Четные и нечетные функции в математике

СодержаниеВведение3Глава 1. Функция в математике и окружающей жизни41.1Понятие функции в математике. Виды функций41.2Основные свойства функции111.3График функции 14Глава 2. Свойство четности и нечетности функции и их значение в математике182.1Понятие четности и нечетности функции182.2Свойства четных и нечетных функций182.3Графическое изображение свойства четности и нечетности192.4Применение свойства четности или нечетности к построению графиков функций212.5Применение свойства четности или нечетности функции к решению уравнений и неравенств232.6Вычисление интегралов для четных и нечетных функций27Заключение32Литература33. ВведениеИз  истории функции:Термин  «функция» ввел в математику Готфрид  Лейбниц (1646-1716). Он употреблял его в очень узком смысле, связывая только с геометрическими образами.Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом преобразования этой переменной величины и постоянной».Леонард Эйлер (1707-1783 гг.), вводя в своём  учебнике понятие функции, говорил  лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».В развитие понятия функции внесли свой вклад французский математик Ж.-Б. Фурье (1768-1830 гг.), русский ученый Н.И. Лобачевский (1792-1856 гг.), немецкий математик Дирихле (1805-1859 гг.) и др. ученые, и общепризнанным стало следующее определение: «Переменная величина у, называется функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное определенное значение величины у»Наибольший интерес при изучении понятия функция вызывают четные и нечетные функции.Цель работы: Научиться применять свойства четных и нечетных функций и их графиков при решении различных задач.Задачи: 1 Изучить определение функции и свойства четных и нечетных функций.2 Научиться использовать свойства четных и нечетных функций при решении различных задач.Глава 1. Функция в математике и окружающей жизни Понятие функции в математике. Виды функцийФункция - одно из важнейших понятий математики, она даёт возможность исследовать и моделировать не только состояния, но и процессы. Исследование процессов и явлений с помощью функций — один из основных методов современной науки. Изучая какое-нибудь явление, мы обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные, или функции).Например, изучая газ, мы интересуемся его объемом V, температурой t, давлением р. Согласно закону Менделеева—Клапейрона, зная объем и температуру газа, мы можем однозначно определить его давление; следовательно, величины V и t можно рассматривать как независимые переменные, а р — как зависимую (функцию).Дадим теперь определение понятия функции, являющегося центральным понятием высшей математики, причем ограничимся случаем двух переменных величин.Определение: Переменная величина у называется функцией (однозначной) от переменной величины х если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению величины х (допустимые значения) соответствует единственное вполне определенное значение величины у.Это определение впервые в общих чертах было сформулировано Н. И. Лобачевским.Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, у иногда называют зависимой переменной. Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости.Совокупность всех значений независимой переменной х для которых функция у определена, называется областью определения или областью существования этой функции.Наиболее часто область определения функции представляет собой или интервал (а, b), т. е. совокупность всех чисел х, удовлетворяющих неравенству, а  х  b (подчеркнем, что здесь значения х = а и х = b исключаются!), или отрезок (сегмент) [а, b], т. е. совокупность всех чисел х, удовлетворяющих неравенству а ≤ х ≤ b (здесь значения х = а и х = b включаются!). Тот факт, что у есть функция от х, сокращенно обозначают так: y = f(x), где символ f называется характеристикой функции. Для обозначения функциональной зависимости вместо буквы f можно употреблять любую другую букву (например, g, h, F, ф и т. д.), причем понятно, что различные функции должны обозначаться в одном и том же вопросе различными буквами.Существует несколько основных видов функций: - линейная функция - прямая пропорциональность - обратная пропорциональность - квадратичная функция - кубическая функция - функция корня - функция модуля.Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где k, b - некоторые числа.Функция вида y=kx называется прямой пропорциональностью, является частным случаем линейной зависимости.Квадратичная функцияКвадратичной (квадратной) функцией называется функция вида у = ах2 + вх + с, а ≠ 0, где a, b, с - числа.Графиком квадратичной функции является парабола.Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка -b2а;с- b24aЕсли коэффициент, а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a<0, то ветви параболы направлены вниз.Степенная функция: функция, заданная формулой f(x) = xn, где n∈N , называется степенной функцией с натуральным показателем.Показательная функция: функция вида , где и является числом.Логарифмическая функция: функция вида , где и является числом.Функция синуса:Функция косинуса:Функция тангенса:Функция котангенса:Обратные тригонометрические функции:y=arcsinxу=arccosxy=arctgxy=arcctgxСпособы задавания функции:1.Табличный способ.Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством. При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.2. Графический способ.Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением.3.Аналитический способ.Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений. Основные свойства функции1) Область определения функции и область значений функции.Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.2) Нули функции.Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.3) Промежутки знакопостоянства функции.Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.4) Монотонность функции.Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.5) Четность (нечетность) функции.Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.13582657937500Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.6) Ограниченная и неограниченная функции.Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.7) Периодичность функции.Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. График функцииГрафиком функции y = f (x) называется множество точек плоскости, координаты которых связаны соотношением y = f (x). Нули функции – точки, при которых функция обращается в ноль, т.е. корни уравнения 0 = f (x).График функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.Важные точки графика функции y = f(x):стационарные и критические точки;точки экстремума;нули функции;точки разрыва функции.Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке. Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.Схема построения графика функции: Найти область определения функции.Найти область допустимых значений функции.Проверить не является ли функция четной или нечетной.Проверить не является ли функция периодической.Найти точку пересечения с осью OY (если она есть).Вычислить производную и найти критические точки, определить промежутки возрастания и убывания.Промежутки знакопостоянства.Асимптоты.На основании проведенного исследования построить график функции.Глава 2. Свойство четности и нечетности функции и их значение в математике2.1 Понятие четности и нечетности функцииФункция y = f(x) называется четной функцией, если для любого x  из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x)Функция y = f(x) называется нечетной функцией, если для любого x из области определения выполняется равенство f(-x) = - f(x)Если ни одно из условий f(-x) = f(x) или f(-x) = - f(x) не выполняется, то говорят, что функция не является ни четной, ни нечетной (другими словами функция является функцией общего вида). Свойства четных и нечетных функцийГрафик четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.При исследовании функции на четность или нечетность можно использовать следующие свойства:1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция. 2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция. 3) Сумма и разность четных функций — четная функция. 4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция. 5) Если f(x) — четная функция, то уравнение f(x)=c (c ∈ R) имеет единственный корень тогда и только когда, когда x=0. 6) Если f(x) — четная или нечетная функция, и уравнение f(x)=0 имеет корень x=b, то это уравнение обязательно будет иметь второй корень x=−b.2.3 Графическое изображение свойства четности и нечетностиВажно, чтобы область определения функции была бы симметричной относительно оси ординат, а при наличии в ней выколотых точек или интервалов они также должны располагаться симметрично.Алгоритм исследования:Установить, симметрична ли область определения функции. Если это так, то  найти f(-x) и сравнить с f(x).Если f(-x) = f(x), то функция — четная. Если f(-x) = - f(x), то функция нечетная.Функция совсем не обязана быть четной или нечетной, она может быть «никакой», несмотря на то, что область определения симметрична. Примеры:1. Определить, является ли четной функция:f(x) = x4 – 6x2 + 3.Область определения этой функции – все действительные числа, то есть она симметрична. Теперь подставим вместо x – (-x) и посмотрим, что получится: f(-x) = (-x)4 – 6(-x)2 + 3 = x4 -6x2 + 3 = f(x) – функция четная.Надо отметить, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, она для него словно зеркало. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а в левую просто отражать.Верно и следующее:  если функция задана графиком, который симметричен относительно оси ординат, то она четная.Определить, является ли четной функция: f(x) = x2+x+1- 1-x+ x2 .Область определения этой функции может быть найдена из системы неравенств:Оба неравенства всегда соблюдаются, так как дискриминант обоих трехчленов всегда меньше 0, и ветви парабол направлены вверх – таким образом, мы установили, что область определения симметрична – это вся числовая ось.  – данная функция нечетна.График нечетной функции симметричен относительно начала координат, то есть каждой его точке соответствует точка, получить которую можно поворотом на 180 градусов относительно начала координат. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а изображение в левой полуплоскости получить, повернув картинку на 180 градусов.Верно и следующее:  если функция задана графиком, который симметричен относительно начала координат, то она нечетная. Применение свойства четности или нечетности к построению графиков функцийЧтобы построить график чётной функции, достаточно построить его правую часть (для ), а затем симметрично отразить относительно оси Оу.С нечётной функцией, на первый взгляд, всё то же самое. Сначала вновь строим правую часть графика (для х ≥ 0), а затем отражаем её относительно начала координат. Однако практика показывает, что центральная симметрия даётся начинающим ученикам чуть сложнее, чем осевая.Построим график функции у = 3х-2Функция чётная. Пусть х ≥ 0. Тогда функция примет вид у = 3х – 2.Это линейная функция. Её график — прямая. С учётом отражения относительно оси  Оу получим:Построим график функции у=х2-2х-1Функция чётная. При  х ≥ 0 видим привычную квадратичную функцию у= х2 – 2х – 1. Её график — парабола с вершиной х0 = -b2a = 22 = 1. После отражения получимПостроим график функции у = 2х+6х+1Функция чётная. При  х ≥ 0 получим привычную рациональную дробь. Выделим целую часть: у = 4х+1+2 – это обычная гипербола, сдвинутая на 1 влево и на 2 вверх. Получим:Обратите внимание на последний график. При всяком сдвиге и симметрии желательно показывать не только новое положение самого графика, но и положение всех ориентиров: вспомогательная система координат, вертикальные и горизонтальные асимптоты (особенно актуально для гипербол) и т.д.Зачем всё это нужно? Исследование функции на чётность и нечётность незаменимо для решения сложных уравнений и задач с параметром:Графический метод решения задач с параметром;Метод мажорант;Вместе с периодичностью используется в тригонометрии. Применение свойства четности или нечетности функции к решению уравнений и неравенствПусть имеем уравнение или неравенство F(x) = 0, F(x) > 0 (F(x) < 0). Где F(x) — четная или нечетная функция. а) Чтобы решить уравнение F(x) = 0, где F(x) — четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записываются отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным, и для нечетной функции корнем будет x = 0, если это значение входит в область определения F(x). Для четной функции значение x = 0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение. б) Чтобы решить неравенство F(x) > 0 (F(x) < 0), где F(x) — четная функция, достаточно найти его решения для x t 0 (или x d 0). Если решением данного неравенства является промежуток (x1; x2), где x1, x2 — числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток (–x2; –x1). в) Чтобы решить неравенство F(x) > 0 (F(x) < 0), где F(x) — нечетная функция, достаточно найти решения для x > 0 (или x < 0). Если нам известны промежутки знакопостоянства функции F(x) для x > 0 (или x < 0), то легко записать промежутки знакопостоянства и для x < 0 (или x > 0). Пример:8| x | = 2| x + 2 | + | x – 2 |Решение. В обеих частях уравнения имеем четные функции. Поэтому достаточно найти решения для x ≥ 0. x = 0 не является корнем уравнения. Рассмотрим два промежутка: (0; 2], (2; + ∞). а) На промежутке (0; 2] имеем:8x = 2x + 2 – x + 223x = 24 3x =4х = 43б) На промежутке (2; + ∞) имеем: 8x = 2x + 2 + x – 223x = 22x3x = 2xx = 0. Но так как x = 0 не является корнем уравнения, то для x > 0 данное уравнение имеет корень x = 43. Тогда x = - 43 также является корнем уравнения. Ответ: x = 43; x = - 43 Пример:2-3х+ 2+3х= 4Решение: функция f(x) = (2-3x+ 2+3x) – четная, так как (2 - 3)(2 + 3 ) = 1, то 2-3x= 2+3xЗначение x = 0 не является корнем уравнения. Для x > 0 данное уравнение имеет корень x = 2. Тогда x = –2 также является корнем уравнения.Ответ: -2; 2Пример:Решить уравнение. .Решение. Пусть , тогда получаем уравнение , откуда х1 = 1, х2 =2 . Поскольку функция у = х2 - 3х+2  — четная, то данное уравнение имеет отрицательные корни: х3= -1, х4 = -2.Ответ: -1; -2; 1; 2.В некоторых случаях предоставляется возможность воспользоваться таким утверждением: Если уравнение  f(x)  = 0 имеет единственный корень x0 и y = f(x) — четная функция, то x0 = 0.Пример: Найти все значения параметра a, при которых уравнениеx6 + 5x4 + 8x2 + a2 – 9 = 0 имеет ровно один действительный корень.Решение. Рассмотрим функцию f(x) = x6 + 5x4 + 8x2 + a2 - 9, которая определена на множестве всех действительных чисел. Функция f(x) является четной, а уравнение f(x) = 0 по условию задачи должно иметь единственный корень, значит, x0 = 0. Подставив это значение в исходное уравнение, получим a2 – 9 = 0, откуда a = - 3 или а = 3.Выполним проверку найденных значений параметра: если а = ± 3, то уравнение f(x) = 0 принимает вид x6 + 5x4 + 8x2 = 0, то есть x2∙(x4 + 5x2 + 8)=0 которое имеет ровно один корень x0 = 0.Пример: Может ли при каком-нибудь значении а уравнение 2х6 – х4 – ах2 = 1 иметь три корня? Решение: Данное уравнение есть уравнение вида f (x)=0, где f (x) = 2х6 – х4 – ах2 -1. D (f) = R. f(-х) = 2(-x)6 – (-x)4 – a(-x)2 – 1 = 2х6 – х4 – ах2 -1 = f (x). Итак, функция f (x) – чётная функция при любом значении параметра а. Находим: f (0) = -1≠ 0 . Следовательно, данное уравнение может при любом значении параметра а иметь лишь чётное число корней.Ответ: не может.Пример: Докажите, что при любом значении параметра а уравнение 3х + 3-х = ах4 + 2х2 + 2 имеет нечётное число корней. Доказательство: 3х +3-х = ах4 + 2х2 + 2 3х +3-х - ах4 - 2х2 – 2 = 0. Последнее уравнение есть уравнение вида f (x) = 0, где f (x) = 3х +3-х - ах4 - 2х2 – 2. D ( f ) = R. f (-x) = 3-x + 3x – a (-x)4 – 2 (-x)2 – 2 = 3х +3-х - ах4 - 2х2 – 2 = f (x). Итак, функция f (x) – чётная функция при любом значении параметра а. Находим: f (0) = 30 + 30 – 0 – 0 – 2=0. Так как f(0) = 0, то исходное уравнение имеет нечётное число корней.Четность и нечетность функции можно использовать и при решении неравенств, например:Решить неравенство: x2 – 2х – 3 ≥ 0. Рассмотрим параболу y = x2 – 2х – 3. Замечаем, что у > 0, т. е. график функции расположен выше оси х, при х < -1 или при х > 3. Значит, решением неравенства служит ; 1 3;Пример: Найти все значения параметра а, при которых неравенство cos 2x + х2+16а+cos2x≤2x2+16-a имеет единственный корень. Решение: Перепишем исходное неравенство в виде a + cos 2x - 2x2+16 + x2+16a+cos2x ≤ 0 y-z2y≤0, где y = a + cos2x, z = x2+16Теперь заметим, что функции x2 и cos2x являются чётными, поэтому, если какое-то х = х0 является решением неравенства, то и х = -х0 также является его решением. Следовательно, единственным решением может быть только х = 0. Подставим х = 0 в исходное неравенство и найдём все возможные значения а, при которых оно верно ( при х=0):у = а+1, z = 0+16 = 16 = 4,y-z2y≤0 а-32а+1≤0 а=3а<-1 Проверим, при каких значениях а из найденных х = 0 является единственным решением. ( I) a = 3. Тогда исходное неравенство принимает вид y = 3 + cos 2x2≤ y ≤ 4 y > 0, z = x2+16≥4y-z2y≤0, (y - z)2 ≤ 0, y = z, 3 + cos 2x + x2+16Учитывая, что y ≤ 4 и z ≥ 4, последнее равенство возможно только при х=0.(II) a < - 1. Тогда у = а + cos 2x < 0 и y-z2y≤0, (y - z)2 ≥ 0, (a + cos 2x - x2+16) ≥ 0 последнее неравенство верно для любого х ϵ RОтвет: при а = 3 Вычисление интегралов для четных и нечетных функцийТеорема 1. Пусть  f(x)  – интегрируемая на промежутке [-a, a] четная функция: f(-x) = f(x). Тогда интеграл от  f(x)  в симметричных пределах равен удвоенному интегралу по половинному промежутку:   Для доказательства представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:   Преобразуем первый интеграл в правой части этого равенства, выполнив подстановку  x = –st:  Утверждение доказано.Теорема 2. Пусть  f(x)  – интегрируемая на промежутке [-a,a] нечетная функция: f(-x) = - f(x)Тогда интеграл от  f(x)  в симметричных пределах равен нулю:   Теорема доказывается аналогичным образом:  Метод решения определенного интеграла от четной функциипо симметричному относительно нуля отрезкуРассмотрим определенный интеграл вида -ссfxdx. Легко заметить, что отрезок интегрирования [-c; c] симметричен относительно нуля. Если функция подынтегральная f(x) является чётной, то интеграл -ссfxdx можно вычислить по половине отрезка, а результат - удвоить: -ссfxdx=20cfxdx.Пример:Вычислить определенный интеграл -224- x2dx. Проверим четность подынтегральной функции. f(-x) = (4 – (-x)2) = (4 – x2) = f(x), значит, данная функция является чётной.Согласно правилу, на симметричном относительно нуля отрезке [-2; 2] наш интеграл от чётной функции можно вычислить следующим образом:Геометрическая интерпретация. Любая чётная функция, в частности f(x) = 4 – x2, симметрична относительно оси Oy:Определенный интеграл -224- x2dx численно равен площади плоской фигуры, которая заштрихована зеленым цветом. Но, в силу чётности подынтегральной функции, а значит, симметричности её графика относительно оси Oy, достаточно вычислить площадь фигуры, заштрихованной синим цветом, а результат – удвоить. Одинаковые же половинки!Именно поэтому справедливо действие -224- x2dx=202(4- x2)dx Аналогичная история происходит с любой чётной функцией f(x) по симметричному относительно нуля отрезку: -ссfxdx=20cfxdx.Некоторые скажут: «Да зачем это всё нужно, можно ведь и так вычислить определенный интеграл». Можно. Давайте вычислим:Но удобно ли было подставлять отрицательный нижний предел? Не очень-то. Кстати, ненулевой процент студентов допустит ошибку в знаках. Гораздо проще и приятнее подставить ноль. Замечу, что это еще был простой демонстрационный пример, на практике всё бывает хуже.Кроме того, рассматриваемый прием часто применяется при вычислении двойных интегралов, тройных интегралов, где вычислений и так хватает.Пример:Вычислить определенный интеграл -112x4- x2+3dxРешение: -112x4- x2+3dx = 2012x4- x2+3dx = 2(25 х5 - 13 х3 + 3х) 10 = 2(25 - 13 + 3) = 2 ∙ 4615 = 9215 = 6215Обратите внимание, что когда вам предложено просто вычислить определенный интеграл, то чертеж выполнять не нужно! Метод решения  определенного интеграла от нечетной функциипо симметричному относительно нуля отрезкуРассмотрим тот же определенный интеграл с симметричным относительно нуля отрезком интегрирования:  -ссfxdx. Если подынтегральная функция f(x)  является нечётной, то -ссfxdx = 0.Пример:Вычислить определенный интеграл -443x dxВыполним чертеж:Проверим нашу функцию на четность или нечетность: f(-x) = 3-x = - 3x = - f(x), значит, данная функция является нечётной, и её график симметричен относительно начала координат. Из симметрии графика следует равенство площадей, которые заштрихованы красным и синим цветом.При вычислении определенного интеграла -443x dx площадь, которая заштрихована синим цветом, формально является отрицательной. А площадь, которая заштрихована красным цветом – положительной. Поскольку площади равны и формально противоположны по знаку, то они взаимно уничтожаются, следовательно -443x dx=0.ЗаключениеИспользование свойств четности или нечетности функций очень важны для решения многих неравенств и уравнений, вычисления интегралов, построения графиков и решения многих других задач ведь зная эти свойства и умея их правильно применять, в некоторых случаях можно решить задачу не прибегая к каким-либо большим преобразованиям, которыми не всегда удобно пользоваться. Таким образом, можно сделать вывод, что, используя свойства функций, можно избежать огромных преобразований, а значит, этот способ решения наиболее рационален.ЛитератураФихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: учебник для вузов /Фихтенгольц Г.М. – Санкт-Петербург: Лань, 2022 г. Ч.1, 2. Задачи по математике. Начала анализа. Справ. пособие. /Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. М.: Наука, 2010 г.Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия. М.: Просвещение, 2016 г.Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сб. задач по алгебре для 8 – 9 кл.: учебное пособие для учащихся шк. и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1994.Земляков А. Четные и нечетные функции. //Квант, 1977, №1.https://shkolkovo.net/catalog/zadachi_s_parametrom/drugie_svojstva_razlichnyh_funkcij