СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 3

1      ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ.. 5

1.1 Основные сведения о решении линейных дифференциальных уравнений. 5

1.2 Уравнение Эйлера. 6

1.3 Решение уравнения Бесселя. 8

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. 11

2.1 Примеры решения линейных дифференциальных уравнений. 11

2.2 Примеры решения ОДУ Эйлера. 15

2.3 Примеры решения ОДУ Бесселя. 16

2.4 Пример численного решения ОДУ.. 18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 21

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 22

ПРИЛОЖЕНИЕ. 23

ВВЕДЕНИЕ

При решении различных задач математики, физики, химии, теперь и экономики, а также других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальными (сокращенно: ДУ), термин принадлежит Г. Лейбницу (1676 г). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной,
то ДУ называют обыкновенным (сокращенно: ОДУ). Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

Современное состояние науки и техники требует от инженеров знания методов составления, решения и применения этих знаний к решению научных и технических задач.

Дифференциальные уравнения встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница. Ньютон при создании исчисления «флюксий» и «флюент» ставил две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями; по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами [4, стр. 225]. С современной точки зрения, первая из этих задач (вычисление по известным функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачу нахождения неопределённого интеграла F(x)  функции f(x)  Ньютон рассматривал просто как частный случай его второй задачи. Такой подход был для Ньютона как создателя основ математического естествознания вполне оправданным: в очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме дифференциальных уравнений, а расчёт течения этих процессов сводится к решению дифференциального уравнения.

В курсовой работе обсуждаются вопросы решения линейных ОДУ, методы решения специальных ОДУ Эйлера и Бесселя. Л. Эйлер подробно исследовал уравнение, названное его именем, начиная с 1740 г. Ф. Бессель в 1824 году первым предпринял систематическое изучение уравнения, получившего его имя, хотя до этого они встречались в работах Бернулли и Эйлера [2, т.1, стр. 459].

Приведем портреты (см. рисунок 1) двух замечательных математиков, много сделавших в области дифференциальных уравнений.

Рис. 1. Портреты замечательных математиков

Актуальность темы: состоит в том, что знание основных приемов решения ОДУ является основой эффективного применения математики в технических задачах.

Предмет исследования: методы и приемы решения ОДУ специальных типов.

Цель курсовой работы: систематизация методов и приемов решения ОДУ специальных типов.

Структура и объем исследования: курсовая работа состоит из введения, теоретической части, практической части, состоящей в решении задач, заключения, списка литературы и приложения, в котором приведена компьютерная программы численного метода.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. Пособие для ун-тов. – М.: Высш. шк., 1991. – 303 с.
2. Математическая энциклопедия. Гл. ред. И. М. Виноградов, М. 1984 г. 5 т.
3. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 2 / Дмитрий Письменный. – 12-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2017. – 256 с.
4. Рыбников К. А. История математики Изд-во МГУ. М. К-9, - 455 с.
5. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. Пособие. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш. шк., 1989. – 383 с.
6. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Г. Корн, Т. Корн. М., 1973 г. - 832 с.
7. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1980. – 352 с.