Обработка данных наблюдений, математические методы в геологии

Глава 1. Первичная обработка выборочных данных. Построение гистограмм и графиков эмпирических функций.Таблица 1.1 Статистические данныеX'(n)Y'(n)5,7-2,72,7-1,47,4-8,18,1-7,37,9-2,52,7-6,36,3-55,2-5,65,8-3,43,4-3,33,2-5,15,1-3,73,6-2,95,7-4,44,3-66,1-2,32,3-0,3-0,2-5,85,6-7,57,8-6,26,6-5,65,9-3,63,7-2,32,1-1,91,6-8,18,24,7-5,1-5,24,5-7,27,5-2,62,7-4,54,4-7,57,8-6,77,2-4,95,2-1,31,1-3,93,6-1,91,7-10,811,1-0,30,5-3,73,30-0,4-13,513,90,30,2-8,99-5,15,51,5-1,9-9,59,4-10,111-1,82,2-4,44,2-11,4Произведем первичную обработку выборочных данных для признака X'(n).Определим шаг группирования, так как объем выборки =50, применим формулу:h=xmax-xmin6,47xmax=13,9xmin=-5,1, следовательно,h=13,9-(-5,1)6,47≈2,94Определим границы интервалов группирования по формуле:xнач=xmin-h2;x0;x1; x1+h=x2;x1;x2x0=-5,1-1,47=-6,57Промежуточные интервалы получаем, прибавляя к концу предыдущего интервала шаг группирования.x1=-3,63; x2=-0,70; x3=2,24; x4=5,18;x5=8,11;x6=11,05; x7=13,9Определим частоты ni:Для интервала (-5,1; -3,63]: -5,1 – следовательно =1Для интервала (-3,63; -0,70]: -1,9 – следовательно = 1Для интервала (-0,70; 2,24]: -0,4, -0,2, 0,2, 0,5; 1,1; 1,6; 1,7; 2,1; 2,2 – следовательно = 9Для интервала (2,24; 5,18]: 2,3; 2,7; 2,7; 2,7, 3,2; 3,3; 3,4; 3,6; 3,6; 3,7; 4,2; 4,3; 4,4; 4,5; 5,1 – следовательно = 15Для интервала (5,18; 8,11]: 5,2; 5,2; 5,5; 5,6; 5,7; 5,7, 5,8; 5,9; 6,1; 6,3; 6,6; 7,2; 7,4; 7,5; 7,8; 7,8; 7,9; 8,1 – следовательно =18Для интервала (8,11; 11,05]: 8,2; 9; 9,4; 11 – следовательно = 4Для интервала (11,05; 13,9]: 11,1; 13,9 - следовательно = 2Определим относительные частоты по формуле:wi=nin; w1=150=0,02 и т.д. (табл.1.2)Определим накопленные частоты:Fi=wiF1=0,02;F2=0,02+0,02=0,04;F3=0,04+0,18=0,22 и т.д. (табл.1.2)Определим плотности относительных частот:fi*=wih;f1*=0,022,94=0,07; f2*=0,022,94=0,007; f3*=0,182,94=0,061; f4*=0,32,94=0,102; f5*=0,362,94=0,123; f6*=0,082,94=0,027;f7*=0,042,94=0,014Составим вспомогательную таблицу для внесения и расчета показателей (табл. 1.2)Таблица 1.2 Вспомогательная таблицаxi-h2; xi+h2xiсередины интерваловniчастотыwiотносительные частотыFiнакопленные частотыfi*плотности относительных частот-6,57; -3,63-5,1010,020,020,007-3,63; -0,70-2,1610,020,040,007-0,70; 2,240,7790,180,220,0612,24; 5,183,71150,30,520,1025,18; 8,116,65180,360,880,1238,11; 11,059,5840,080,960,02711,05; 13,912,5220,0410,014∑501Построим гистограммы плотностей относительных частот и накопленных частот (рис. 1.1, рис 1.2)Рисунок 1.1 – Гистограммы плотности относительных частот и график эмпирической плотности распределенияРисунок 1.2 – Гистограмма плотности накопленных частот и график эмпирической функции распределенияВыборочная (эмпирическая) функция распределения Fi — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.Произведем первичную обработку выборочных данных для признака Y'(n).Определим шаг группирования, так как объем выборки =50, применим формулу:h=ymax-ymin6,47ymax=4,7ymin=-13,5, следовательно,h=18,2-(-13,5)6,47≈2,8Определим границы интервалов группирования по формуле:yнач=ymin-h2;y0;y1; y1+h=y2;y1;y2y0=-13,5-1,41=-14,9Промежуточные интервалы получаем, прибавляя к концу предыдущего интервала шаг группирования.y1=-12,1; y2=-9,28; y3=-6,47; y4=-3,65;y5=-0,84;y6=1,97; y7=4,78Определим относительные частоты по формуле:wi=nin; w1=250=0,04; w2=250=0,04; w3=950=0,18; w4=1850=0,36;w5=1350=0,26; w6=550=0,1; w1=150=0,02Определим накопленные частоты:Fi=wiF1=0,04;F2=0,04+0,04=0,08;F3=0,08+0,18=0,26 и т.д. (табл.1.3)Определим плотности относительных частот:fi*=wih;f1*=0,042,8=0,014; f2*=0,042,8=0,014; f3*=0,182,8=0,064; f4*=0,362,8=0,128; f5*=0,262,8=0,092; f6*=0,12,8=0,036f7*=0,022,8=0,007Составим вспомогательную таблицу для внесения и расчета показателей (табл. 1.3).Таблица 1.3 Вспомогательная таблицаyi-h2; yi+h2yiсередины интерваловniчастотыwiотносительные частотыFiнакопленные частотыfi*плотности относительных частот-14,91; -12,1-13,520,040,040,014-12,1; -9,28-10,720,040,080,014-9,28; -6,47-7,8790,180,260,064-6,47; -3,65-5,06180,360,620,128-3,65; -0,84-2,25130,260,880,092-0,84; 1,970,5650,10,980,0361,97; 4,783,3810,0210,007∑501Построим гистограммы плотностей относительных частот и накопленных частот (рис. 1.3, рис 1.4)Рисунок 1.3 – Гистограммы плотности относительных частот и график эмпирической плотности распределенияРисунок 1.4 – Гистограмма плотности накопленных частот и график эмпирической функции распределенияВыборочная (эмпирическая) функция распределения Fi — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.Глава 2. Точечные оценки параметров распределения.В основе большинства вычислений лежит расчет статистических характеристик случайной величины. К наиболее распространенным статистическим характеристикам одномерной случайной величины относятся размах, медиана, мода, среднее значение, дисперсия, среднеквадратичное отклонение, коэффициент вариации, асимметрия и эксцесс.Пусть имеется n измерений свойства х. Необходимо найти статистические характеристики этого множества измерений.Размах – это разность между максимальным хmax и минимальным хmin значениями свойства: p = хmax – хmin.Найдем размах для признака X'(n):px = 13,9 – (-5,1) = 19Найдем размах для признака Y'(n):py = 4,7 – (-13,5) = 18,2Медиана – средний член упорядоченного ряда значений. Для нахождения медианы нужно расположить все значения в порядке возрастания или убывания и найти средний по порядку член ряда. Приведем в таблице 2.1 все значения в порядке возрастания:Таблица 2.1№X'(n)Y'(n)1-5,1-13,52-1,9-11,43-0,4-10,84-0,2-10,150,2-9,560,5-8,971,1-8,181,6-8,191,7-7,5102,1-7,5112,2-7,3122,3-7,2132,7-6,7142,7-6,3152,7-6,2163,2-6173,3-5,8183,4-5,6193,6-5,6203,6-5,2213,7-5,1224,2-5,1234,3-5244,4-4,9254,5-4,5265,1-4,4275,2-4,4285,2-3,9295,5-3,7305,6-3,7315,7-3,6325,7-3,4335,8-3,3345,9-2,9356,1-2,7366,3-2,6376,6-2,5387,2-2,3397,4-2,3407,5-1,9417,8-1,9427,8-1,8437,9-1,4448,1-1,3458,2-0,3469-0,3479,4048110,34911,11,55013,94,7Так как, в середине ряда n – четного числа, оказалось два значения, тогда медиана будет равна их полусумме.Найдем медиану для признака X'(n):xmed= 4,5 + 5,1 2=4,8Найдем размах для признака Y'(n):ymed= - 4,5- 4,4 2=-4,45Мода – наиболее часто встречающееся значение случайной величины. В рассматриваемом выше примере группировка значений случайной величины в классы позволяет найти моду, которой на гистограммах (см. рис.1.1 для признака X' и рис.1.3 для признака Y') соответствует максимум частот. Один из приемов нахождения моды основан на параболической интерполяции частот по трем соседним классам, включая класс с максимальной частотой.Для признака X' это классы 2,24 – 5,18; 5,18 – 8,11; 8,11 – 11,05 с частотами соответственно 15, 18, 4. Обозначим частоты этих классов n1, n2, n3. Тогда мода:xmod=x0+h2*n1-n3n1-2n2+n3где x0 – середина класса с максимальной частотой признака X'.Подставляя численные значения, найдем моду:xmod=6,65+2,942*15-415-2*18+4=5,7.Для признака Y' это классы (-9,28) – (-6,47); (-6,47) – (-3,65); (-3,65) – (-0,84) с частотами соответственно 9, 18, 13. Обозначим частоты этих классов n4, n5, n6. Тогда мода:ymod=y0+h2*n4-n6n4-2n5+n6где y0 – середина класса с максимальной частотой признака Y'.Подставляя численные значения, найдем моду:ymod=-5,06+2,82*9-139-2*18+13=-4,66.Среднее значение (математическое ожидание) – это среднеарифметическое из всех измеренных значений:x=1ninixiДисперсия – это число, равное среднему квадрату отклонений значений случайной величины от ее среднего значения:σ2=1nnixi-x2Исправленную выборочную дисперсию находят по формуле:s2=nn-1*σ2Среднеквадратичное отклонение – это число, равное квадратному корню из дисперсии, следовательно: σ=σ2Среднеквадратичное отклонение имеет размерность, совпадающую с размерностью случайной величины и среднего значения. Асимметрия – степень асимметричности распределения значений случайной величины относительно среднего значения,A=1ninixi-x3σ3Эксцесс – степень остро- или плосковершинности распределения значений случайной величины относительно нормального закона распределения:E=1ninixi-x4σ4-3Асимметрия и эксцесс являются безразмерными величинами. Они отражают особенности группировки значений случайной величины около среднего значения.Вычислим статистические характеристики для X'. Для этого составим вспомогательную таблицу (табл. 2.2)Таблица 2.2 Вспомогательная таблица для расчетов статистических характеристик признака X'№xixi-xxi-x2xi-x3xi-x41-5,1-9,8196,24-944,089261,392-1,9-6,6143,69-288,801909,003-0,4-5,1126,11-133,43681,844-0,2-4,9124,11-118,37581,205-0,2-4,5120,34-91,73413,7260,5-4,2117,72-74,62314,1471,1-3,6113,03-47,05169,8481,6-3,119,67-30,0893,5591,7-3,019,06-27,2782,09102,1-2,616,81-17,7846,40112,2-2,516,30-15,8139,69122,3-2,415,81-14,0033,73132,7-2,014,04-8,1216,32142,7-2,014,04-8,1216,32152,7-2,014,04-8,1216,32163,2-1,512,28-3,445,20173,3-1,411,99-2,803,95183,4-1,311,72-2,252,94193,6-1,111,23-1,371,52203,6-1,111,23-1,371,52213,7-1,011,02-1,031,04224,2-0,510,26-0,130,07234,3-0,410,17-0,070,03244,4-0,310,10-0,030,01254,5-0,210,04-0,010,00265,10,390,150,060,02275,20,490,240,120,06285,20,490,240,120,06295,50,790,620,490,39305,60,890,790,700,63315,70,990,980,970,96325,70,990,980,970,96335,81,091,191,301,41345,91,191,421,692,01356,11,391,932,693,73366,31,592,534,026,39376,61,893,576,7512,76387,22,496,2015,4438,44397,42,697,2419,4752,36407,52,797,7821,7260,59417,83,099,5529,5091,17427,83,099,5529,5091,17437,93,1910,1832,46103,55448,13,3911,4938,96132,07458,23,4912,1842,51148,354694,2918,4078,95338,71479,44,6922,00103,16483,8348116,2939,56248,861565,324911,16,3940,83260,921667,265013,99,1984,46776,157132,83Сумма235,4-0,1595,12-122,4225626,87Среднее4,71-0,00211,9-2,45512,54Среднее значение:x=1ninixi=150*235,4=4,71Дисперсия:σ2=1nnixi-x2=150*595,12=11,9Исправленная выборочная дисперсия:s2=nn-1*σ2=5050-1*12=12,14Среднеквадратичное отклонение: σ=σ2=11,9=3,45Исправленное среднеквадратичное отклонение: s=s2=12,14=3,48Асимметрия:A=1ninixi-x3σ3=-2,4541,06=0,06Эксцесс:E=1ninixi-x4σ4-3=512,54141,67-3=3,63-3=0,63Вычислим статистические характеристики для Y'. Для этого составим вспомогательную таблицу (табл. 2.3)Таблица 2.3 Вспомогательная таблица для расчетов статистических характеристик признака Y'№yiyi-yyi-y2yi-y3yi-y41-2,71,93,616,8613,032-1,43,210,2432,77104,863-8,1-3,512,25-42,88150,064-7,3-2,77,29-19,6853,145-2,52,14,419,2619,456-6,3-1,72,89-4,918,357-5-0,40,16-0,060,038-5,6-11,00-1,001,009-3,41,21,441,732,0710-3,31,31,692,202,8611-5,1-0,50,25-0,130,0612-3,70,90,810,730,6613-2,91,72,894,918,3514-4,40,20,040,010,0015-6-1,41,96-2,743,8416-2,32,35,2912,1727,9817-0,34,318,4979,51341,8818-5,8-1,21,44-1,732,0719-7,5-2,98,41-24,3970,7320-6,2-1,62,56-4,106,5521-5,6-11,00-1,001,0022-3,611,001,001,0023-2,32,35,2912,1727,9824-1,92,77,2919,6853,1425-8,1-3,512,25-42,88150,06264,79,386,49804,367480,5227-5,2-0,60,36-0,220,1328-7,2-2,66,76-17,5845,7029-2,624,008,0016,0030-4,50,10,010,000,0031-7,5-2,98,41-24,3970,7332-6,7-2,14,41-9,2619,4533-4,9-0,30,09-0,030,0134-1,33,310,8935,94118,5935-3,90,70,490,340,2436-1,92,77,2919,6853,1437-10,8-6,238,44-238,331477,6338-0,34,318,4979,51341,8839-3,70,90,810,730,664004,621,1697,34447,7541-13,5-8,979,21-704,976274,22420,34,924,01117,65576,4843-8,9-4,318,49-79,51341,8844-5,1-0,50,25-0,130,06451,56,137,21226,981384,5846-9,5-4,924,01-117,65576,4847-10,1-5,530,25-166,38915,0648-1,82,87,8421,9561,4749-4,40,20,040,010,0050-11,4-6,846,24-314,432138,14Сумма-2300589,60-222,8823390,98Среднее-4,6011,79-4,46467,82Среднее значение:y=1niniyi=150*-230=-4,6Дисперсия:σ2=1nnixi-x2=150*589,6=11,8Исправленная выборочная дисперсия:s2=nn-1*σ2=5050-1*11,8=12,04Среднеквадратичное отклонение: σ=σ2=11,8=3,44Исправленное среднеквадратичное отклонение: s=s2=12,14=3,45Асимметрия:A=1ninixi-x3σ3=-4,4640,71=0,11Эксцесс:E=1ninixi-x4σ4-3=467,82140,03-3=3,34-3=0,34Для того чтобы статистические оценки давали хорошие приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Укажем эти требования. Пусть  есть статистическая оценка неизвестного параметра  теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема  найдена оценка . Повторим опыт, т. е. извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным найдем оценку  и т. д. Получим числа , которые будут различаться. Таким образом, оценку  можно рассматривать как случайную величину, а числа  — как возможные ее значения.Если оценка  дает приближенное значение  с избытком, то найденное по данным выборок число  будет больше истинного значения . Следовательно, и математическое ожидание (среднее значение) случайной величины  будет превышать , то есть . Если  дает приближенное значение  с недостатком, то .Использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, приводит к систематическим ошибкам. Поэтому нужно потребовать, чтобы математическое ожидание оценки  было равно оцениваемому параметру. Соблюдение требования  устраняет систематические ошибки.Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру , то есть .Смещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.Однако ошибочно считать, что несмещенная оценка всегда дает хорошее приближение оцениваемого параметра. Действительно, возможные значения  могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т. е. дисперсия величины  может быть значительной. В этом случае найденная по данным одной выборки оценка, например , может оказаться удаленной от своего среднего значения , а значит, и от самого оцениваемого параметра . Приняв  в качестве приближенного значения , мы допустили бы ошибку. Если потребовать, чтобы дисперсия величины  была малой, то возможность допустить ошибку будет исключена. Поэтому к статистической оценке предъявляются требования эффективности.Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки ) имеет наименьшую возможную дисперсию. При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.Глава 3. Интервальные оценки параметров распределения.Интервал значений случайной величины, внутри которого с заданной вероятностью находится истинное значение погрешности результата измерения, называется доверительным интервалом погрешности результата измерения, а соответствующую ему вероятность - доверительной вероятностью Р.Как следует из определения, для характеристики случайной погрешности необходимо иметь две характеризующие ее величины - доверительный интервал и доверительную вероятность (надежность).Надежностью (доверительной вероятностью) оценки генеральной совокупности (θ*) по найденной по выборке статистической характеристике (θ) называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство θ*-θ<δ. Так как, статистические методы не позволяют 100%-но утверждать, что рассчитанное значение будет удовлетворять этому неравенству – ведь в статистике всегда есть место случайности. Таким образом, можно говорить лишь о вероятности, с которой это неравенство осуществится: Р (θ*-θ<δ) = γИнтервал (θ*-δ; θ*+δ), называется доверительным интервалом и представляет собой интервальную оценку генерального значения θ* по найденному выборочному значению θ. Данный интервал с вероятностью γ «накрывает» истинное значение θ*. Эта вероятность называется доверительной вероятностью или надёжностью интервальной оценкиОбычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве γ берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.Для того, чтобы определить доверительный интервала для оценки математического ожидания нормального распределения случайно величины Х при известной дисперсии σ, определяют точность оценки по формуле:δ=tyσn,где, ty – коэффициент доверия. Этот коэффициент отыскивается из соотношения 2Ф(ty) = γ, где Ф(х)– функция Лапласа.В случае γ может быть равно 0,95; 0,99 или 0,999. В качестве примера примем γ = 0,95, следовательно:2Ф(ty) = 0,95; Ф(ty) = 0,952 = 0,475И по таблице значений функции Лапласа, выясняем, что значению Ф(ty) = 0,475 соответствует аргумент ty≈1,96.Таким образом подставляем все известные по нашему примеру по признаку X', значения в формулу: δ=tyσn=1,96 * 3,4550 = 0,96 и находим искомый доверительный интервал: (x-δ; x+δ), где x – выборочная средняя по признаку X'(4,71-0,96;4,71+0,96)(3,75; 5,67)Этот интервал с вероятностью γ = 0,95 (надёжностью) накрывает истинное генеральное значение среднего значения выборки. Но всё же остаётся 5%-ная вероятность, что генеральная средняя окажется вне найденного интервала.Представим, что в нашем случае генеральное стандартное отклонение не известно, тогда доверительный интервал строится по похожей формуле:x-tysn30 допускается нахождение с помощью того же соотношения. Но, так не рекомендуется делать, т.к. есть дано s то предполагается, что решать нужно именно через «Стьюдента». Любые значения, которые отсутствуют в таблицах можно рассчитать при помощь MS Excel. Найдем доверительный интервал для оценки генеральной дисперсии и стандартного отклонения с использованием распределения хи-квадрат.Используем наши данные по признаку X':n = 50, s = 3,48Предполагая, что результаты измерений распределены нормально, построить доверительный интервал для оценки истинного значения σ (генерального стандартного отклонения) с надёжностью γ = 0,95.Доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии σ2 нормально распределённой генеральной совокупности определяется следующим образом:n-1*s2χα1, k2<σ2 tт , то гипотеза Н0 отвергается с вероятностью ошибки меньше чем α*100%. Это свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции rx,y и статистической существенности зависимости между факторным и результативным признаком.Для вычисления t-критерия Стьюдент используют выражение:tp=rx,y*n-21-rx,y2=0,44*481-0,442=3,4По таблице Стьюдента (см. приложение 2), примем уровень значимости α = 0,05, а степени свободы k = 48 найдем tт :tт = (48; 0,05) = 2,02Поскольку tp > tт, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). Другими словами, коэффициент корреляции статистически – значим.Таблица 6.8 Статистические расчетыxiyixi-xyi-yxi-x2yi-y2xi-x*yi-y-5,1-2,7-9,811,9096,203,61-18,64-1,9-1,4-6,613,2043,6710,24-21,15-0,4-8,1-5,11-3,5026,0912,2517,88-0,2-7,3-4,91-2,7024,097,2913,250,2-2,5-4,512,1020,324,41-9,470,5-6,3-4,21-1,7017,712,897,151,1-5-3,61-0,4013,020,161,441,6-5,6-3,11-1,009,661,003,111,7-3,4-3,011,209,051,44-3,612,1-3,3-2,611,306,801,69-3,392,2-5,1-2,51-0,506,290,251,252,3-3,7-2,410,905,800,81-2,172,7-2,9-2,011,704,032,89-3,412,7-4,4-2,010,204,030,04-0,402,7-6-2,01-1,404,031,962,813,2-2,3-1,512,302,275,29-3,473,3-0,3-1,414,301,9818,49-6,053,4-5,8-1,31-1,201,711,441,573,6-7,5-1,11-2,901,238,413,213,6-6,2-1,11-1,601,232,561,773,7-5,6-1,01-1,001,021,001,014,2-3,6-0,511,000,261,00-0,514,3-2,3-0,412,300,175,29-0,944,4-1,9-0,312,700,097,29-0,834,5-8,1-0,21-3,500,0412,250,735,14,70,399,300,1586,493,655,2-5,20,49-0,600,240,36-0,305,2-7,20,49-2,600,246,76-1,285,5-2,60,792,000,634,001,585,6-4,50,890,100,800,010,095,7-7,50,99-2,900,988,41-2,885,7-6,70,99-2,100,984,41-2,085,8-4,91,09-0,301,190,09-0,335,9-1,31,193,301,4210,893,936,1-3,91,390,701,940,490,976,3-1,91,592,702,537,294,306,6-10,81,89-6,203,5838,44-11,737,2-0,32,494,306,2118,4910,727,4-3,72,690,907,250,812,427,502,794,607,8021,1612,847,8-13,53,09-8,909,5679,21-27,527,80,33,094,909,5624,0115,157,9-8,93,19-4,3010,1918,49-13,738,1-5,13,39-0,5011,510,25-1,708,21,53,496,1012,1937,2121,309-9,54,29-4,9018,4224,01-21,039,4-10,14,69-5,5022,0130,25-25,8111-1,86,292,8039,597,8417,6211,1-4,46,390,2040,860,041,2813,9-11,49,19-6,8084,4946,24-62,51235,4-230-0,10595,12589,60-93,86Приложение 2right5143500Приложение 3right5334000