения действий в выражениях со скобками и без них.На данном этапе дети должны понимать, что в записи уравнений в качестве неизвестного числа могут использоваться различные буквы латинского алфавита, например: К + 4 = 3; Р – 3 = 8; Z : 7 = 6 и т.п.Запись решения уравнений сопровождается словесным описанием выполняемых действий. Для выработки правильной математической речи и навыков решения первых уравнений данного вида необходимо использовать таблицы с образцами решений. Но так как дети уже с 1-го класса знакомы с записью различных алгоритмов, то можно использовать только алгоритм решения уравнений, по которому дети и анализируют уравнения.Выводы по второй главеВ ходе изучения понятия уравнение, как и любого другого математического понятия, выделяют такие этапы работы, как подготовительный, основной и этап закрепления. Первый этап – подготовительный. Цель его – актуализировать знания, необходимые для знакомства с новым понятием. Следовательно, перед знакомством с понятием уравнение обучающиеся должны вспомнить верное и неверное числовые равенства, выражение с переменной, правила взаимосвязи между результатом и компонентами действия и повторить применение этих правил при выполнении заданий. В зависимости от формулировки задания к такому упражнению, оно будет нацелено или на повторение состава числа, или на подготовку к решению уравнений.Например, такая формулировка задания: «Какое число надо поставить наместо «окошка»?», направлена на повторение состава числа 7, так как при ответе на этот вопрос обучающиеся рассуждают: «Семь – это четыре, да еще 3». Если задание звучит следующим образом: «Какое число можно поставить на место «окошка», чтобы получилось верное равенство? Почему нельзя поставить 7, 5 или 4?», то это будет подготовкой к решению уравнений, так как при выполнении задания обучающиеся анализируют полученное равенство и объясняют, почему в «окошко» нельзя подставить предложенные числа. Однако некоторые ученики при выполнении рассматриваемого выше упражнения □ + 4 = 7 уже могут предложить для нахождения неизвестного связь между результатом и компонентами действия сложения. «Окошко» стоит на месте первого слагаемого, а значит оно неизвестно. Чтобы найти первое слагаемое, нужно из суммы вычесть второе слагаемое. В процессе таких рассуждений при выполнении деформированных упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть один из компонентов арифметического действия. Таким образом, можно сделать вывод, что в большей части программ авторы переходят к содержанию понятия «уравнение», используя деформированные упражнения. Второй этап является основным. На нем проводится работа над определением понятия. Цель этапа – сформировать представление об уравнениях, их существенных признаках и решении уравнений. Первая задача, стоящая перед учителем, познакомить обучающихся с определением уравнения. Как уже отмечалось ранее, подходы авторов учебников начального курса математики к определению понятия уравнение разные.Важно отметить, по какой бы программе не работал учитель, дано в ней строгое определение понятия или нет, ему необходимо продумать, какие математические объекты необходимо подобрать, чтобы ученики уяснили содержание изучаемого понятия. При подборе таких объектов важно, чтобы в них повторялись существенные признаки понятия и варьировались несущественные признаки. В противном случае это может привести к ошибкам в усвоении понятия уравнение.ЗаключениеМатематика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XXI век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.В данной работе были представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные. На основании изученного теоретического материала можно сделать вывод, что уравнения необходимы в современном мире не только для решения практических задач, но и в качестве научного инструмента. Поэтому так много ученых изучали этот вопрос и продолжают изучать.Обучение решению уравнений – благодатный материал для развития интеллектуальных способностей младших школьников, для формирования основных приемов логического мышления, в том числе и приемов анализа и синтеза, обобщения, умений строить логические рассуждения. Решение различных уравнений способствует формированию обобщенных представлений младших школьников о понятии числа, более глубокому усвоению ими взаимосвязей между компонентами основных арифметических действий, совершенствованию и закреплению сформированных вычислительных навыков учащихся. Кроме этого, алгебраическая линия НКМ направлена на пропедевтику основных алгебраических понятий, в том числе и понятия равносильных преобразований, на установление взаимосвязей с числовой, функциональной линией курса математики и с алгебраическим методом решения текстовых арифметических задач. В этом и состоит образовательное значение обучения младших школьников решению уравнений. Воспитательное значение работы с уравнениями проявляется в таких характеристиках, как самостоятельность, аккуратность и культура оформления своих записей и т.п.Библиографический списокАбрамова, О. Г. Решение уравнений 1 класс [Текст] / О. Г. Абрамова // Начальная школа. – 2019. – №9. – С.41-43.Асмолов, А. Г. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе: от действия к мысли [Текст] : пособие для учителя / А. Г. Асмолов. – Москва : Просвещение, 2018. – 151 с.Аширбаев Х.А., Момбиева Г.А., Керимбеков М.А., Жунисбекова Ж.А. РОЛЬ ИННОВАЦИОННО-ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ В СОВЕРШЕНСТВОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 7. – С. 19-23Баматова Д.К. Развитие логического мышления у младших школьников в процессе обучения математике // Успехи современного естествознания. - 2018. - № 12. - С. 19.Вейль, Г. Математическое мышление [Текст] / под ред. Б. В. Бирюкова, А. Н. Паршина. – Москва : Наука ; гл. ред. физ.-мат. лит., 2019. – 400 сВеклирова, Х. М. Формирование логических структур у старших дошкольников [Текст] / Х. М. Веклирова. – Обнинск : Светоч, 2018. – 87 с.Гальперин, П.Я. О методе формирования умственных действий [Электронный ресурс] / П.Я. Гальперин // Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии – 2010. – 234 с.Груденов, Я.И. Психолого – дидактические основы методики обучения математики [Электронный ресурс] / Я.И. Груденов // Методическое пособие для учителя начальных классов – 2012. – 154 сГороховская, Г. Г. Решение нестандартных задач – средство развития логического мышления младших школьников [Текст] / Г. Г. Гороховская // Начальная школа. – 2019. – № 7. – С.113-115.Далингер, В.А. Методика работы над формулировкой, доказательством и закреплением теоремы / В.А. Далингер. – Омск: ОмГПУ, 2010. – 196 с.Н.Б. Истоминой, Егупова М.В. Практические приложения математики в школе. Учебное пособие для студентов педагогических ВУЗов. - М.: Прометей. 2015. - 248 с..Зайцева С.А., Румянцева И.Б., Целищева И.И. Методика обучения математике в начальной школе. - М.: Владос. 2012. - 192 с.Коростелева, О. А. Методика работы над уравнениями в начальной школе [Текст] / О. А. Коростелева // Начальная школа плюс До и После. – 2017. – № 2. – С. 36Кочеткова, Г.Г. Развитие пространственного мышления младших школьников [Электронный ресурс] / Г.Г. Кочеткова // Научная электронная библиотека. – 2006. – 76 с.Крапивина, Е. А. Развитие пространственных представлений у младших школьников [Текст] / Е. А. Крапивина. – Москва : Просвещение, 2019.– 96 сМижериков, В.А. Словарь по педагогике / В.А. Мижериков. – М.: Сфера, 2014. – 154 с.Саидова, Н. Р. Проблемы преподавания математики в начальных классах и некоторые способы их решения / Н. Р. Саидова. — Текст: непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 16 (202). — С. 315-317Самойлова, А.В. Работа над уравнениями в начальной школе [Электронный ресурс] / А.В. Самойлова // Педагогическая библиотека. – 2011. – 230 с.Программы по математике для общеобразовательных учебных заведений в Российской Федерации: Начальные классы (1-4) / сост. Т. В. Игнатьева, О. Н. Трунова, Т. А. Федосова. М., 2011. С. 12-86.Фридман, Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: учителю математики о педагогической психологии [Текст] / Л. М. Фридман. – Москва : Просвещение, 2018. – 160 сПриложение 1Виды упражнений, направленные на обучение младших школьников решению уравнений в учебниках математики№Вид упражненияПример задания1Задания с «окошками» и пропусками чисел1) 1+2=3       4+2=63=□+2       6=□+23-2=□        6-2=□2) Какие числа пропущены?3) Заполни пропуски так, чтобы равенства стали верными.12+□=20    8+7-□=14     11-□=5    □-6=72Нахождение уравнений среди других математических записей1) Найди среди следующих записей уравнения, выпиши их и реши.30+х>40   45-5=40   60+х=90  80-х   38-8<50  х-8=102) Найди лишнюю запись:х+3=15    9+в=12     с-3     15-d=73Решение уравнения подбором1) Из чисел 7, 5, 1, 3 подбери для каждого уравнения такое значение х, при котором получится верное равенство.9+х=14   7-х=2   х-1=0    х+5=6х+7=10  5-х=4   10-х=5   х+3=42) Прочитай уравнение и подбери такое значение неизвестного, при котором получится верное равенство.k+3 = 13   18=y+10     14=х+73) Подбирая значения х, реши уравнения:х•6=12     4•х=12     12:х=34Нахождение неизвестного компонента арифметического действия1)Слагаемое108Слагаемое420Сумма127015262) Реши уравнения с объяснением:43+х=90     х-28=70    37-х=50Закончи выводы:Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо…Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо…Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо…5Решение уравнений без указания на способ нахождения неизвестного1) Реши уравнения:73-х=70    35+х=40    k-6=242) Реши уравнения и сделай проверку:28+х=39     94-х=60    х-25=753) Чему равен х в следующих уравнениях?х+х+х=30     х-18=16-16   43•х=43:х   х+20=12+84) Реши уравнения с объяснением:18•х=54    х:16=3    57:х=35) Запиши уравнения и реши их:А) Неизвестное число разделили на 8 и получили 120.Б) На какое число нужно разделить 81, чтобы получить 3?6Решение уравнений без указания на способ нахождения неизвестного, но с дополнительным условием1) Выпиши те уравнения, решением которых является число 10.х+8=18  47-у=40  у-8=2    у-3=7   50-х=40  х+3=132) Подбери пропущенные числа и реши уравнения:х+□=36     х-15=□    □-х=203) Выпиши уравнения, которые решаются вычитанием,  и реши их:х-24=46   х+35=60   39+х=59   72-х=40   х-35=607Объяснение уже решенных уравнений, поиск ошибок1) Объясни решение уравнений и проверку:76:х=38         х•7=84х=76:38         х=84:7х=2                  х=1276:2=38         12•7=8438=38             84=842) Найди уравнения, решенные неправильно и реши их:768-х=700    х+10=190    х-380=100х=768-700    х=190+10    х=380-100х=68             х=200           х=2808Сравнение уравнений без вычисления и с вычислением значения неизвестного, сравнение решений уравнений1) Сравни уравнения каждой пары и скажи, не вычисляя, в котором из них значение х будет больше:х+34=68    96-х=15х+38=68    96-х=182) Сравни уравнения каждой пары и их решения:х•3=120    х+90=160     75•х=75х:3=120    х-90=160      75+х=759Решение задач алгебраическим способом1) Реши задачи, составив уравнение:А) Произведение задуманного числа и числа 8 равно разности чисел 11288 и 2920.Б) Частное чисел 2082 и 6 равно сумме задуманного числа и числа 48.2) Реши задачу: «В книге 48 страниц. Даша читала книгу в течение трех дней, по 9 страниц ежедневно. Сколько страниц ей осталось прочитать?»