Сравнительный анализ параметрического и коррелатного способов уравнивания по методу наименьших квадратов применительно к геодезическим построениям

Оглавление

Введение. 3

1 Сравнение алгоритмов уравнивания параметрическим и коррелатным способом по МНК полигонометрических ходов. 5

1.1 Алгоритм уравнивания параметрическим способом по МНК полигонометрического хода. 5

1.2 Алгоритм уравнивания коррелатным способом по МНК полигонометрического хода. 8

1.3 Оценка эффективности уравнивания параметрическим и коррелатным способом по МНК полигонометрического хода. 12

2 Уравнивание параметрическим способом по МНК линейно-угловой сети. 14

2.1 Составление параметрических уравнений связи и поправок. 14

2.2 Составление и решение нормальных уравнений поправок. 21

2.3 Вычисление исправленных значений параметров и результатов измерений. 22

2.4 Контроль уравнивания. 23

2.5 Оценка точности. 23

2.6 Выводы о результатах уравнивания. 24

3 Уравнивание коррелатным способом по МНК линейно-угловой сети. 26

3.1 Составление условных уравнений связи и поправок. 26

3.2 Составление и решение нормальных уравнений коррелат. 30

3.3 Вычисление исправленных значений результатов измерений и искомых величин. 30

3.4 Контроль уравнивания. 31

3.5 Оценка точности. 32

Заключение. 33

Список использованных источников. 34

Введение

Современное развитие геодезии как прикладной науки невозможно без широкого применения методов математической обработки измерений. Наиболее универсальным и широко распространённым подходом в этой области является метод наименьших квадратов (МНК), позволяющий получать оптимальные оценки искомых параметров при наличии избыточных измерений, содержащих случайные погрешности. Благодаря способности учитывать структуру погрешностей и весовую информацию о наблюдениях, МНК нашёл широкое применение при уравнивании геодезических сетей различных типов и конфигураций.

Целью настоящей курсовой работы является сравнительный анализ параметрического и коррелатного способов уравнивания по методу наименьших квадратов применительно к геодезическим построениям.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• изучить теоретические основы уравнивания по МНК, включая математические принципы, лежащие в основе параметрического и коррелатного подходов;
• сформировать алгоритмы уравнивания для заданного геодезического построения (полигонометрического хода);
• реализовать уравнивание методом МНК в обоих вариантах с использованием программных средств (Microsoft Excel);
• провести анализ точности полученных результатов;
• сделать вывод о целесообразности применения каждого из методов в зависимости от типа геодезической сети и условий выполнения работ.

Актуальность изучения вопроса обусловлена необходимостью систематического подхода к оценке точности геодезических измерений и созданию объективной методической базы для анализа и обоснования структуры и конфигурации сетей. В условиях цифровизации и внедрения автоматизированных технологий измерений возрастает роль параметрического способа уравнивания, обеспечивающего универсальность и программную реализацию. В то же время коррелатный подход сохраняет свою значимость при аналитических расчётах и в условиях ограниченных вычислительных ресурсов, а также в учебных целях.

Метод наименьших квадратов реализуется через построение функциональных и условных уравнений связи между измеренными и определяемыми величинами. Параметрический способ уравнивания опирается на функциональные зависимости между координатами точек и измеренными величинами, такими как длины и углы. В рамках данного подхода формируется система параметрических уравнений, содержащих искомые координаты в качестве параметров, на которые затем распространяется процедура минимизации отклонений.  В отличие от него, коррелатный способ уравнивания основан на использовании условных уравнений связи между измерениями, без явного включения координат в качестве искомых параметров.

В рамках курсовой работы проводится теоретический и практический анализ эффективности указанных методов уравнивания, основанный на вычислениях, выполненных с использованием программного обеспечения. Основное внимание уделяется вопросам точности уравненных значений, устойчивости алгоритмов уравнивания, возможности автоматизации расчётов. Также рассматривается влияние структуры сети, количества и взаимного расположения пунктов на поведение уравнивания и качество выходных данных. В качестве объекта уравнивания выступает геодезическое построение (линейно-угловая сеть или полигонометрический ход), в отношении которого проводятся последовательные расчёты по обеим методикам.

 

Список использованных источников

1. Юнусов А. Г., Беликов А. Б., Баранов В. Н., Каширкин Ю. Ю. Геодезия: Учебник для вузов. – М.: Академический Проект; Гаудеамус, 2015. – 409 с.
2. Методическая инструкция. Требования к структуре, оформлению и изложению самостоятельных работ студентов и аспирантов МИ СМК 7.5.03. Москва, 2017 Выпуск 1.0.
3. Голубев В. А. Геодезия. Теория математической обработки геодезических измерений. – М.: МИИГАиК, 2016. – 422 стр.
4. Маслов А. В., Гордеев А. В., Батраков Ю. Г. Геодезия. – М.: «КолосС», 2006.
5. Губеладзе А. Р., Яговкина Е. Н. Обработка и уравнивание  полигонометрических сетей – Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2018. – 41 с.
6. Калюжин В. А. Математическая обработка результатов полевых измерений: учебно-методическое пособие. – Новосибирск: СГУГиТ, 2023. – 54 с.